Sono appena terminate le Olimpiadi invernali di Milano-Cortina 2026 (e manca poco all’inizio delle Paralimpiadi). La spedizione azzurra, con 10 ori, 6 argenti e 14 bronzi, è stata la più vincente della storia delle Olimpiadi invernali, battendo il record di podi ottenuto ai giochi di Lillehammer 1994 (a cui aveva partecipato anche Paperino, come vi avevamo raccontato qui).

Le trenta medaglie raccolte sono valse anche un ottimo quarto posto nel medagliere, come vediamo nella grafica.

Se non vivete sulla Luna, avrete probabilmente assistito alla solita polemica: com’è possibile che l’Olanda (a onor del vero i Paesi Bassi) sia davanti a noi nel medagliere? Come può essere giusto che un singolo argento valga più di 11 bronzi? Semplicemente il nostro classico medagliere è ordinato in base al numero di ori; in caso di parità di ori si considerano gli argenti; in caso di parità di ori e di argenti, si guardano i bronzi. Quindi, siccome i Paesi Bassi hanno tanti ori quanti ne ha l’Italia e ha un argento in più, non importano i bronzi conquistati dai due Paesi.

In effetti, il medagliere che siamo soliti vedere non è certo l’unico modo per raccontare in una grafica i risultati ottenuti dai singoli Paesi (ricordando sempre che non c’è nessuna ufficialità di questi medaglieri, che pure appassionano in tutto il mondo). In effetti, negli USA da sempre si ordinano i vari Paesi innanzitutto per numero di medaglie totali ottenute, e solo in caso di parità si discrimina sul colore della medaglia.

Per chi ha seguito l’Olimpiade sui media americani, l’Italia è arrivata terza, dopo Norvegia e USA, e ben davanti ai Paesi Bassi, che con “sole” 20 medaglie raccolte precipitano al nono posto.

Ma anche su questa classifica ci potrebbe essere da ridire? Davvero i 5 bronzi in più del Canada sono meglio dei 5 ori in più dei Paesi Bassi? Va bene il numero di medaglie, ma le medaglie non sono tutte uguali!

Pesare le medaglie

Entrambi i metodi illustrati e solitamente in uso sembrano avere dei problemi. La risposta giusta potrebbe essere pesare le medaglie, in base al loro valore. Ma qual è il loro valore?

 

Una possibilità classica è quella del conteggio di Borda, utilizzato in alcuni sistemi elettorali: si assegna 1 punto alla medaglia meno pregiata, due punti agli argenti e tre punti agli ori. In questo modo, otteniamo questa classifica. L’Italia è al terzo posto (e siamo contenti), ma al contempo i Paesi Bassi, grazie ai 10 ori pesanti, sono in sesta posizione, ben davanti al Canada!

Ovviamente i pesi 3-2-1 sono del tutto arbitrari. Cosa succederebbe se dicessimo che ogni medaglia ne vale due di quelle immediatamente meno pregiate, ovvero se modificassimo i pesi in 4-2-1?

Per l’Italia non cambierebbe nulla, terzo posto era e terzo posto rimane.

 

 

 

 

Ma, con il peso degli ori che aumenta rispetto ad argenti e bronzi, nella Top10 ci sono due inversioni di posizione: i Paesi Bassi superano la Francia (evviva! è indubbiamente la classifica più giusta…) e la Svizzera supera il Giappone.

Cambiando i pesi, ovviamente cambia la classifica. La classifica a cui siamo abituati è una classifica che usa un ordine lessicografico, ovvero confronta prima le prime “coordinate” (il numero di ori), in caso di parità guarda alle seconde “coordinate” (il numero di argenti) e solo in caso di ulteriore parità guarda alle terze “coordinate” (il numero di bronzi). Ho parlato di coordinate, perché vogliamo trovare un ordine tra vettori di \(\mathbb R^3\).

Tutti i medaglieri pesano le medaglie!

Ma anche questo classico ordinamento del medagliere si può ottenere facilmente, cambiando i pesi. Pesando le madaglie d’oro 1.000.000, le medaglie d’argento 1.000 e le medaglie di bronzo 1, ecco che il punteggio dell’Italia diventa 10.006.014 e quello dei Paesi Bassi 10.007.003. Molto pratico: non solo leggiamo bene nel punteggio quante medaglie di ogni tipo sono state conquistate, ma abbiamo il medagliere ordinato nel modo standard in una classifica pesata.

Se invece pesiamo gli ori 1.001.000, gli argenti 1.000.001 e i bronzi 1.000.000, ecco che i punti dell’Italia diventano 30.010.006 e quelli dei Paesi Bassi 20.010.007. Abbiamo di nuovo la classifica “made in USA”, dove leggiamo chiaramente “medaglie totali” – “ori” – “argenti”.

