Attraverso lo specchio

da AILAxMaddMaths! | 6 Maggio 2025 | AILAxMaddMaths!, Scoperte | 1 commento

In matematica capita che una struttura possieda un alter ego che vive in un mondo completamente diverso. Questo gioco di specchi viene formalizzato come dualità categoriale e traduce informazioni attraverso mondi differenti. Qui faremo un piccolo viaggio tra queste dualità. Parleremo di coppie strane ma inseparabili: geometria e algebra, insiemi e logica, curve ed equazioni. Questo articolo è stato scritto da Marco Abbadini.

Come per dottor Jekyll con mister Hyde, o come per Jake Sully con il suo avatar nel mondo dei Na’vi, anche in matematica capita che una struttura possieda un alter ego che vive in un mondo completamente diverso.

Questo gioco di specchi viene formalizzato come dualità categoriale e traduce informazioni attraverso mondi differenti. In questo articolo faremo un piccolo viaggio tra queste dualità. Parleremo di coppie strane ma inseparabili: geometria e algebra, insiemi e logica, curve ed equazioni. Un lato individua punti, l’altro manipola lettere. Eppure raccontano la stessa storia.

UN ESEMPIO: LA DUALITÀ DI STONE

Un primo esempio si chiama “dualità di Stone”. Per parlarne dobbiamo fare un salto a più di 150 anni fa, quando George Boole impacchettò le regole del ragionamento in un oggetto matematico: l’algebra di Boole.

Un’algebra di Boole è un insieme (da pensare come insieme di proposizioni, cioè di affermazioni) dotato di alcune operazioni:

$p \land q$ , da leggere “ $p$ e $q$ ”, che è vera precisamente se sia $p$ sia $q$ lo sono,
$p \lor q$ , da leggere “ $p$ o $q$ ”, che è vera precisamente se almeno una tra $p$ e $q$ lo è,
$\lnot p$ , da leggere “non $p$ ”, che è vera precisamente se $p$ non lo è,

e dotata inoltre di due elementi speciali, denotati coi simboli $1$ (vero) e $0$ (falso). Mentre una qualsiasi proposizione potrebbe essere vera o falsa, $1$ è sempre vero e $0$ falso.

Per formare un’algebra di Boole, queste operazioni devono rispettare alcune equazioni che ricordano le leggi dell’insiemistica; ad esempio, l’equazione $p \land \lnot p=0$ (“è impossibile che valga sia una proposizione che la sua negazione”) è reminiscente del fatto che l’intersezione tra un sottoinsieme $P$ ed il suo complementare $P^c$ è vuota. Infatti, un primo esempio di algebra di Boole è l’insieme delle parti (cioè dei sottoinsiemi) $P(X)$ di un insieme $X$ , dotato delle operazioni di intersezione, unione e complementare. Più in generale, ogni famiglia di sottoinsiemi di $X$ chiusa per intersezione, unione e complementare e contenente $X$ e $\emptyset$ forma un’algebra di Boole. Il teorema di rappresentazione di Stone, degli anni ’30, afferma che tutte le algebre di Boole si ottengono in questo modo:

Ogni algebra di Boole è isomorfa a una famiglia di sottoinsiemi di qualche insieme chiusa per intersezione, unione e complementare e contenente $X$ e $\emptyset$ .

Per fare un esempio: la proposizione “è fine settimana” si può identificare con il sottoinsieme {sabato, domenica} dell’insieme dei giorni della settimana. In generale, ogni proposizione si può identificare con l’insieme dei cosiddetti mondi possibili in cui tale proposizione è valutata vera. Le operazioni logiche diventano così operazioni insiemistiche.

In sintesi, il teorema di rappresentazione di Stone ci consente di vedere qualunque algebra di Boole, per quanto astratta, in modo concreto come una famiglia di sottoinsiemi! Quest’ultimo approccio è molto familiare ai matematici; possiamo utilizzare dei diagrammi di Eulero-Venn, per esempio. Inoltre, se un’algebra di Boole di $2^n$ elementi è troppo grande per essere immaginata e descritta direttamente, possiamo usare il fatto che è isomorfa all’insieme delle parti di un insieme di molti meno elementi: $n$ .

Per promuovere il “teorema di rappresentazione” a una vera e propria “dualità”, ci servono due ulteriori ingredienti.

