La didattica della matematica nel contesto universitario è un argomento difficile e poco trattato. Di solito i docenti sviluppano strategie didattiche personali che affinano con l’esperienza, senza però sviluppare una vera riflessione teorica sulle ragioni, le finalità e i possibili effetti che tali strategie possono avere sui processi di insegnamento e apprendimento. In questo articolo Francesco Bottacin, Alice Lemmo, Edoardo Provenzi propongono una possibile strategia di lavoro a partire da alcune esperienze in classe. Crediamo sia interessante riflettere su questi temi, e siamo pronti come sito web ad accogliere altri interventi, anche in vista dei dati sempre sconfortanti sul divario tra numero di iscritti ai corsi di laurea in matematica e numero di laureati effettivi. 

Immaginiamo di essere in un’aula studio della facoltà di matematica di un’università qualunque. La scena che stiamo per descrivere è abbastanza frequente: due ragazze e due ragazzi seduti ad un tavolo stanno tentando di capire un passaggio particolarmente ostico di una dimostrazione…

• Anna: “ma come ha fatto l’insegnante a passare dall’equazione (4) all’equazione (5)? È da mezz’ora che ci penso, ma proprio non capisco ”
• Gabriele: “ah, non chiederlo a me, il treno è arrivato in ritardo e non ero ancora entrato in aula, ho cominciato a prendere appunti dall’equazione (8)”
• Clara: “sulle dispense c’è scritto “è facile dimostrare che”, l’insegnante lo aveva spiegato a voce ed ero certa di averlo capito durante la lezione, ma non sono riuscita a scriverlo perché si è passati subito alla conseguenza successiva”
• Tommaso: “nemmeno io ho la spiegazione sui miei appunti, vabbè dai, provo a fare una ricerca su internet, chi chiede a ChatGPT?”.

È capitato a tutti, o quantomeno alla maggioranza di studenti e studentesse, di ritrovarsi in una situazione come quella descritta sopra: i ritardi dei mezzi di trasporto non sono infrequenti, momenti di distrazione o avvenimenti al di fuori delle mura universitarie possono provocare la perdita di qualche passaggio presentato a lezione. In aggiunta, possono capitare situazioni in cui l’insegnante deve correre un po’ (o un po’ troppo) per affrontare tutti i contenuti previsti nel programma. In questo contesto, inoltre, il processo di copiatura dei testi scritti alla lavagna porta inevitabilmente studenti e studentesse a distrazioni rispetto alla comunicazione orale e gestuale o ad una mancanza di coordinamento tra quello che si scrive e quello che si ascolta, la scena descritta in precedenza ne è un esempio. Proprio per questi e tanti altri motivi, la maggior parte dei docenti mette a disposizione dei propri studenti diversi materiali di supporto, come libri, dispense, raccolte di esercizi e, sempre più spesso, videolezioni.

In didattica della matematica, questi materiali vengono considerati parte delle risorse che sostengono il processo di insegnamento e apprendimento. Alcune di esse sono predisposte direttamente dal docente e costituiscono una componente esplicita del corso; altre, invece, vengono reperite autonomamente dagli studenti quando desiderano chiarire un dubbio, recuperare un passaggio non compreso o approfondire un argomento. In ambito educativo, una risorsa è qualsiasi strumento, materiale o supporto che viene utilizzato per facilitare il processo di insegnamento e apprendimento (Adler, 2000). Entrando nel dettaglio, Pepin e Gueudet (2018) distinguono tra due tipi di risorse: quelle curricolari e quelle generali. Le risorse curricolari sono materiali o supporti creati dagli insegnanti, pensati per essere utilizzati in linea con il programma e gli obiettivi del corso. Questi materiali vengono usati sia durante le lezioni sia per lo studio individuale a casa. Dall’altra parte, le risorse generali sono materiali o supporti che non sono specificamente ed espressamente dichiarati come parte del corso e che gli studenti trovano autonomamente, come contenuti su libri, testi, siti web e, negli ultimi anni, risposte ottenute interagendo con l’IA generativa. Capita molto spesso che studenti e studentesse si avvalgano di risorse generali per colmare lacune o approfondire alcuni aspetti che possono non essere sufficientemente completi o chiari nelle risorse curricolari a disposizione.

