Vi è mancato leggere le nostre storie matematiche sotto l’ombrellone? Dopo la pausa estiva, la rubrica riparte con un nuovo racconto che porta la geometria fuori dal foglio e dentro la vita di tutti i giorni: una piccola avventura non euclidea… dal parrucchiere.

Alessandra Bernardi, “Il quinto postulato della frangia”

Ovvero: perché la mia parrucchiera fa geometria non euclidea e le riesce pure bene!

La mia parrucchiera dice che la matematica non le piace e che non la capisce.
Lo dice mentre prende una ciocca tra le dita, la solleva con un certo angolo, controlla la nuca nello specchio, misura a occhio una simmetria, prevede cosa farà il capello quando sarà asciutto e conclude:
“Qui non tagliamo troppo, perché hai un lecco.[1]”
A quel punto io vorrei spegnere il phon, prendere il gessetto e scrivere sulla parete:
“Teorema: La parrucchiera mente quando dice di non capire la matematica.”
Poi naturalmente non lo faccio: la parrucchiera ha in mano un paio di forbici professionali, di quelle che non sono semplicemente “forbici”, ma lame affilate che potrebbero competere con una katana del più efferato samurai: “Se le usi male non perdonano”, mi disse una volta mostrandomi un dito incerottato.
Ecco. Io alla mia parrucchiera credo sempre! Soprattutto quando parla con una lama in mano.
Quindi non scrivo nessun teorema sul muro. Però lo penso. Penso che forse la mia parrucchiera è stata solo esposta, in età vulnerabile, a un modo di fare matematica che non si addiceva al suo modo di recepirla: quella delle formule da ricordare, la matematica dei risultati da trovare in fretta, i triangoli disegnati su fogli bianchi, piatti, immobili, dove tutto è ordinato e nessuna frangia prende iniziative personali.
Ma quella non è tutta la matematica.
C’è anche una matematica delle forme vive, delle curve, delle direzioni, dei vincoli, delle trasformazioni. Una matematica che non sta ferma sul foglio, ma si muove nello spazio. Una matematica in cui una piccola modifica qui produce un effetto là. Una matematica in cui non basta chiedersi se una linea è dritta: bisogna chiedersi su quale superficie lo sia.
E questa matematica, la mia parrucchiera, la pratica tutti i giorni. Solo che non dice: “Sto risolvendo un problema geometrico su una superficie curva con vincoli locali e condizioni estetiche globali.”
Dice: “Ti alleggerisco un po’ dietro.”
Che, diciamocelo, è molto più elegante.

Euclide entra in salone

A scuola Euclide arriva sempre con aria rassicurante. Ci parla di punti, rette, piani, angoli. Ci insegna una geometria pulita, precisa, molto ben pettinata. La geometria del foglio, quella in cui una riga dritta è davvero dritta e una parallela fa il suo mestiere senza discutere.
Poi arriva lui, il quinto postulato: “Data una retta e un punto fuori da essa, passa una e una sola retta parallela alla prima.”
Sul foglio sembra ovvio. Disegni una retta, metti un punto fuori, tracci una parallela e, certo, ce n’è una sola. Fine della questione.
Ma adesso portiamo il quinto postulato dalla lavagna al salone.
Data una riga centrale sulla testa e dato un punto verso la tempia, quante righe “parallele” posso tracciare?
Una? Nessuna? Centomila? Dipende?
La parrucchiera, senza scomporsi, sceglierebbe la risposta più matematica di tutte:
“Dipende.”
Dipende dalla forma della testa. Dipende dall’attaccatura. Dipende dalla direzione di crescita. Dipende da dove vogliamo far cadere il volume. Dipende da cosa succederà domani mattina, quando la cliente sarà sola davanti allo specchio e scoprirà se il taglio è davvero suo amico.
E in quel “dipende” c’è già una piccola rivoluzione. Perché il quinto postulato funziona perfettamente nel piano euclideo. Ma una testa non è un piano. La testa è una superficie curva sulla quale la parola “parallelo” non è più innocente.
Data una riga centrale sulla testa e dato un punto verso la tempia… se fossimo sul foglio sapremmo cosa fare: tracceremmo la parallela. Ma sulla testa la domanda diventa improvvisamente più interessante.
Parallela in che senso?
Vuol dire che non deve incontrare mai la riga centrale? Vuol dire che deve restare sempre alla stessa distanza? Che deve avere la stessa direzione locale? Che deve sembrare parallela nello specchio? Che deve far cadere il volume nello stesso modo?
Sul piano queste domande si assomigliano moltissimo. È per questo che il quinto postulato sembra così naturale. Sulla testa, invece, le cose si complicano.
Se cerco una curva a distanza costante dalla riga centrale, posso tracciarla, sì… localmente. Ma quella curva non è necessariamente una “retta” della superficie. Se invece cerco una linea più dritta possibile sulla testa, cioè una geodetica, allora il comportamento dipende dalla curvatura. E se cerco una riga che funzioni per il taglio, devo tenere conto anche di rosa, attaccatura, densità, volume e caduta.
Sul piano la domanda è: “Qual è la parallela?”
Sulla testa la domanda è: “Cosa vuoi conservare?”
Non stiamo dicendo che ogni ciocca sia una geodetica o che ogni testa sia una sfera perfetta. Stiamo dicendo una cosa più semplice e più vera: “La parrucchiera sa che la testa non si lascia trattare come un foglio.”
E questa è già una porta d’ingresso alla geometria non euclidea.

