Recentemente mi sono imbattuto in questo esercizio per la classe terza della scuola primaria:
Viene chiesto, seguendo gli esempi, di disegnare tre poligoni con perimetro pari a 35 unità. Ma è possibile farlo, seguendo la griglia quadrettata?
No.
Proposizione 1. Un poligono con tutti i lati sulla griglia quadrettata ha perimetro pari (e almeno 4). Viceversa, per ogni numero pari \(2n\geq4\) c’è un poligono con tutti i lati sulla griglia quadrettata con perimetro \(2n\).
Dimostrazione. Un poligono ha il perimetro che è una linea chiusa. Seguendo il perimetro, ogni lato del poligono ha una lunghezza intera e si muove verso una delle quattro direzioni (alto, basso, destra sinistra). In una linea chiusa lo spostamento totale verso sinistra e verso destra sono uguali (diciamo \(a\geq1\)) così come lo spostamento totale verso l’alto e verso il basso (diciamo \(b\geq1\)). Il perimetro di tale poligono è \(2(a+b)\geq4\), che è pari, essendo \(a,b\) interi.
Viceversa, se \(2n\geq4\), allora il rettangolo di lati \(n-1,1\) soddisfa la richiesta.
\(\fbox{ }\)
Potremmo chiederci cosa succede abbandonando la richiesta che i lati siano sulla griglia quadrettata, ma che lo siano solo i vertici. Ovviamente in questo caso bisogna far uso del teorema di Pitagora per calcolare il perimetro ed è pertanto un problema fuori dalla portata dei bambini di terza primaria. Per amor di completezza trattiamo però anche questo caso. Può ovviamente capitare che il perimetro non sia intero. Ma se imponiamo che il perimetro sia intero, allora:
Proposizione 2. Un poligono con tutti i vertici su una griglia quadrettata e perimetro intero, ha perimetro pari.
Dimostrazione. Ogni lato del poligono ha lunghezza pari alla radice quadrata di un numero intero positivo, grazie al teorema di Pitagora. Se un lato ha lunghezza non intera, allora ha lunghezza irrazionale e di conseguenza anche il perimetro non ha lunghezza intera.
Pertanto ogni lato deve avere lunghezza intera. Ciò accade se e solo se il lato giace sulla griglia, oppure è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui lati formano una terna pitagorica. Modifichiamo la linea chiusa del perimetro del poligono sostituendo questa ipotenusa con i due cateti. Per un ragionamento elementare di parità, la parità della somma delle lunghezze dei cateti è uguale alla parità della lunghezza dell’ipotenusa. Pertanto tale operazione non modifica la parità della lunghezza della curva chiusa. Con un numero finito di queste sostituzioni, arriviamo ad una curva chiusa che giace sulla quadrettatura. La sua lunghezza ha la stessa parità del perimetro del poligono e, per la dimostrazione della Proposizione 1, è pari.
\(\fbox{ }\)
Pertanto la richiesta dell’esercizio non può essere assecondata neppure costruendo un poligono coi vertici sulla griglia e dobbiamo accontentarci di soluzioni di questo tipo:
Concludo con un’osservazione didattica. Capita che sui libri siano presenti errori: soluzioni sbagliate, errori di conto, definizioni imprecise o addirittura esercizi senza soluzione. Gli errori sono quasi impossibili da rimuovere. Quello che si può e si deve fare è sfruttare gli errori in primo luogo per far capire che il libro di testo (e l’insegnante) non sono immuni da errori e si può sempre pensare di metterli in discussione e in secondo luogo per far sperimentare un po’ di matematica agli studenti. La dimostrazione della Proposizione 1 è alla portata di uno studente di terza primaria e quella della Proposizione 2 alla portata di uno studente delle medie. Anzi, opportunamente guidati, possono provare ad esplorare il problema e giungere loro stessi ad una dimostrazione o perlomeno ad una argomentazione sul perché accade questo fenomeno.
Non male, come risultato per un esercizio sbagliato.
Ringrazio il gruppo facebook matematica alla primaria in cui mi sono imbattuto nel problema.
Grazie per questo post che mi ha tolto dall’imbarazzo! Mio figlio doveva proprio fare il compito della pagina del libro in esame. Dopo averci provato più volte è corso in auto. Spavaldo gli ho detto … ora ne facciamo insieme uno così capisci…
Mi sfugge un punto nella dimostrazione della proposizione 2. Se più lati hanno lunghezza non intera (e quindi irrazionale), come si può dimostrare, a livello di scuola media, che il perimetro non ha lunghezza intera?
In effetti lì ho barato.
A livello di scuola media quello non si può dimostrare (almeno non che io sappia).
In tanti mi hanno fatto notare quel punto, in cui ho volutamente nascosto un po’ di polvere sotto il tappeto.
Così tanti che ora scriverò un nuovo post sull’argomento.
Ecco i dettagli: http://maddmaths.simai.eu/didattica/la-polvere-sotto-il-tappeto/
Grazie! Estremamente interessanti entrambi gli articoli!
Bellissimo articolo, bellissimo lo spirito con cui è scritto, bellissimo l’approccio all’errore, bellissimo il modo con cui ricavare una riflessione intelligente da un esercizio pensato banale. Il “ragionamento elementare di parità” per cui “la parità della somma delle lunghezze dei cateti è uguale alla parità della lunghezza dell’ipotenusa” non è poi così banale finché non si mastica un po’ di calcolo letterale (terza media), o sono io che non riesco a pensare ad una via più sintetica?
Grazie per i complimenti.
Il ragionamento di parità è questo: un numero e il suo quadrato sono entrambi pari o entrambi dispari.
Quindi, poiché la somma dei quadrati dei cateti è uguale al quadrato dell’ipotenusa, la parità della somma dei cateti è uguale alla parità dell’ipotenusa.
Più semplicemente, per dirlo ai ragazzi: se i due cateti sono pari, allora il quadrato dell’ipotenusa, e quindi anche l’ipotenusa è pari; se sono uno pari e uno dispari, allora il quadrato dell’ipotenusa, e quindi l’ipotenusa è dispari; se sono entrambi dispari, allora il quadrato dell’ipotenusa, e quindi l’ipotenusa è pari*.
*In realtà questo caso è impossibile, come si verifica con le congruenze modulo 4, ma non ci interessa escluderlo per il nostro ragionamento.