Come si definisce la probabilità? Nel corso dei secoli si è partiti da definizioni strettamente empiriche per arrivare nel secolo scorso a posizioni assiomatiche. Tra i vari approcci spicca la posizione particolare di Bruno De Finetti, che ha cercato di introdurre un vincolo logico nella definizione di probabilità. Vediamo meglio la sua proposta in questo articolo scritto da Tommaso Flaminio e Hykel Hosni.

Supponiamo di lanciare una moneta. Qual è la probabilità di ottenere Testa? Ci viene insegnato fin dai primi anni della formazione scolastica  che la risposta corretta è \( 1/2 \) e questo è il ragionamento. Se escludiamo cose strane, ma non impossibili come il fatto che la moneta si fermi sul fianco, i casi possibili sono due (Testa e Croce). Il caso favorevole invece è  uno (Testa). Ma questo non basta. Perché \(1/2\) sia l’unica risposta corretta al quesito, è necessario assumere che i risultati possibili siano equiprobabili, cioè che la moneta sia bilanciata.

Con un (bel) po’ di astrazione si è affermata l’idea che per calcolare la probabilità di un evento \( E \) si conta il numero di casi favorevoli a \( E \) e lo si divide per il numero di tutti i casi possibili, a patto che abbia senso assumere che quest’ultimi siano equiprobabili:

\[
P(E) = \frac{\# \text{ casi favorevoli a } E}{\# \text{ casi possibili equiprobabili.} } \tag{1}\]

La formuletta (1) ha grande valore euristico perché permette di collegare l’aritmetica della probabilità elementare a esperimenti che tutti possono fare.  “È notevole che una scienza nata dallo studio dei giochi di azzardo sia diventata l’oggetto più importante della conoscenza umana” osservò Laplace nel Saggio filosofico sulla probabilità del 1812.

Tuttavia, appena usciamo dai problemi di monete, dadi, e roulette — insomma, fuori dal casinò — l’assunzione di equiprobabilità è difficile da soddisfare. La formuletta che impariamo a scuola quindi racconta una storia molto parziale a proposito della probabilità, incentrata sulla sua computazione in casi molto particolari.

C’è di più. Lascia aperta una domanda di importanza centrale per l’applicazione della probabilità ai problemi concreti: perché la probabilità è una misura di incertezza?

Dati e ragionamento: i due rovesci della medaglia probabilistica

Negli ultimi tre secoli le risposte interessanti si sono concentrate intorno a due impostazioni.

La prima è basata sui dati e fa leva sulla Legge dei Grandi Numeri formulata per la prima volta da Jacob Bernoulli (1654 – 1705),   portata alla sua forma più raffinata da Andrej N. Kolmogorov (1903 – 1987).

Riprendiamo la moneta di prima. In questa occasione la vediamo più formalmente come meccanismo aleatorio, cioè un dispositivo fisico  capace di generare variabili casuali che ora ci interessano binarie, indipendenti e identicamente distribuite.  Si tratta in altre parole di una moneta che ad ogni lancio produce Testa con probabilità \(p\) e Croce con probabilità \(q=1-p\). Si noti che non è richiesto che \(p=q=1/2\). Si noti anche che l’esito del lancio \(n\)-esimo non è influenzato dai lanci precedenti.

L’osservazione che Bernoulli riteneva poco più che di buon senso è alla base della sua risposta alla questione del fondamento della probabilità: Un numero sufficientemente grande di lanci  permetterà di osservare una frequenza relativa di Testa che con sempre migliore approssimazione identificherà la probabilità di interesse.

Se la moneta è bilanciata, come nel nostro esempio di apertura, allora è solo questione di tempo e di pazienza: la frequenza relativa di Testa asintoticamente convergerà a \(1/2\).

Vale la pena di osservare che la risposta che ci insegnano a scuola non è proprio corretta, anche se ci va abbastanza vicino. Secondo risultati recenti infatti, la probabilità di Testa sarebbe leggermente maggiore o leggermente inferiore a \(1/2\) a seconda che la rotazione della moneta inizi rispettivamente da Testa oppure Croce [1].

Il fondamento della probabilità basato sui dati ha trovato uno sviluppo di particolare successo in fisica statistica a partire da James C. Maxwell (1831-1879) [7]. Fuori dal contesto fisico può tuttavia essere difficile soddisfare le condizioni di asintoticità  necessarie a dare questo tipo di fondazione alla probabilità. Ricordiamo che si tratta di condizioni che richiedono un sistema fatto di molte componenti tra loro indipendenti oppure un processo in cui lo stesso esperimento può essere ripetuto un numero arbitrariamente grande di volte.

Molti eventi di interesse pratico e scientifico sono intrinsecamente irripetibili: più simili a una competizione sportiva di quanto non lo siano al lancio di una moneta. Prendiamo una competizione sportiva a squadre. Anche se quelle due squadre si sono incontrate molte volte in passato, le condizioni che definiscono una partita sono di fatto irripetibili. Perfino due formazioni che in certo intervallo di tempo rimangono immutate non saranno le stesse squadre. Cambierà infatti la forma fisica dei giocatori, la loro condizione psicologica, il tifo sugli spalti, le condizioni meteo (per gli sport all’aperto) e così via.