Se i problemi di scuola fossero stati sulle teste

Forse il guaio è che a scuola le hanno dato i problemi sbagliati.
Invece di scrivere: “Data una retta r e un punto P esterno a essa…” avrebbero potuto scrivere:
“Data una cliente con una riga laterale, una rosa sulla sommità e il desiderio di una frangia piena, stabilire se esiste una linea di taglio che mantenga l’effetto desiderato senza produrre un ciuffo verticale al risveglio.”
La parrucchiera avrebbe preso dieci.
Oppure:
“Sia T una testa con nuca pronunciata e capelli mossi. Dividere T in sezioni uguali.”
Lo studente euclideo avrebbe disegnato una griglia.
La parrucchiera avrebbe chiesto:
“Uguali viste da dove?”
E avrebbe avuto ragione.
Perché su una superficie curva “uguale” non è una parola banale. Due sezioni possono sembrare uguali nello specchio davanti e non esserlo affatto quando la testa gira. Una distanza misurata lungo la superficie non coincide con una distanza vista in proiezione. Una linea può essere centrale per il viso ma non per la crescita naturale del capello.
La parrucchiera non fa una griglia piatta sulla testa. Fa qualcosa di più intelligente: adatta la divisione alla superficie.
E questa è geometria.
Non geometria da quaderno.
Geometria da specchio.

Il bigodino e la testa

C’è però una distinzione importante. Non basta che una superficie sembri curva nello spazio per avere una geometria interna non euclidea. Un cilindro, per esempio, è curvo se lo guardiamo da fuori, ma si può srotolare su un piano senza stirarlo né strapparlo. Intrinsecamente è piatto.
Tradotto in lingua da salone: un bigodino è molto meno misterioso di una testa.
Il bigodino si sviluppa.
La testa no, almeno non globalmente e non senza deformare qualcosa.
Se provi a fare una mappa piatta della testa, devi pagare un prezzo: deformi distanze, angoli, aree, proporzioni. È lo stesso tipo di problema che si incontra con le mappe della Terra: non puoi schiacciare una superficie curva sul piano senza tradire qualche proprietà.
La parrucchiera lo sa senza bisogno di Atlante[2].
Sa che una foto piatta non basta.
Sa che bisogna girare intorno alla cliente.
Sa che davanti, lato e dietro raccontano tre verità diverse.
Sa che il taglio riuscito non è quello che funziona in una sola proiezione, ma quello che torna nello spazio.
Lo specchio principale è una lavagna.
Lo specchio dietro è la commissione d’esame.