Prima dell’avvento di Internet, si faceva affidamento soprattutto sui libri delle biblioteche, sulle riviste specializzate o sugli appunti dei compagni. Tuttavia, reperire spiegazioni, esempi o approfondimenti non era né semplice né garantito. Oggi, invece, il primo impulso è spesso quello di cercare una risposta online oppure di rivolgersi a strumenti di intelligenza artificiale generativa, come ChatGPT o Gemini. Questo approccio è certamente più rapido che consultare manualmente libri e testi in biblioteca, ma anche in questo caso non vi è alcuna garanzia di trovare il passaggio mancante, né che le spiegazioni disponibili sul web siano sempre chiare, corrette e complete. Negli ultimi anni, e in particolare durante e dopo il periodo della pandemia, il ricorso a queste risorse è diventato sempre più comune. Accanto ai testi scritti, molti studenti hanno iniziato a utilizzare con regolarità anche i video, che permettono di seguire una spiegazione con i propri tempi, fermandola e rivedendola quando necessario. Uno studio condotto durante il lockdown ha mostrato che, nello studio della matematica, i video sono diventati quasi altrettanto utilizzati quanto le tradizionali risorse scritte (Lemmo e Maffia, 2022).

Queste considerazioni trovano ampia conferma nei commenti che gli studenti del corso di Algebra Lineare e Geometria, tenuto presso l’Università di Padova da FB, riportano ogni anno nei questionari anonimi di valutazione della didattica. Nella pagina Moodle del corso sono disponibili i file PDF relativi ai contenuti delle singole lezioni; inoltre, dal 2016, le registrazioni video complete dell’insegnamento sono pubblicate sul canale YouTube del docente: www.youtube.com/@francescobottacin. L’esperienza mostra che gli studenti utilizzano questi materiali prevalentemente come supporto integrativo, e non sostitutivo, rispetto alle lezioni in presenza. La possibilità di rivedere le spiegazioni si rivela particolarmente utile sia per chiarire passaggi non pienamente compresi durante la lezione, sia per organizzare lo studio e preparare gli esami. Si può naturalmente obiettare che, per gli studenti, “scrivere e successivamente rielaborare gli appunti” costituisca un’importante occasione per sviluppare autonomia, senso critico e capacità di riflessione. A questa osservazione si può tuttavia replicare che tali competenze possono essere coltivate anche attraverso modalità alternative, ad esempio proponendo la dimostrazione di nuovi risultati o la risoluzione di ulteriori esercizi una volta assimilati i contenuti presentati a lezione.

Il dibattito contemporaneo sull’opportunità di utilizzare o meno risorse curricolari aggiuntive — digitali e non — appare, sotto molti aspetti, simile ad altre discussioni sorte in passato in occasione dell’introduzione di innovazioni, soprattutto in ambito educativo. Un esempio significativo è offerto dalla riflessione di Platone sulla scrittura nel dialogo Fedro. Platone si colloca infatti in una fase di transizione tra oralità e scrittura e manifesta un atteggiamento ambivalente: da un lato critica la scrittura, ritenendola inadatta a trasmettere il sapere filosofico più profondo; dall’altro sceglie di utilizzarla nei suoi dialoghi per preservare l’insegnamento socratico e accompagnare il passaggio verso una cultura sempre più fondata sul testo scritto. In linea con il pensiero di Socrate, che denunciava la staticità e la superficialità dei testi scritti, Platone sosteneva che il vero apprendimento avvenisse soprattutto attraverso il dialogo diretto tra maestro e allievo. Oggi questa posizione può apparire sorprendente, poiché, dopo secoli, riconosciamo pienamente le profonde trasformazioni culturali e sociali rese possibili dalla diffusione della scrittura. Per la stessa ragione, vale forse la pena interrogarsi sulle opportunità che strumenti come i video e l’intelligenza artificiale possono offrire all’insegnamento e all’apprendimento della matematica.