Tra i problemi scientifici e pratici che assomigliano (molto) più alla previsione di un risultato sportivo che al lancio di una moneta ricordiamo:

• le previsioni macroeconomiche
• le politiche di adattamento al cambiamento climatico
• le decisioni cliniche su patologie rare
• la scelta di un/a partner.

Se la tradizione Bernoulli-Kolmogorov è inapplicabile in questo tipo di problema, si deve rinunciare del tutto alla quantificazione probabilistica dell’incertezza?

Coerenza

Secondo Bruno de Finetti (1906 –1985) no. Anzi! L’impostazione che ha elaborato ancora studente al Politecnico di Milano  continua ad avere un ruolo di primo piano, anche se non sempre è conosciuta fuori dall’ambito specialistico.

De Finetti parte dalla considerazione che l’interesse nella quantificazione dell’incertezza emerge sempre alla luce di un problema di decisione specifico, come l’evento sportivo di sopra e gli altri casi non ripetibili.

La sua idea è semplice, e recupera il collegamento iniziale della probabilità con il gioco d’azzardo. A proposito di qualsiasi evento ben definito \(E\), dice de Finetti, è possibile quantificare il grado di fiducia \(p\) che si ha nella sua realizzazione  esprimendo il prezzo che si ritiene equo per acquistare la quantità aleatoria:

\[
\tag{2}
X =
\begin{cases}
1, & \text{se si verifica } E \\
0, & \text{altrimenti}.
\end{cases}
\]

Dato un insieme finito di eventi \( E_1, E_2, \ldots \), la formula (2) permette di calcolare la ricompensa relativa alla realizzazione degli eventi \(E_i\) in maniera ovvia: per ogni \(i\) si riceve \(1\) euro se \(E_i\) si verifica, e niente altrimenti. In questo modo si definisce incoerente una decisione che porti la persona interessata a perdita sicura; ovvero di ritrovarsi con un bilancio netto (calcolato come il rapporto fra il guadagno ottenuto e quel che si è pagato) sempre negativo, ovvero negativo in ogni modo possibile:  indipendentemente  cioè da come sarà risolta l’incertezza sugli eventi di interesse.

In un lavoro del 1931 [4], de Finetti dimostra che l’additività finita è necessaria e sufficiente a evitare l’incoerenza. Il risultato — che geometricamente equivale a un’applicazione del Teorema di separazione degli iperpiani — ha notevoli consequenze metodologiche. Stabilisce cioè che la quantificazione  del grado di fiducia di una persona posta di fronte a un problema di decisione ben posto è razionale esattamente se è additiva.

Esempio 1. Consideriamo un singolo lancio di un dado a sei facce (di cui non sappiamo dire se sia bilanciato o meno).

Siano:

• \( A \): Il risultato del lancio del dado è un ‘1’
• \( B \): Il risultato del lancio del dado è un ‘2’
• \( A \lor B \): Il risultato è un ‘1’ o un ‘2’

Si osserva immediatamente che \(A\) e \(B\) non si danno mai insieme, sono come si dice mutualmente esclusivi.

Ora supponiamo di assegnare i prezzi come segue:

• \( P(A) = 0.2 \)
• \( P(B) = 0.2 \)
• \( P(A \lor B) = 0.3 \)

dove, ricordate la (2), \(P(E)=p\) significa che \(p\) è il prezzo ritenuto equo dall’agente per ricevere 1 se \(E\) si verifica, e 0 altrimenti.

Si nota immediatamente che prezzi così scelti sono incoerenti perché la sottovalutazione della disgiunzione espone l’allibratore alla possibilità di perdita sicura. Per realizzarla è infatti sufficiente che una scommettitrice:

• Venda una scommessa su \(A\) all’allibratore: Per farlo la scommettitrice paga \(-p(A)\), cioè \(-0.2\) e riceve \(1\) se \(A\) si verifica.
• Venda una scommessa su \(B\) all’allibratore: Per farlo la scommettitrice paga \(-p(A)\), cioè \(-0.2\) e riceve \(1\) se \(B\) si verifica.
• Venda una scommessa su \(A \lor B\) all’allibratore: Per farlo la scommettitrice paga \(P(A \lor B)\), cioè \(0.3\) e riceve \(1\) se \(A \lor B\) si verifica.

Nei primi due punti non c’è un errore di battitura! Lo schema delle scommesse che sottende il teorema di de Finetti prevede la seguente condizione:

• Dopo che l’allibratore ha scelto i prezzi per le sue scommesse, è obbligato a completare qualsiasi transazione con la scommettitrice, che in particolare può scegliere la direzione della scommessa. Se vuole comprare paga un prezzo positivo (la cosa usuale), ma può anche vendere comprando a un prezzo negativo.

Questa condizione mostra chiaramente che stiamo guardando a un modello formale di scommesse, e non a scommesse che abbiano senso nel mondo reale. Qualsiasi riserva legata alle conseguenze sociali negative delle scommesse e del gioco d’azzardo può essere dunque sciolta qui.

