Nell’articolo di Alessandro Zaccagnini “Operazioni: elementari, ma non troppo!” alla fine si proponeva un piccolo gioco che riproponiamo qui. A seguire il video realizzato da Alessandro in collaborazione con Alberto Saracco su come fare la costruzione con carta, forbici dalla punta arrotondata e scotch. Buon lavoro!

Abbiamo visto che è possibile disegnare su un piano, senza intersezioni, il grafo che contiene tutte le potenze di 2 e tutte le potenze di 3, e che compaiono delle intersezioni non appena tentiamo di aggiungere le potenze di 5. Vogliamo mostrare come sia possibile disegnare una porzione di quest’ultimo grafo, senza intersezioni, se accettiamo di utilizzare una superficie diversa dal piano.

La figura qui sotto contiene tutti gli interi con 0, 1 o 2 fattori primi scelti fra 2, 3, 5, 7, collegati da frecce usando le stesse regole del resto di questo articolo. Le righe colorate esterne rosse e blu, e i punti \(A_1\), \(A_2\), …, \(H_1\), \(H_2\) servono alla costruzione, ma non fanno parte del grafo vero e proprio, e si dovrebbero cancellare alla fine dell’operazione. Proponiamo di stampare a colori, ritagliare e incollare la figura qui sopra, facendo corrispondere i lati colorati preservando l’orientamento delle frecce, e le coppie di punti \(A_1\) e \(A_2\), \(B_1\) e \(B_2\), …

Procediamo in questo modo: per prima cosa incolliamo i lati rossi verticali, ottenendo un cilindro di carta. I punti \(B_1\) e \(B_2\) devono corrispondere, in modo che la freccia nera che esce da \(5\) “entri” in 35, passando appunto prima per \(B_1\) e per \(B_2\), che sono sovrapposti. Lo stesso accade, automaticamente, per le coppie di punti \(C_1\) e \(C_2\), …, \(H_1\) e \(H_2\).

L’unica freccia che resta “spezzata” è quella rossa che proviene da 5 e dovrebbe arrivare a 10. Per poterla collegare, incolliamo anche i lati blu: per fare questo dobbiamo appiattire e piegare il cilindro ottenuto al passo precedente ed inserire una delle estremità nell’altra.

In questo modo, il grafo non ha intersezioni, ma se non incolliamo i lati orizzontali blu non c’è modo di collegare 5 a 10 senza attraversare uno degli archi già disegnati. In pratica, lo stiamo disegnando su un toro, cioè su una ciambella. Se incolliamo solo i lati verticali rossi, cioè se disegniamo il grafo su un cilindro, i numeri 5 e 10 non sono collegabili. L’ideale sarebbe disegnare questo grafo su un supporto elastico, invece che su un foglio di carta, e poi incollarlo su un anello di plastica.

E ora il video dove vediamo come procedere passo passo.

Roberto Natalini

Roberto Natalini [coordinatore del sito] Matematico applicato. Dirigo l’Istituto per le Applicazioni del Calcolo del Cnr e faccio comunicazione con MaddMaths! e Comics&Science.