Un esempio particolarmente significativo di questa impostazione è stato realizzato da uno degli autori di questo articolo, Edoardo Provenzi, che lavora presso l’Istituto di Matematica dell’Università di Bordeaux. Nell’anno accademico 2024-2025 ha usufruito di un “congedo pedagogico”, ossia di un periodo dedicato alla riprogettazione di alcuni insegnamenti. Durante questo periodo ha progettato tre corsi di matematica in modalità “rovesciata” con supporti video: algebra lineare, probabilità e analisi funzionale, insegnati rispettivamente al primo, secondo e terzo anno.

L’organizzazione dei corsi prevede che, attraverso la piattaforma Moodle, gli studenti abbiano accesso in anticipo a tutto il materiale didattico: dispense complete, liste di esercizi e domande guida, accompagnate da video nei quali i contenuti sono presentati in modo analogo a una lezione frontale. Ogni video è suddiviso in capitoli, intervallati da brevi sequenze riassuntive nelle quali il docente compare grazie all’uso della “lightboard” dell’Università di Padova, mostrata nella figura seguente.

Si tratta di una lavagna con un doppio vetro all’interno del quale sono posti dei led che permettono di illuminare molto bene ciò che viene scritto con un pennarello. Una telecamera posta dalla parte opposta del vetro permette di riprendere ciò che si scrive e si dice, infine un mixer inverte la destra con la sinistra in modo che il senso della scrittura sia visto correttamente. Dietro all’insegnante è posto un telo nero che permette la sovrapposizione di materiale già scritto, come si vede nella parte destra della figura. I video dei corsi di algebra lineare e probabilità, in inglese, possono essere visti al sito web www.youtube.com/@edoardo_provenzi. Il video di ogni lezione è indicizzato in modo che ogni capitolo possa essere trovato in modo rapido, senza doverlo cercare a mano. Sulla piattaforma Moodle, il video è messo a disposizione una settimana prima della lezione frontale ed è accompagnato da un Forum dove le studentesse e gli studenti sono invitati a scrivere le loro domande, dubbi, richieste di esempi, etc. dopo aver guardato il video.

L’idea di fondo si inserisce in una linea di ricerca ormai consolidata. In diversi studi condotti anche in ambito universitario, la classe rovesciata è stata descritta come un approccio capace di spostare l’attenzione dalla semplice esposizione dei contenuti all’esplorazione dei concetti e alla risoluzione di problemi. Ad esempio, Cevikbas e Kaiser (2020) mostrano come questo modello favorisca un lavoro matematico più ricco dal punto di vista concettuale, mentre Lo e colleghi (2017) evidenziano che il tempo liberato in aula può essere utilizzato per discutere applicazioni, chiarire difficoltà e fornire feedback tempestivi. In altre parole, la tecnologia non serve soltanto a “registrare le lezioni”, ma a creare condizioni più favorevoli per un apprendimento attivo e consapevole. La lezione frontale non consiste più semplicemente nell’esporre i contenuti già presentati nei video o nelle dispense, ma si concentra piuttosto sulla risposta a domande, chiarimenti e richieste di esempi aggiuntivi. Questo assetto si propone di favorire la valorizzazione dell’interazione in aula, offrendo più spazio a domande, chiarimenti e discussioni matematiche, sotto la guida del docente. Questo cambiamento non riguarda soltanto l’organizzazione del corso, ma modifica profondamente il ruolo del tempo in aula. Gli studenti non sono più chiamati principalmente ad ascoltare e copiare, ma a formulare domande, confrontare strategie e mettere alla prova la propria comprensione. Alcuni studi hanno mostrato che questo approccio può rafforzare anche il senso di responsabilità verso il proprio apprendimento e la fiducia nelle proprie capacità matematiche (Şen & Hava, 2020; Turra et al., 2019). In questo senso, la classe rovesciata non rappresenta soltanto un diverso uso della tecnologia, ma un modo per restituire centralità all’interazione tra docente e studenti.

