Da qualche anno, chi si dedica allo studio della teoria degli insiemi può sognare di vincere un proprio “Premio Nobel”: si tratta della medaglia Hausdorff, e il vincitore più recente (2024) è Gabriel Goldberg. Questo articolo è stato scritto da Cesare Straffelini.
Probabilmente tutti abbiamo sentito parlare almeno una volta della medaglia Fields e del premio Abel, spesso soprannominati “il premio Nobel della matematica”. Tuttavia, la matematica è una disciplina estremamente vasta, e purtroppo progressi importanti in materie più trascurate, come la logica matematica, storicamente vengono molto di rado considerati per l’assegnazione di questi premi, riservati quasi sempre a ricerche in ambiti molto investigati, come la geometria algebrica o il calcolo delle variazioni. Da qualche anno, però, anche chi si dedica allo studio della teoria degli insiemi può sognare di vincere un premio per le proprie ricerche: si tratta della medaglia Hausdorff, cosí chiamata in onore del topologo e teorico degli insiemi tedesco Felix Hausdorff (1868-1942).
Istituita nel 2013 e assegnata ogni due anni dalla European Set Theory Society (la società europea di teoria degli insiemi), la medaglia Hausdorff non avrà la rilevanza mediatica che possono avere la medaglia Fields o il premio Nobel, ciononostante, la lista dei vincitori di questo premio è formata da nomi estremamente autorevoli, come quelli di Hugh Woodin o di Saharon Shelah. Ciascuno dei matematici che hanno ottenuto il premio meriterebbe un articolo a sé in questa rubrica!
Oggi siamo qui invece per parlare del vincitore piú recente (2024) della medaglia Hausdorff, Gabriel Goldberg. Gabriel, che ho avuto il piacere di conoscere la scorsa estate, è molto giovane, nato nel 1992, ma già professore di matematica all’università di Berkeley. Ha conseguito il dottorato ad Harvard nel 2019 sotto la supervisione di Hugh Woodin (sì, proprio quel Woodin vincitore della stessa medaglia Hausdorff nel 2013), con una tesi intitolata The Ultrapower Axiom. Tale tesi, poi ampliata e confluita in un omonimo libro pubblicato da De Gruyter nel 2022, introduce un “nuovo assioma” per la matematica, che appunto in inglese è stato denominato Ultrapower Axiom, cioè assioma dell’ultrapotenza.
Ma in che senso Goldberg ha introdotto un nuovo assioma? Non sono già tutti noti gli assiomi sui quali si basa la matematica? Ebbene, per essere sinceri, no. Dovete sapere che fare ricerca in teoria degli insiemi è molto diverso dall’indagare in altre branche della matematica: infatti, mentre un analista o un geomètra cercano soluzioni e risposte a domande date, in un certo senso i teorici degli insiemi cercano quali siano le giuste premesse su cui tali domande si possano basare. Effettivamente, come dimostrò nel 1931 Kurt Gödel con il suo Primo Teorema di Incompletezza, la matematica è incompleta, nel senso che è impossibile avere un sistema formale coerente di assiomi che sia abbastanza potente da stabilire se ogni enunciato sia vero o falso: c’è sempre qualcosa che gli sfugge.
Per tale motivo, i matematici hanno deciso di adottare un sistema comune di assiomi, detto ZFC, che sta per Zermelo-Fraenkel with choice: Ernst Zermelo (1871-1953) e Abraham Fraenkel (1891-1965) furono coloro i quali formularono questi assiomi, e choice indica l’assioma di scelta, il piú discusso e contestato tra questi assiomi, che merita una menzione specifica per via del suo carattere non costruttivo. La quasi totalità dei teoremi che vengono dimostrati ogni anno dai matematici di tutto il mondo utilizzano soltanto assiomi di ZFC, sia per risultati di teoria dei numeri, sia per la geometria, l’analisi, la fisica matematica, ecc.
Fare ricerca nell’ambito della teoria degli insiemi è completamente diverso, quasi filosofico: infatti, oltre ad interrogarsi sulle conseguenze degli assiomi di ZFC, i teorici degli insiemi si chiedono come estendere ZFC per catturare nuove verità matematiche, cercando di scoprire quanti piú segreti possibile riguardo alla realtà. Ad esempio, all’inizio del Novecento molti matematici si stavano interrogando sulla questione dell’ipotesi del continuo, tanto che David Hilbert (1862-1943) la pose al primo posto nella sua celebre lista dei 23 problemi. La domanda è la seguente: è noto che tra l’insieme dei numeri naturali e l’insieme dei numeri reali non c’è alcuna corrispondenza biunivoca, cioè l’insieme dei numeri reali è molto più grande di quello dei numeri naturali. Ma esiste qualcosa di intermedio tra i due, oppure il “salto” di cardinalità tra uno e l’altro è il più piccolo possibile? Se non esiste nulla di intermedio, si dice che “l’ipotesi del continuo è vera”, e in un certo senso questo significa che i numeri reali sono tanti, sì, ma non enormemente. Mentre se invece esiste anche qualcosa in mezzo, l’ipotesi del continuo è falsa e l’insieme dei numeri reali è davvero enorme.
