Nella motivazione per la medaglia Fields assegnata a Jacob Tsimerman quest’estate, si cita strumento matematico da lui impiegato, ovvero il concetto di “o-minimalità”. Questo metodo è oggi considerato un pilastro fondamentale nello studio della geometria aritmetica e della geometria algebrica complessa. Ma cos’è esattamente questa o-minimalità, e come ha fatto a diventare lo strumento chiave per la risoluzione di questi problemi? Ce ne parla Carlo Toffalori.

Tra i vincitori delle medaglie Fields 2026 si nota Jacob Tsimerman, brillante matematico canadese di origini russe. La motivazione ufficiale dell’International Mathematical Union (IMU) riporta che il prestigioso premio gli è stato assegnato per “il ruolo nella dimostrazione di molte congetture centrali, come la congettura di Griffiths sull’algebricità delle immagini delle mappe di periodo e la congettura di André-Oort per varietà modulari di Siegel”. C’è però un dettaglio interessante: l’IMU cita in particolar modo lo strumento matematico che Tsimerman ha impiegato per risolvere questi problemi, ovvero il concetto di “o-minimalità”. Questo metodo è oggi considerato un pilastro fondamentale nello studio della geometria aritmetica e della geometria algebrica complessa. Ma cos’è esattamente questa o-minimalità, e come ha fatto a diventare lo strumento chiave per la risoluzione di questi problemi?

L’obiettivo di questa nota è, appunto, di presentarla e di illustrarne il legame con le congetture sopra citate. Quindi non ci soffermeremo specificamente sulle congetture, già introdotte in modo egregio da Alessandro Zaccagnini, ma sul ruolo che la o-minimalità svolge per ottenerne la dimostrazione. L’idea di o-minimalità è relativamente giovane: ha meno di cinquant’anni ed è nata in un ramo inaspettato della materia, quello della Logica Matematica, e più precisamente nella “Teoria dei Modelli”. Quella piccola lettera “o” sta semplicemente per “ordine”. Il concetto, infatti, si applica a strutture di numeri, e non solo numeri, in cui gli elementi possono essere disposti in modo linearmente ordinato, proprio come avviene nella classica retta dei numeri reali (indicati con \(\mathbb{R}\)). Per capirne l’essenza, possiamo pensare a una proprietà molto intuitiva dei numeri reali: se proviamo a risolvere un qualsiasi sistema (purché finito) di equazioni o disequazioni con una sola incognita, le soluzioni saranno sempre qualcosa di geometricamente “pulito”. Si tratterà, infatti, di un’unione finita di singoli punti oppure di intervalli, o al massimo di semirette.

In logica, quando calcoliamo l’insieme delle soluzioni per una formula, lo chiamiamo “insieme definibile”. Quando invece, nel caso dei reali, queste formule sono specificamente equazioni e disequazioni, i matematici parlano di “insieme semialgebrico”. Da una parte abbiamo quindi un’idea astratta tipica della logica, dall’altra un concetto pratico e visivo, legato all’algebra e alla geometria. Un collegamento importante tra questi due mondi fu dimostrato negli anni Quaranta dal logico Alfred Tarski che dimostrò che, per i numeri reali, gli insiemi definibili e quelli semialgebrici coincidono esattamente. Perciò nei reali un insieme definibile in una sola dimensione si riduce a una semplice unione finita di punti e intervalli. Il teorema di Tarski ci dice anche che questi insiemi semialgebrici si conservano per operazioni geometriche come le proiezioni.

Se allarghiamo lo sguardo oltre i numeri reali a insiemi ordinati più generali (e “densi”), possiamo dire che una struttura è “o-minimale” proprio quando rispetta questa regola aurea: ogni suo insieme definibile con una sola coordinata è fatto solo di un’unione finita di punti e intervalli. Questa definizione può sembrare troppo banale nella sua semplicità, ma nasconde in realtà una potenza straordinaria. Rientrano nell’o-minimalità, oltre ai numeri reali, anche campi numerici come i reali algebrici o mondi esotici come i numeri “iperreali” studiati da Abraham Robinson. Negli anni Novanta, il matematico Alex Wilkie riuscì a dimostrare che se aggiungiamo ai numeri reali la funzione esponenziale, la struttura risultante rimane o-minimale.