Alla fine di ogni corso, un questionario di valutazione di questa forma didattica è stato sottoposto ad allieve e allievi. La statistica dei risultati è molto robusta e l’apprezzamento elevato. Le due caratteristiche in assoluto più sottolineate sono state le seguenti:

• la possibilità di poter guardare (e riguardare) i video quando e dove si vuole (sottolineata in particolare da chi deve compiere un lungo tragitto per recarsi in università e da chi è in situazione di handicap);
• il cambio di paradigma dalla lezione frontale classica, definita da alcuni come “un passivo esercizio di scrittura”, ad una lezione basata sulla risposta interattiva alle domande poste da allieve e allievi, che è vista come un momento di partecipazione attiva e percepita come più efficace per l’apprendimento.

Questa seconda caratteristica è perfettamente in linea con quello che Eric Mazur, docente all’università di Harvard, sostiene da anni, dicendo che durante le lezioni frontali classiche si fa il “lavoro semplice”, quello di trasferimento di informazione, lasciando il “lavoro complicato”, quello di comprensione profonda e utilizzo creativo dell’informazione acquisita, a studenti e studentesse senza l’accompagnamento dell’insegnante. Uno dei fini della classe rovesciata è proprio quello di…”rovesciare” questo paradigma: lasciare a studenti e studentesse il lavoro semplice e interagire con loro nel processo di apprendimento profondo e utilizzo creativo.

L’esperienza descritta appare particolarmente interessante se letta alla luce del quadro teorico del Teaching for Robust Understanding (TRU, 2018), proposto da Alan H. Schoenfeld (2013; 2014). Secondo questo approccio, un ambiente di apprendimento efficace non dipende soltanto dalla correttezza dei contenuti, ma dall’equilibrio tra cinque dimensioni strettamente connesse: la matematica proposta, la domanda cognitiva delle attività, l’equo accesso ai contenuti, la responsabilità personale, autonomia e identità degli studenti e la valutazione formativa.

Nel caso dei corsi progettati a Bordeaux, la disponibilità anticipata di dispense e videolezioni si propone di pemettere agli studenti di affrontare i contenuti con i propri tempi, soffermandosi sui passaggi più complessi e tornando sulle spiegazioni ogni volta che sia necessario. Questo potrebbe quindi favorire una matematica maggiormente focalizzata e coerente, in cui le connessioni tra procedure, concetti e contesti risultano più facilmente esplorabili e comprensibili. La lezione in presenza, liberata dalla necessità di presentare nuovamente tutti i contenuti, chiama docenti e studenti a dedicarsi ad attività caratterizzate da una più elevata domanda cognitiva: discutere esempi, chiarire dubbi, confrontare strategie, formulare congetture e mettere alla prova la propria comprensione. La possibilità di accedere ai materiali in anticipo, rivedere i video e utilizzare il forum per porre domande può inoltre promuovere un più equo accesso ai contenuti, offrendo a tutti gli studenti opportunità concrete di partecipazione, indipendentemente dai tempi di apprendimento o dalle difficoltà incontrate. Allo stesso tempo, gli studenti sono chiamati ad assumere maggiore responsabilità personale, autonomia e identità. Prepararsi prima della lezione, individuare i punti meno chiari, spiegare il proprio ragionamento e sviluppare idee a partire da quelle degli altri contribuisce a rafforzare la consapevolezza di essere soggetti attivi e competenti nel processo matematico. Infine, le domande raccolte attraverso il forum e il confronto in aula possono fornire al docente informazioni preziose sul pensiero degli studenti. Questo può offrire al docente maggiori opportunità per realizzare interventi di valutazione formativa più efficace, attraverso feedback e interventi mirati che orientano l’insegnamento e sostengono i progressi successivi.