Primo ingrediente. Tra tutte le rappresentazioni possibili di un’algebra di Boole ce n’è una canonica, e Stone individuò le proprietà che la caratterizzano: è l’unica ad essere sia separante che compatta. Queste proprietà erano già familiari ai matematici dell’epoca, perché appartenevano al dominio della topologia, cioè allo studio degli spazi. Stone definì così una particolare classe di spazi topologici, oggi chiamati spazi di Stone: insiemi $X$ dotati di una topologia che consente di individuare un’algebra di Boole di sottoinsiemi di $X$ separante e compatta. Questa associazione tra spazi di Stone e algebre di Boole è biunivoca, ed è il primo ingrediente nella dualità di Stone.

Il secondo ingrediente riguarda le funzioni. Prendiamo due algebre di Boole, a cui corrispondono due spazi di Stone. Le funzioni interessanti tra le due algebre di Boole sono quelle che preservano la struttura booleana: gli omomorfismi. Tra gli spazi di Stone, invece, le funzioni interessanti sono quelle continue (una nozione topologica). Ecco il secondo ingrediente: gli omomorfismi dalla prima algebra di Boole alla seconda sono in biiezione con le funzioni continue dal secondo(!) spazio di Stone al primo. Le funzioni si corrispondono, ma il verso risulta invertito.

Ecco dunque la dualità di Stone: una biezione tra algebre di Boole e spazi di Stone che coinvolge anche le funzioni, ma con il verso invertito. La dualità di Stone è un esempio di una “dualità categoriale”; di cosa si tratta? In matematica, una categoria è formata da una collezione di strutture (come le algebre di Boole) e da una nozione di funzioni tra di esse (come gli omomorfismi). Una dualità categoriale è uno “specchio” che mette due categorie in corrispondenza biunivoca, ma con le funzioni ribaltate.

Questa corrispondenza biunivoca permette di trasferire un problema da una categoria all’altra e scegliere ogni volta il contesto più comodo per ragionare.

TANTE DUALITÀ DAL CAPPELLO

La dualità di Stone non è un caso isolato. In matematica capita spesso che strutture algebriche (insiemi dotati di operazioni) e strutture geometriche (insiemi dotati di sottoinsiemi o relazioni) si guardino allo specchio. La branca della geometria algebrica ha già nel suo nome un riferimento a questa connessione. In logica, dualità simili alla dualità di Stone vengono usate per studiare varie logiche diverse da quella classica.

Nel decennio che seguì il risultato di Stone, nel campo dell’analisi funzionale si ottennero delle dualità per varie classi di strutture dal sapore algebrico simili a spazi vettoriali dotati di una metrica. Queste dualità mostrano che un tale spazio vettoriale metrico può essere pensato come l’insieme di funzioni reali continue su un certo spazio topologico. Quale tipo di spazio topologico? Uno spazio compatto di Hausdorff, cioè una generalizzazione del concetto di intervallo chiuso della retta reale. Questi spazi sono una versione più “continua” degli spazi di Stone, i quali invece sono molto più “sconnessi”.

Una versione curiosa di queste dualità per spazi compatti di Hausdorff è stata finalizzata recentemente. Per contestualizzarla, occorre menzionare l’interesse dei matematici per le classi di algebre assiomatizzate da equazioni, cioè condizioni della forma

$\forall x_1,\dots,x_n \ s(x_1,\dots,x_n)=t(x_1,\dots,x_n)$

dove $s(x_1,\dots,x_n)$ e $t(x_1,\dots,x_n)$ sono espressioni che combinano le variabili $x_1,\dots,x_n$ con le operazioni algebriche. Ad esempio, la classe delle algebre di Boole è assiomatizzata da equazioni, e ciò garantisce varie proprietà (che sia chiusa per prodotti, sottalgebre e quozienti, che ammetta algebre libere…). Già nel 1969 John Duskin aveva mostrato che la categoria degli spazi compatti di Hausdorff è duale a una qualche categoria di algebre assiomatizzate da equazioni. Con un risultato pubblicato nel 2018 sulla rivista Advances in Mathematics, Vincenzo Marra e Luca Reggio hanno infine risolto il problema aperto di trovare un’assiomatizzazione esplicita per queste algebre, chiamate $\delta$ -algebre, esibendo una lista finita di equazioni che le definisce.

DUE OMBRE SOTTO UN UNICO OMBRELLO

Abbiamo visto due tipi di dualità:

la dualità di Stone,
le dualità per spazi compatti di Hausdorff, con algebre simili a spazi vettoriali.

L’ultima tappa del nostro percorso riguarda la ricerca di una generalizzazione comune delle due.