Si vede a occhio che per l’allibratore butta male come confermato dalla Tabella 1.

L’esempio mostra chiaramente che il vincolo posto dall’additività non scaturisce dai dati, ma è un vincolo di natura logica.

Rispetto al fondamento Bernoulliano, pertanto quello basato sulla coerenza di de Finetti ci permette di collegare la matematica della probabilità alla decisione in condizioni di incertezza senza presupporre che l’evento di interesse possa essere oggetto di una lunga serie di esperimenti tra loro indipendenti.

	Scommessa su
Stato del Mondo	\(A\)	\(B\)	\(A \lor B\)	Bilancio netto
\(A\), \(\lnot B\)	\(0.8\)	\(-0.2\)	\(-0.7\)	\(-0.1\)
\(\lnot A\), \(B\)	\(-0.2\)	\(0.8\)	\(-0.7\)	\(-0.1\)
\(\lnot A\), \( \lnot B\)	\(-0.2\)	\(-0.2\)	\(0.3\)	\(-0.1\)

Tabella 1: La scelta incoerente dei prezzi dell’allibratore è evidente: comunque vada perde 0.1

A fronte di questa notevole estensione di applicabiltà dei concetti probabilistici, c’è un prezzo da pagare. La quantificazione della probabilità dell’evento singono ovviamente non converge a un valore sostanzialmente unico, come nel caso del teorema di Bernoulli/Kolmogorov. Questo non è necessariamente un limite. De Finetti ritiene infatti che la coerenza sia l’unico criterio oggettivo che la probabilità è tenuta a soddisfare nel caso singolo, rimanendo per il resto, declinabile soggettivamente.

Sviluppi successivi, dovuti allo stesso de Finetti, [5] mostrano che una larga parte della matematica della probabilità ottenuta attraverso lo schema di Bernoulli può essere recuperta attraverso un uso opportuno della regola di Bayes, e sostituendo all’ipotesi di indipendenza del processo Bernoulliano con quella, più debole di scambiabilità. Dati e ragionamento sono a tutti gli effetti due facce della stessa moneta.

Una via logica alla subadditività

Nella sua formulazione de Finetti intende gli eventi come asserzioni (cioè sottoinsiemi di uno spazio campionario) che possono essere vere o false. Questo collega direttamente la logica degli eventi alla logica Booleana.

Tuttavia, lo schema delle scommesse in cui si definisce il fondamento di coerenza per la probabilità non è limitato al quadro della probabilità classica. A partire dai primi anni 2000 [6] sono state esplorate le estensioni di questo schema a logiche più generali di quella Booleana, capaci, per esempio, di rappresentare eventi che possono verificarsi solo parzialmente (questo è il caso delle cosiddette logiche a più valori), oppure eventi che esprimono il modo in cui una certa asserzione è vera o falsa (e questo è l’ambito delle logiche modali).

È interessante notare che quest’ultime, le logiche modali, se utilizzate come base logica per la probabilità come illustrato in [3] aprono naturalmente la strada a misure di incertezza non-additive, più generali cioè della probabilità, e che sono di particolare interesse in matematica finanziaria, si veda ad esempio [2].

In sintesi, in aggiunta alla più nota concezione fisica della probabilità, il fondamento basato sulla coerenza di de Finetti costituisce una cornice metodologica capace giustificare la quantificazione dell’incertezza. Recentemente si è inoltre mostrato che l’applicabilità del fondamento basato coerenza sia applicabile ben oltre quanto considerato da de Finetti stesso. Diverse logiche portano a diverse interpretazioni degli eventi e quindi a diverse nozioni di coerenza. In quesata diversità si caratterizzano una classe molto ampia di misure di incertezza.

 

Riferimenti bibliografici

1. [1] F. Bartoš et al. Fair coins tend to land on the same side they started: Evidence from 350,757 flips. arXiv preprint arXiv:2310.04153, 2023.
2. [2] A. Cinfrignini, D. Petturiti, and B. Vantaggi. Market consistent bid-ask option pricing under dempster-shafer uncertainty. Quantitative Finance, 25(2):249–268, 2025
3. [3] E. Corsi, T. Flaminio, and H. Hosni. A logico-geometric comparison of coherence for non-additive uncertainty measures. Annals of Pure and Applied Logic, 1:103342, 2023.
4. [4] B. de Finetti. Sul significato soggettivo della probabilità. Fundamenta Mathematicae, 17:289–329, 1931.
5. [5] B. de Finetti. Foresight: Its logical laws, its subjective sources. Annales de l’Institut Henri Poincaré, 7:1–68, 1937. English translation in H.E. Kyburg and H.E. Smokler (Eds.), *Studies in Subjective Probability*, 1964/1980.
6. [6] J. Paris. A Note on the Dutch Book Method. In Teddy Seidenfeld (Eds.): Gert De Cooman, Terrence Fine, editor, ISIPTA ’01, Proceedings of the Second International Symposium on Imprecise Probabilities and Their Applications, Ithaca, NY, USA., 2001.
7. [7] A. Vulpiani. Caso, probabilità e complessità. Ediesse, 2014.