Ma attenzione, non tutte le espansioni matematiche si comportano così bene. Se provassimo ad aggiungere ai numeri reali una funzione elementare che oscilla all’infinito, come la funzione \(\sin(x)\), la magia svanirebbe: l’equazione \(\sin(x)=0\), ha infatti infinite soluzioni isolate. Questa infinità di punti viola palesemente la regola dell’o-minimalità, che richiede un’unione finita. Per mantenere l’o-minimalità in presenza di funzioni analitiche reali, vari studiosi, e Lou van den Dries in particolare, hanno scoperto che è necessario “tagliare” e limitare i domini di queste funzioni attorno a uno specifico intorno dell’origine. Gli insiemi definibili che così derivano (denominati subesponenziali, subanalitici, eccetera) si manifestano ancora non come astrusità teoriche, ma come oggetti concreti profondamente legati alla geometria e all’analisi.

Originata a partire dagli anni Ottanta, ispirata proprio da van den Dries e sviluppata da Anand Pillay, Charles Steinhorn e Julia Knight, la teoria dell’o-minimalità ha rivelato che questi insiemi definibili, anche quelli in più di una coordinata, si scompongono in “mattoni” semplicissimi chiamati celle. A ogni cella viene assegnata una dimensione: per esempio, i punti hanno dimensione 0 e gli intervalli dimensione 1. Questa semplicità formale rende l’o-minimalità uno strumento incredibilmente duttile e pervasivo. Può persino essere utilizzata per studiare i numeri complessi che, sebbene non abbiano un “ordine” naturale, possono essere definiti a partire dall’insieme dei reali. Uno studio fondamentale in questo ambito fu portato avanti nei primi anni duemila da Kobi Peterzil e Sergei Starchenko.

Ecco come si arriva ai grandi risultati di Jacob Tsimerman. Nel 2006, un importante risultato noto come “Pila-Wilkie counting theorem” riuscì a limitare il numero di punti razionali all’interno di particolari insiemi definibili in universi o-minimali. Questo teorema ispirò Umberto Zannier e Jonathan Pila, suggerendo loro che l’o-minimalità potesse essere il grimaldello perfetto per scardinare vecchie congetture di geometria aritmetica, partendo da quella di Manin-Mumford per arrivare a quella di André-Oort. Seguendo questa strategia innovativa, Tsimerman, unendo le forze con Pila e Anant Shankar, è arrivato nel 2021 ad annunciare la dimostrazione definitiva della congettura di André-Oort nella sua massima generalità. E non si è fermato qui: nel 2023, lavorando con Benjamin Bakker e Yohan Brunebarbe nell’ambito della complessa “teoria di Hodge”, ha impiegato ancora l’o-minimalità per risolvere la congettura di Griffiths, sviluppando qui la strada già intrapresa da Peterzil e Starchenko.

In conclusione: un grande della Teoria dei Modelli del Novecento, l’Abraham Robinson che abbiamo già ricordato, affermava in una sua comunicazione all’ICM 1950 ad Harvard: “La logica simbolica può fornire utili strumenti agli sviluppi della matematica corrente, più in particolare dell’algebra e, sembrerebbe, della geometria algebrica”. Ebbene, questa previsione sta trovando piena realizzazione con la o-minimalità e le sue applicazioni. Ai ricercatori di Teoria dei Modelli ma, crediamo, a tutti i matematici, non può che fare un enorme piacere che la profezia di Robinson, grazie anche a Tsimerman, si sia avverata.

Carlo Toffalori

Immagine di copertina: foto di Jacob Tsimerman presa dalla sua pagina web.