Per arrivarci, notiamo che ogni spazio di Stone, essendo un particolare spazio compatto di Hausdorff, vanta una $\delta$ -algebra associata; essa è però piuttosto diversa dall’algebra di Boole associata al medesimo spazio. È come se stessimo usando due specchi molto diversi, ottenendo per lo stesso spazio due algebre dissimili. Ma che comunque ammettono una generalizzazione comune: così come gli spazi vettoriali (che compaiono in varie dualità per spazi compatti di Hausdorff) sono dotati di una somma, anche in un’algebra di Boole l’ “unione” $x \lor y$ si comporta un po’ come una somma, ma solo quando $x$ e $y$ sono disgiunti. Allora perché non introdurre una vera somma, ovunque definita? Questo porta a includere un’algebra di Boole in una struttura più grande. Ad esempio, l’algebra di Boole $\{0,1\}$ si può includere in $\mathbb{Z}$ , in cui la somma tra due elementi qualsiasi è ben definita. Più in generale, ogni algebra di Boole si può includere in un gruppo abeliano dotato di un ordine reticolare (cioè con sup e inf binari), in cui la somma $+$ è ovunque definita. Questi gruppi ordinati si possono specializzare nelle due direzioni di nostro interesse:

se il gruppo è molto divisibile (cioè si possono prendere frazioni, come capita per i numeri razionali), allora esso somiglia ad uno spazio vettoriale;
se il gruppo è poco divisibile (come capita per gli interi), allora esso somiglia a un’algebra di Boole.

Perciò questi gruppi ordinati generalizzano simultaneamente sia le algebre di Boole sia le algebre nelle dualità per compatti di Hausdorff.

Una domanda naturale che segue è: esiste una dualità per questi gruppi ordinati che generalizzi entrambe le dualità, di Stone e per spazi compatti di Hausdorff?

La risposta è: sì! In un articolo pubblicato nel 2025 su Advances in Mathematics, insieme a Vincenzo Marra e Luca Spada abbiamo ottenuto una dualità per la categoria dei gruppi abeliani reticolarmente ordinati dotati di un elemento speciale denotato con $1$ e che soddisfano una proprietà tecnica chiamata completezza metrica. Questa dualità si basa sull’idea che un tale gruppo ordinato si può rappresentare come un certo sottoinsieme dell’insieme delle funzioni continue reali su uno spazio compatto di Hausdorff $X$ . Per sapere quale sottoinsieme di funzioni occorra prendere è sufficiente dotare l’insieme $X$ di una funzione verso l’insieme dei numeri naturali (chiamata “funzione denominatore”) che registra in ogni punto il “grado di divisibilità dell’elemento speciale $1$ ”.

Per esempio, uno spazio di un unico punto può essere dotato di diversi denominatori: se lo addobbiamo con il denominatore $2$ allora il gruppo ordinato che gli corrisponde sarà $\frac{1}{2}\mathbb{Z}$ , se lo addobbiamo con il denominatore $1$ allora il gruppo ordinato sarà $\mathbb{Z}$ (che è intimamente legato all’algebra di Boole $\{0,1\}$ , mentre se lo addobbiamo con il denominatore $0$ allora il gruppo ordinato sarà $\mathbb{R}$ .

In conclusione, si ha una dualità tra gruppi abeliani reticolarmente ordinati unitali metricamente completi e spazi a-normali (per “aritmeticamente normali”), che sono degli spazi compatti di Hausdorff con una funzione verso i numeri naturali che soddisfa alcune proprietà.

In questa grande dualità, la dualità di Stone si ottiene restringendosi agli spazi a-normali in cui ogni punto ha “denominatore” $1$ , mentre quella per compatti di Hausdorff si ottiene con il denominatore $0$ . Gli altri casi corrispondono a gruppi ordinati con caratteristiche intermedie.

UN’ULTIMA RIFLESSIONE

Abbiamo attraversato un piccolo universo di specchi: logica e insiemi, spazi vettoriali e spazi topologici, gruppi ordinati e spazi con denominatori. Dualità sorprendenti, tra mondi lontani che sembrano non avere nulla in comune, e che nonostante ciò contengono la stessa informazione. Ma è proprio qui che nasce la meraviglia: come scrissero John Baez e James Dolan, “un’uguaglianza è interessante nella misura in cui i suoi due lati sono differenti”. L’equazione $(\sin{x})^2+(\cos{x})^2=1$ è molto più intrigante di $1=1$ , proprio perché i due lati hanno una forma molto diversa.

AILAxMaddMaths!

AILA x MaddMaths! è un progetto di divulgazione e comunicazione della logica promosso dall’AILA, pensato per raccontare la logica in tutte le sue sfaccettature.