In quanti modi posso fare ambo al gioco del Lotto? In quanti modi possono ricadere due dadi lanciati in aria? Quante sono le possibili schedine del totocalcio? Quante strette di mano ci saranno tra cinque amici che s’incontrano? Sono domande a cui risponde il Calcolo Combinatorio. Conoscere le risposte ci aiuta a saper scegliere in modo consapevole e, soprattutto, a non rovinarci al gioco! Anna Cerasoli, matematica, insegnante, scrittrice, divulgatrice, ci propone una piccola introduzione in tre puntate, una volta la settimana, a questa parte della matematica, così semplice e spesso divertente, che però trova poco spazio nei programmi didattici. Tutte le puntate le ritrovate raccolte in questa pagina.

Il Calcolo combinatorio è di grande importanza nella vita di tutti i giorni, eppure questa parte della matematica, così semplice e spesso divertente, trova poco spazio nei programmi didattici: semplice perché nell’ambito del Calcolo Combinatorio si lavora esclusivamente con i numeri naturali, divertente perché ha molto a che fare con giochi e quiz. Inoltre, il Calcolo Combinatorio è di grande importanza nel Calcolo delle Probabilità, tema che ha un forte valore formativo e andrebbe insegnato sin dalla scuola primaria. Se poi consideriamo la grave situazione in cui si trova l’apprendimento della matematica nella scuola italiana, i cui studenti occupano gli ultimi posti delle graduatorie internazionali, sorge spontanea la richiesta di integrare quanto proposto dai programmi con nuovi argomenti che suscitino curiosità e interesse e arricchiscano le competenze.

Quanto segue è il primo di tre articoli in cui viene presentato il Calcolo Combinatorio a livello di scuola elementare. Da un punto di vista teorico riguarda il Prodotto Cartesiano e la Potenza Cartesiana tra insiemi finiti, nei successivi due articoli verranno trattate Permutazioni, Disposizioni, Combinazioni e Insieme delle parti. Termini che possono spaventare, così come spaventano i corrispondenti simboli utilizzati dalla teoria

\( \Large n\times  m \ \ s^n \ \ n!\ \ (n)_k \ \ \left( \begin{array}{c} n \\ k\end{array} \right) \ \ 2^n\)

Ecco perché, al fine di rendere il tutto più semplice e interessante, utilizzeremo esclusivamente 6 facili esempi, tratti dalla realtà, ciascuno dei quali rappresenterà il modello a cui riferire il corrispondente concetto teorico.

Come mi vesto?
Quante parole?
Quadri alla parete
Alcuni quadri alla parete
Alcuni quadri da scegliere
Pasticcini a volontà

Iniziamo con il modello “come mi vesto?”

Sofia deve scegliere come vestirsi: ha 3 maglie (bianca, verde, nera) e 2 gonne (gialla, rossa), quindi è facile immaginare i possibili abbinamenti su una tabella a doppia entrata che mostra \(3\times 2=6\) casi.

Da un punto di vista teorico, tutte le possibili coppie di elementi, presi rispettivamente da un insieme A che ne possiede n e un insieme B che ne possiede m, sono

\( \Large n \times m \)

Tale operazione è chiamata Prodotto Cartesiano e indicata con AxB. Nel caso di Sofia si è trattato delle 6 coppie del Prodotto Cartesiano (b,v,n) x (g,r):

(b,g), (b,r), (v,g), (v,r), (n,g), (n,r)

Se poi Sofia vuole aggiungere anche le scarpe, che può scegliere tra 2 diverse paia, si avrà il prodotto cartesiano di tre insiemi, illustrato con un doppio strato in una la tabella tridimensionale, perciò avrà \(3\times2\times2=12\) possibili terne.

Ovviamente, se gli indumenti sono più di 3, dato che noi umani non possiamo vedere oltre la terza dimensione, Sofia dovrà trovare un altro strumento per elencare i possibili abbinamenti: il diagramma ad albero. Eccolo illustrato nel prossimo esempio.