Considerati nel loro insieme, questi elementi mostrano come il valore delle tecnologie possa risiedere non tanto nei dispositivi utilizzati, quanto nella possibilità di creare ambienti di apprendimento in cui la matematica sia più significativa, la domanda cognitiva più elevata, l’accesso ai contenuti più equo, l’autonomia maggiormente valorizzata e la valutazione formativa più tempestiva ed efficace. Naturalmente, le considerazioni precedenti rappresentano una lettura dell’esperienza descritta in chiave teorica; verificare in che misura tali potenzialità si traducano effettivamente in apprendimenti costituisce una direzione per future ricerche in ambito educativo. Tra le tante questioni, ad esempio, resta aperta quella relativa al confronto sistematico dei risultati di apprendimento ottenuti attraverso differenti modalità didattiche. In questa direzione, sarebbe importante sviluppare studi comparativi che mettano in relazione modalità di insegnamento-apprendimento differenti, considerando non soltanto il rendimento agli esami, la capacità di argomentazione matematica e la riduzione delle difficoltà che spesso conducono all’abbandono degli studi STEM. Si tratta di questioni ancora aperte, che meritano ulteriori approfondimenti e che possono offrire interessanti prospettive di ricerca per comprendere meglio il ruolo che video, forum e altre risorse digitali possono svolgere nell’insegnamento universitario della matematica.

L’esperienza descritta mette in luce diverse potenzialità di questo approccio, ma suggerisce anche alcune questioni che meritano di essere considerate con attenzione. La possibilità di accedere ai materiali in qualsiasi momento e di seguire i contenuti secondo i propri ritmi rappresenta certamente un’opportunità, ma richiede al tempo stesso una significativa capacità di organizzazione e autoregolazione dello studio da parte degli studenti e delle studentesse, ai quali viene affidata una maggiore responsabilità individuale nel processo di apprendimento. Inoltre, il funzionamento stesso di questo modello presuppone che i materiali vengano effettivamente consultati e che gli studenti arrivino agli incontri in presenza nelle condizioni di partecipare attivamente alle discussioni e alle attività proposte. Diventa quindi importante interrogarsi sulle strategie che possano sostenere una partecipazione significativa e continuativa. A ciò si aggiunge un ulteriore elemento: la progettazione di videolezioni, materiali strutturati, forum e attività interattive richiede un investimento considerevole di tempo, competenze e risorse da parte dei docenti. Una riflessione su questi approcci dovrebbe pertanto considerare non soltanto i possibili benefici per gli studenti, ma anche le condizioni che ne rendono sostenibile l’adozione nel lungo periodo.

Per concludere, riteniamo che, in un futuro sempre più prossimo, l’impiego di strumenti maggiormente familiari alle nuove generazioni — come i supporti video o un uso consapevole dell’intelligenza artificiale come forma di tutoraggio personalizzato — rappresenterà un’integrazione sempre più naturale della pratica didattica. Integrare, del resto, non significa sostituire, ma ampliare le possibilità formative, valorizzando ciò che ogni risorsa didattica può offrire di più significativo. Le esperienze discusse in questo contributo intendono offrire spunti di riflessione e possibili piste di ricerca per la didattica universitaria della matematica. In particolare, appare importante approfondire il rapporto tra accessibilità dei materiali e autonomia degli studenti, comprendere quali condizioni favoriscano una partecipazione effettiva e continuativa alle attività proposte e riflettere sulla sostenibilità, per docenti e istituzioni, di approcci che richiedono un significativo investimento di tempo e risorse.

Francesco Bottacin, Alice Lemmo, Edoardo Provenzi

Bibliografia

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Cevikbas, M., Kaiser, G. (2020). Flipped classroom as a reform-oriented approach to teaching mathematics. ZDM Mathematics Education 52, 1291–1305. https://doi.org/10.1007/s11858-020-01191-5

Lemmo, A., & Maffia, A. (2022). High School Students’ Use of Digital General Resources During Lockdown. European Journal of Science and Mathematics Education, 10(1), 139-153. https://doi.org/10.30935/scimath/11465

Pepin, B., & Gueudet, G. (2018). Curriculum Resources and Textbooks in Mathematics Education. In S. Lerman (Ed.), Encyclopaedia of Mathematics Education (pp. 1-5). Cham: Springer International Publishing.

Schoenfeld, A. H. (2013). Classroom observations in theory and practice. ZDM, the International Journal of Mathematics Education, 45, 607–621. https://doi.org/10.1007/s11858-012- 0483- 1.

Schoenfeld, A.H. (2014). What makes for powerful classrooms, and how can we support teachers in creating them? Educational Researcher, 43(8), 404–412. https://doi.org/10.3102/0013189X1455.

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