Geometria, algebra, topologia, intelligenza artificiale e dinamica dei fluidi hanno caratterizzato il 2024 della Matematica. La redazione di MaddMaths! ha raccolto alcuni risultati notevoli. 

Sta per finire il 2024. Siamo in quella fase dell’anno che oscilla tra resoconti di quanto è stato e propositi per ciò che sarà. Per la matematica il 2024 è stato ancora un anno di nuovi risultati che vanno dalla geometria alla teoria dei numeri, passando per la grande protagonista degli ultimi tempi: l’intelligenza artificiale. Non solo contribuiscono a risolvere o capire meglio problemi storicamente interessanti, ma aprono nuove strade per il futuro della ricerca, dove l’interdisciplinarità sembra farla da padrone. Ecco una panoramica dei momenti matematici salienti dell’anno, in parte ispirata all’analoga iniziativa di Quanta Magazine, ma preparata e adattata dalla nostra redazione.

Partiamo dallo storico traguardo della dimostrazione della congettura geometrica di Langlands,  uno dei pilastri del programma di Langlands. Introdotta negli anni ottanta, questa congettura tira in ballo oggetti matematici esoterici chiamati fasci. Questo risultato, frutto di oltre trent’anni di collaborazioni di un larga comunità matematica, ha unito in modo profondo geometria e teoria dei numeri, ponendo le basi per (inaspettati) sviluppi futuri. L’impatto di questa conquista pare destinato a influenzare le future generazioni.

L’intelligenza artificiale è sempre più centrale nella società, come dimostrano gli ultimi premi Nobel per la fisica. E il 2024 ne ha consacrato il collegamento con la matematica. C’è stato DeepMind di Google che si è proposto come serio concorrente per le future Olimpiadi della Matematica. E poi Alpah Geometry, un modello capace di fare dimostrazioni di geometria. Algoritmi avanzati e modelli di machine learning sono stati utilizzati per esplorare congetture e ottimizzare calcoli complessi. Forse, siamo solo agli inizi di un’era di collaborazione tra Intelligenza Artificiale e comunità matematica, anche secondo l’opinione del grande matematico Terence Tao. 

Novità sono arrivate anche dal problema di impacchettamento delle sfere. Lo si enuncia facilmente in tre dimensioni: come disporre quante più sfere possibili in un volume assegnato? I nuovi risultati riguardano il problema in dimensioni più alte, dove ci sono diverse difficoltà tecniche.

Non solo verità, ma anche confutazioni nel 2024 matematico, come un controesempio, a cui hanno lavorato due matematici italiani Elia Bruè e Daniele Semola, in collaborazione con Aaron Naber, a una versione della congettura di Milnor, formulata oltre cinquant’anni fa. Questa scoperta non solo confuta un’idea consolidata, ma apre nuove domande sulla struttura geometrica e topologica delle superfici, offrendo stimoli per future indagini.

La teoria dei numeri, la regina per definizione della matematica, ha visto progressi significativi. Sebbene ancora irrisolti, problemi storici come l’ipotesi di Riemann o la congettura abc hanno visto dei progressi. Due matematici hanno stabilito una nuova stima sul numero di possibili eccezioni all’ipotesi di Riemann, migliorando un risultato che resisteva da 80 anni. Questo ha portato anche a nuove intuizioni sulla distribuzione dei numeri primi. Tre studenti hanno migliorato la stima della dimensione massima di insiemi che contengono necessariamente schemi numerici equispaziati, nell’ambito del problema di Szemeredi. Infine, Hector Pasten è stato il protagonista dei nuovi progressi della congettura abc, che, sebbene un nome così immediato, è tutt’altro che facile da raccontare. Ne abbiamo parlato spesso in passato, e l’ultima volta era stato in questo articolo.

Anche la fluidodinamica ha visto recentemente lo sviluppo di tante nuove ricerche. Alcuni dei problemi ancora aperti sono l’esistenza globale, l’unicità e la regolarità per tempi lunghi delle soluzioni delle equazioni che descrivono i fluidi sotto varie ipotesi: fluidi comprimibili o incomprimibili, viscosi o non viscosi, in due o tre dimensioni. Per esempio qualche tempo fa avevamo raccontato i progressi nello studio dell’unicità delle equazioni di Navier-Stokes in un articolo di Dallas Albritton, Elia Brué e Maria Colombo. Invece uno dei maggiori risultati recenti sulla regolarità delle equazioni della fluidodinamica è un risultato di “esplosione” (la soluzione non rimane regolare e una delle sue derivate va all’infinito) per le equazioni di Eulero incomprimibili in tre dimensioni spaziali. In uno studio recente di Diego Córdoba e Luis Martínez-Zoroa, si fa vedere un nuovo meccanismo di esplosione per le equazioni con termine forzante nel caso di soluzioni non a simmetria assiale. Sempre per le equazioni di Eulero, ma in due dimensioni spaziali, sono molto importanti i risultati di Zineb Hassainia, Taoufik Hmidi e Nader Masmoudi che hanno mostrato in modo rigoroso l’esistenza per tutti i tempi di soluzioni particolari, descritte già nell’800 da Love, fatte da due coppie di vortici che roteano in senso opposto e si cambiano di posto durante il moto con un movimento chiamato “leapfrogging” (salto del ranocchio), come nel video qui sotto.

Questi sono solo alcuni dei maggiori traguardi della matematica nel 2024, ma magari i nostri lettori vorranno indicarcene altri nei commenti qui sotto. Per ora, oltre gli auguri di rito, non resta che chiedersi “che 2025 matematico ci aspetta?”. Al prossimo anno l’ardua sentenza.