Facciamo il caso che la nostra amica sia al ristorante e voglia scegliere un pasto completo a partire dal menù che prevede 2 possibili primi, 3 secondi, 2 contorni e 2 dessert. Ecco il diagramma ad albero che permette di elencare tutte le \(2\times3\times2\times2 = 24\) quaterne tra cui scegliere.

Sempre parlando di menù, facciamo ora un esempio diverso che ci porterà al nuovo modello: quante parole? Durante la settimana, a pranzo, Sofia mangia a mensa e prende solo un primo piatto scegliendo tra i 3 proposti: Agnolotti, Fettuccine, Timballo.

Agnolotti

Fettuccine

Timballo

Ogni giorno ha sempre le stesse 3 possibilità, un Prodotto Cartesiano con insiemi tutti uguali, dunque si tratta di una Potenza Cartesiana:

\( (A, F, T) \times (A, F, T) \times (A, F, T) \times (A, F, T) \times (A, F, T)\)

Perciò nei 5 giorni, immaginando un diagramma ad albero con 5 ordini di nodi, ciascuno con 3 rami, Sofia avrà \(3^5\) diversi modi di scegliere. Per esempio, in questa settimana ha scelto   

FATTA

cioè Fettuccine, Agnolotti, Tortellini, Tortellini, Agnolotti. A riassumere la situazione è bastata la parola FATTA, scritta a partire dall’alfabeto AFT. Questo ci suggerisce un’idea molto utile! Sono vari i problemi che si possono risolvere utilizzando la Potenza Cartesiana per cercare parole (sequenze di simboli) a partire da un alfabeto (insieme di simboli). Eccone alcuni.

Pensiamo alla schedina del totocalcio: ogni colonna, anche se scritta in verticale e non in orizzontale, può essere vista come una parola lunga 13 con un alfabeto di 3 simboli (1, 2, X). Ecco un esempio

1
1
x
2
x
1
2
2
2
x
1
2
2

Quindi i possibili risultati sono \(3^{13}\). Anche tutti i possibili risultati del lancio di 2 dadi possono essere immaginati come parole lunghe 2 caratteri, con un alfabeto di 6 caratteri (le 6 diverse cifre rappresentate sulle 6 facce).

Perciò saranno \(6^2\).

E i possibili risultati di 3 lanci di una moneta? Saranno 8, cioè \(2^3\). Infatti l’alfabeto sarà (T,C), vale a dire Testa o Croce, e la lunghezza della parola sarà di 3 simboli:

TTT, TTC, TCT, CTT, TCC, CTC, CCT, CCC

Anche il codice a barre che, alla cassa, in un clic identifica il prodotto appena acquistato

altro non è che una parola di 95 caratteri scritta con l’alfabeto formato da una barra scura e una barra chiara! In generale diremo che questo tipo di problemi si riferisce al modello che risponde alla domanda “quante parole?”. E lo possiamo definire così: le parole lunghe n caratteri, scritte utilizzando un alfabeto di s simboli sono

\(\LARGE s^n\)

Per il momento cercate anche voi problemi della realtà che rispondono ai due modelli illustrati. A presto, per presentarvi gli altri quattro.

1-continua qui

Anna Cerasoli

Tutte le puntate le ritrovate raccolte in questa pagina.   

• Anna Cerasoli. Sono il numero 1. Come mi sono divertito a diventare bravo in matematica!  con Ilaria Faccioli (Illustratore), Feltrinelli, 2008, Collana: Feltrinelli Kids,129 p., ill. , Brossura, EAN:  9788807921278.

• Anna Cerasoli. La sorpresa dei numeri. Un viaggio nella matematica simpatica.  con A. Gon (Illustratore), Editoriale Scienza, 2013, Collana: Non solo numeri. Pagine: 176 p., ill. , Rilegato, EAN: 9788873076209.

Crediti delle immagini. Se non indicato le immagini sono di proprietà dell’autrice. Agnolotti, immagine di Racool_studio on Freepik, Fettuccine, immagine di timolina on Freepik, Timballo, immagine di Fabiana on Flickr, Foto dei dadi di Clker-Free-Vector-Images da Pixabay