Quindi anche i due medaglieri classici da cui siamo partiti possono essere ottenuti pesando le medaglie. Avendo infinite scelte per i pesi (con l’unico requisito che il peso per gli ori sia maggiore di quello per gli argenti, a sua volta maggiore di quello dei bronzi), ecco che possiamo ottenere qualsiasi classifica vogliamo!

Dalle medaglie a un ordinamento parziale

Ma se giocando coi pesi possiamo ottenere qualsiasi cosa (come diceva Von Neumann, datemi 5 parametri e vi disegno un elefante; datemene 6 e gli faccio muovere la proboscide, anche se in questo caso di parametri ne abbiamo solo 2), che senso hanno queste classifiche?

Beh, vi rassicuro: dal vincolo che le medaglie d’oro sono meglio degli argenti e questi sono meglio dei bronzi, otteniamo che se il numero di ori, argenti e bronzi del Paese A sono \((o_A,a_A,b_A)\) e gli ori, argenti e bronzi del Paese B sono \((o_B,a_B,b_B)\), allora se valgono le tre condizioni

$$\begin{cases}o_A\geq o_B\\ o_A+a_A\geq o_B+a_B\\ o_A+a_A+b_A\geq o_B+a_B+b_B\end{cases}$$

allora necessariamente A si trova davanti (o a pari merito) a B, comunque scegliate i pesi da dare alle medaglie. Se invece non valgono contemporaneamente tutte e tre le condizioni, allora si possono trovare dei pesi per mettere B davanti ad A in classifica. Ciò ci assicura che non serve ingegnarci oltre: Norvegia (con 41 medaglie totali, di cui 30 tra ori e argenti, e 18 ori) e USA (con 33 medaglie totali, di cui 24 tra ori e argenti, e 12 ori) saranno rispettivamente al primo e al secondo posto, non importa quali pesi desideriamo dare alle medaglie.

L’Italia (con 30 medaglie, di cui 16 tra ori e argenti, e 10 ori) non può ambire a meglio del terzo posto. Per contro, può essere superata solo da Paesi Bassi (20 medaglie, 17 tra ori e argenti, 10 ori), Germania (26 medaglie, 18 tra ori e argenti, 8 ori) e Francia (23 medaglie, 17 tra ori e argenti, e 8 ori). Questa debacle, con l’Italia al sesto posto del medagliere superata da Germania e Francia, capita se pesiamo tanto gli argenti, ad esempio un oro vale 15, un argento 14 e un bronzo 1.

Tutti gli altri Paesi hanno fatto certamente peggio dell’Italia, non importa che pesi decidiamo di dare alle medaglie.

L’unica cosa che possiamo accettare come giudizio complessivo e sicuro è un ordine parziale e non totale sui partecipanti alle Olimpiadi. Diciamo che il Paese A ha fatto meglio del Paese B se e solo se valgono le tre disuguaglianze indicate sopra e almeno una non è un’uguaglianza. Quindi possiamo concludere senza tema di smentita che l’Italia ha fatto peggio di Norvegia e USA e meglio di quasi tutti gli altri Paesi. Non possiamo però confrontarla con assoluta certezza con Paesi Bassi, Germania e Francia (che ci sopravanzano per numero di posizioni ai primi due posti in classifica).

E se contassimo le finali?

Ovviamente, non c’è limite alla fantasia e potremmo decidere di fare una classifica a punti in cui si considerano tutti i piazzamenti nelle prime otto posizioni, e non solo nelle prime 3. Insomma, le cose potrebbero cambiare ancora…

La morale è che siccome in \(\mathbb R^3\) (e a maggior ragione in \(\mathbb R^n\) con \(n>1\)) non c’è un ordine totale naturale siamo obbligati ad alzare bandiera bianca e ad accettare che solo un ordine parziale nel medagliere è realmente possibile. Oppure –meglio– accettare con De Coubertin che alle Olimpiadi l’importante è partecipare, goderci dei bei momenti di sport, di fatica e di umanità che questi straordinari atleti ci hanno regalato (il mio mito personale è diventato la sciatrice freestyle Eileen Gu: se non l’avete ancora fatto, andate a guardarvi le sue interviste) e interpretare anche il medagliere per quello che è: un semplice gioco e una visualizzazione grafica.

La realtà è estremamente complessa e tutte le volte che cerchiamo di incasellarla in un semplice numero, per mettere in ordine i Paesi alle Olimpiadi o -peggio- per decidere senza ombra di dubbio qual è lo scienziato migliore, la scuola, l’ospedale, l’Università migliore, stiamo facendo un torto alla realtà, alla complessità del mondo e alla nostra intelligenza.