Nel 1963, il matematico statunitense Paul Cohen (1934-2007) trovò una tecnica rivoluzionaria, chiamata forcing, la quale gli permise di dimostrare che la risposta al problema del continuo era indipendente da ZFC: ovvero, gli assiomi non bastano per stabilire se sia vera o sia falsa. L’idea di base per dimostrare che un qualche enunciato è indipendente dagli assiomi di ZFC è quella di partire da un modello di ZFC (vale a dire un grande recipiente che contenga tutti gli oggetti matematici che possano esistere) e costruire un altro modello che “cambi risposta” alla domanda indipendente che ci interessa. Ci sono varie tecniche diverse per fare ciò, il forcing di Cohen è una di queste tecniche, e la scoperta fu così sensazionale che gli valse la vittoria della medaglia Field. Egli diventò così il primo (e, fino ad oggi, l’unico) ad aver vinto tale onorificenza per sviluppi nella teoria degli insiemi, o più in generale addirittura nella logica matematica.
Da quel momento in avanti, alla maggior parte dei matematici non importò più la risposta al problema del continuo, perché una risposta era stata trovata, e cioè che ZFC non è capace di fornire una soluzione. Tuttavia i teorici degli insiemi, che dimostrano un’attitudine filosofica, non sono soddisfatti di questa risposta perché riguarda i limiti della deducibilità da un sistema assiomatico; idealmente invece ci si dovrebbe interessare alla verità o alla falsità dell’ipotesi del continuo in un senso assoluto. Dunque, ciò che fanno i teorici degli insiemi è cercare altre certezze, altri assiomi da aggiungere a ZFC per capire più a fondo i segreti dell’universo.
Questo è precisamente anche ciò che ha fatto il nostro Gabriel Goldberg: ha formulato un nuovo assioma, l’Ultrapower Axiom, e ha studiato quali siano le sue conseguenze. Cosa sostiene tale assioma? Ovviamente cercare di sintetizzarlo in poche righe è difficile, perché il suo enunciato preciso ha bisogno di molte definizioni tecniche. Il concetto su cui si basa è quello dell’ultrapotenza, una costruzione matematica che permette partendo da un modello di costruirne un altro piú grande, in una maniera sostanzialmente diversa dal forcing di Cohen.
Supponiamo di avere il nostro modello universo V e di costruire due ultrapotenze differenti, raggiungendo due modelli diversi \(M_1\) ed \(M_2\). Questi due modelli a priori sono completamente distinti, e non hanno modo di comunicare tra loro. Ebbene, l’Ultrapower Axiom di Goldberg (UA) afferma invece che esiste un quarto modello P che è raggiungibile sia da \(M_1\) sia da \(M_2\) tramite ultrapotenze (ovviamente diverse). Ciò chiaramente non è scontato e non è dimostrabile in ZFC, dunque la proposta di Goldberg è di considerare quali siano le conseguenze della teoria ZFC+UA, e questo è ciò che egli approfondisce nel suo libro.
Perché questo assioma è importante, a tal punto da aver fatto vincere la medaglia Hausdorff a Goldberg? Quando si introduce un nuovo assioma in teoria degli insiemi, a mio avviso, le due proprietà fondamentali da tenere in considerazione sono le seguenti: l’assioma deve avere delle conseguenze sostanziali che non si possono ottenere usando solo ZFC; e l’assioma deve essere basato su presupposti solidi, cioè non deve essere inconsistente. Per quanto concerne le conseguenze, innanzitutto l’assioma di Goldberg implica l’ipotesi del continuo. Questo risolve un problema aperto da più di un secolo? No, perché l’ipotesi del continuo resta indipendente da ZFC. Però crea un nuovo possibile background comune in cui si può “fare matematica” e nel quale conosciamo la risposta a molte domande per le quali la debole teoria di Zermelo e Fraenkel da sola non basta: ad esempio, UA implica che la generalizzazione dell’ipotesi del continuo vale al di sopra del più piccolo cardinale supercompatto (cioè: se \(X\) è infinito, non esiste nessun cardinale compreso tra \(X\) e il suo insieme delle parti), e molte altre proprietà combinatorie dell’universo per le quali ZFC è troppo debole. Dunque le conseguenze di UA sono ottime.
Cosa possiamo dire invece della sua consistenza? Purtroppo c’è un grande ostacolo, e cioè il Secondo Teorema di Incompletezza di Gödel. Questo risultato classico afferma che nessun sistema formale coerente può essere capace di dimostrare la propria coerenza, nemmeno ZFC. Dunque ciò che fanno i matematici quando utilizzano gli assiomi di Zermelo e Fraenkel è una specie di “atto di fede”, un po’ come se i due matematici tedeschi fossero stati dei Mosè dell’era moderna, che ci hanno portato gli assiomi di ZFC incisi sulle tavole della legge. A questo punto, è d’uopo non esagerare: credere nella coerenza di ZFC è, sì, un piccolo atto di fede, ma il fatto che milioni di persone al mondo sfruttino ogni giorno questi assiomi e nessuno sia stato ancora capace di trovare in esso una contraddizione sicuramente corrobora la nostra convinzione della coerenza di ZFC.
Diverso è il caso dell’assioma dell’ultrapotenza: come mai è stato cosí apprezzato dalla comunità della teoria degli insiemi, anche se non si può dimostrare la sua coerenza? Tale assioma riesce ad inserirsi in un framework già ben rodato e studiato da anni, composto da tante proposte precedenti di altri assiomi e altre congetture matematiche, e lo fa in modo talmente elegante e preciso da farci pensare che Goldberg sia davvero riuscito a formulare una nuova certezza nel panorama matematico. Guardando in avanti, forse questa nuova scoperta riuscirà ad aiutarci a risolvere importanti congetture, come la HOD Conjecture, la \(\Omega\) Conjecture o la Ultimate-L Conjecture.
Non ci resta che aspettare e sperare… oppure metterci anche noi a lavorare su questi problemi. Come dice sempre Woodin, questa è l’epoca migliore di sempre per studiare teoria degli insiemi, non lasciamoci scappare l’opportunità di farlo!
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