La rosa dei capelli: topologia con carattere

Poi c’è la rosa.
La rosa dei capelli è il punto in cui la matematica smette di essere discreta ed entra in scena con un grande scompiglio.
Intorno alla rosa i capelli non vanno semplicemente giù. Girano. Si aprono. Si organizzano intorno a un centro. Hanno un verso, e quel verso conta.
La parrucchiera dice: “Qui gira. Qui apre. Qui non vuole stare. Qui bisogna seguirlo.”
Il matematico direbbe: “Campo di direzioni con una singolarità.”
La parrucchiera direbbe: “Sì, cioè: ciuffo maledetto.”
Entrambi hanno ragione.
La rosa è un punto speciale: lì non puoi applicare la stessa regola che applichi altrove. Se tagli troppo, si alza. Se forzi la direzione, si ribella. Se fai finta che non esista, il giorno dopo esiste più forte di prima.
Qui si può perfino fare l’occhiolino al famoso Teorema della palla pelosa[3]: non si può pettinare una sfera pelosa in modo continuo senza creare almeno un punto problematico. Certo, una testa vera non è una sfera perfetta, ha attaccature, bordi, densità variabili e capelli di lunghezze diverse. Però l’idea resta irresistibile: quando provi a imporre un ordine globale a una superficie curva coperta di direzioni, qualche punto ribelle salta fuori.
La parrucchiera non aveva bisogno del teorema.
Lo sapeva già.
Solo che lei non lo chiamava “singolarità”.
Lo chiamava “la frangia troppo corta non te la faccio, fidati”.

Il pettine che torna diverso

C’è un altro modo, ancora più sottile, in cui la curvatura si vendica.
Immaginiamo di scegliere una direzione sulla testa: per esempio la direzione di una sezione o di una ciocca guida[4]. Ora immaginiamo di voler portare quella direzione intorno alla testa, zona dopo zona, cercando di mantenere “la stessa”.
Sul piano sarebbe facile.
Disegni una freccia, la sposti mantenendola parallela, fai un giro e, quando torni al punto di partenza, la freccia è ancora orientata come prima.
Su una superficie curva, non necessariamente.
In geometria questa cosa si chiama “olonomia”: se trasporti una direzione lungo un giro chiuso cercando di non ruotarla, quando torni al punto di partenza può risultare ruotata lo stesso. Non per errore. Per curvatura.
Una frase vera anche in geometria: “Su una superficie curva, una direzione può tornare con una storia.”
Ora, attenzione: quando una parrucchiera sposta davvero un pettine, non sta facendo letteralmente trasporto parallelo secondo la connessione di Levi-Civita. Il pettine è un oggetto fisico nello spazio tridimensionale, non un vettore tangente astratto.
Però l’analogia è buona se la usiamo bene.
La parrucchiera sa che propagare una direzione su tutta la testa non è come copiarla su un foglio. Una ciocca guida funziona localmente, ma quando ti sposti verso la nuca devi correggere. Una sezione può sembrare parallela alla precedente, ma dopo mezzo giro non “torna” più. Se mantieni la stessa intenzione senza ascoltare la superficie, la linea scappa.
Il matematico dice: “C’è un difetto di chiusura dovuto alla curvatura.”
La parrucchiera dice: “Girati un attimo che controllo dietro.”
Che, nella pratica, è la stessa forma di saggezza.

Le forbici fanno trasformazioni

Poi arrivano le forbici, e la matematica diventa ancora più evidente.
Tagliare non significa semplicemente accorciare. Significa trasformare una forma rispettando dei vincoli.
C’è la testa.
C’è il capello.
C’è la gravità.
C’è il bagnato, che mente con grande naturalezza.
C’è il riccio, che da asciutto si ricorda di essere riccio.
C’è il “lecco”, come lo chiama la mia parrucchiera: quel giro che una ciocca fa da sola accanto al viso, contro ogni accordo preso in precedenza.
C’è la rosa, che ha sempre l’ultima parola.
E c’è la cliente che dice: “Vorrei qualcosa di facile da gestire, perché io i capelli me li asciugo facendo solo un po’ così con le mani e il phon.”
A quel punto, un matematico sente la parola “vincoli”.
La parrucchiera sente la parola “guai”.
Entrambi hanno capito benissimo.
La parrucchiera, mentre mi dà della “cinghiala”[5], divide, solleva, inclina, taglia, scala, alleggerisce, asciuga, controlla, corregge.
Se solleva una ciocca di più, cambia il risultato.
Se la porta in avanti, cambia il volume.
Se toglie peso qui, succede qualcosa là.
Se ignora la nuca, il taglio perde forma.
Se ignora la rosa, la rosa presenta ricorso.
Questa è matematica perché è una rete di relazioni: se faccio questo, allora succede quello.
La matematica ama queste frasi.
La parrucchiera pure.
Solo che la matematica le chiama implicazioni, dipendenze, trasformazioni, funzioni.
La parrucchiera le chiama “mestiere”.

Il colore, quando c’è già

Anche il colore fa geometria. Perfino quando nessuno lo aggiunge.
Io, per esempio, non mi coloro i capelli. Mi piacciono così, al naturale. Solo che “al naturale”, nel mio caso, non significa una sfumatura brizzolata distribuita con discrezione su tutta la testa. La natura ha scelto una soluzione più netta: bianco da un lato, scuro dall’altro. Non proprio sale e pepe… a strisce.
La mia parrucchiera questa cosa la vede benissimo. Ogni tanto mi guarda, inclina la testa, e dice che assomiglio a Crudelia De Mon[6]. Poi aggiunge che, se fosse in me, ci giocherebbe molto di più.
Io resisto.
Lei aspetta.
Ogni tanto mi avvisa, con una calma che non so se definire professionale o minacciosa:
“Prima o poi ti faccio qualcosa di speciale, quando meno te lo aspetti.”
Ora, al di là della leggera inquietudine, questa è una cosa molto matematica. Perché lei non sta guardando semplicemente “capelli bianchi” e “capelli scuri”. Sta guardando come il bianco e il nero stanno sulla testa.
Dove passa il confine. Quanto è netto. Come cambia se i capelli cadono da una parte o dall’altra. Che cosa succede vicino al viso. Che cosa si vede di lato. Che cosa sparisce dietro. Che cosa si illumina senza bisogno di fare niente.
Il colore non è una proprietà isolata. È una distribuzione sopra una superficie curva.
Il matematico potrebbe dire: “C’è una funzione (cromatica) definita sulla testa, non costante, con regioni diverse e una frontiera interessante.”
La parrucchiera dice: “Secondo me questa cosa andrebbe valorizzata.”
Che è la stessa osservazione, ma più pericolosa.
La cosa bella è che lei non vede l’asimmetria come un difetto. Non pensa subito: “Bisogna uniformare.” Non vuole necessariamente cancellare la differenza tra una parte e l’altra. Al contrario, la guarda come un dato iniziale, quasi come una possibilità.
E anche questo è molto matematico.
Perché in matematica non si cerca sempre di rendere tutto uguale. Spesso le cose interessanti cominciano proprio quando qualcosa rompe la simmetria: una regione diversa dall’altra, un bordo, una transizione, un punto in cui la regola cambia. Lì c’è informazione. Lì c’è struttura.
La parrucchiera questo lo sa a occhio.
Sa che una ciocca bianca vicino al viso non produce lo stesso effetto di una ciocca bianca nascosta sotto. Sa che una zona scura può dare profondità. Sa che una separazione netta può sembrare casuale, oppure diventare una linea. Sa che il colore non vive da solo: vive insieme al taglio, alla piega, alla caduta, alla forma della testa.
Io penso di non fare niente ai miei capelli.
Lei, probabilmente, pensa che io stia trascurando una configurazione promettente.
E forse ha ragione lei.
Perché anche scegliere di non colorare è una scelta geometrica: significa accettare la mappa che c’è già, guardarla, rispettarla, magari un giorno usarla senza cancellarla.
Il colore non sta semplicemente sui capelli. Sta nella geometria dei capelli.
E nel mio caso, a quanto pare, sta anche in una trattativa ancora aperta tra me, la mia parrucchiera, e Crudelia De Mon.

La matematica del “dipende”

A scuola la matematica spesso la fanno sembrare il regno della risposta unica.
Quanto fa?
Trova x.
Calcola l’area.
Dimostra che…
Nel salone, invece, la frase più matematica è:
“Dipende.”
Non è indecisione. È precisione.
Dipende dalla superficie, dal punto, dalla direzione, dal vincolo, dal risultato che vuoi conservare.
La geometria non euclidea nasce proprio da un grande “dipende”.
Dipende dallo spazio.
Se sei nel piano euclideo, valgono certe regole.
Se sei su una sfera, ne valgono altre.
Se sei in geometria iperbolica, altre ancora.
Se sei su una testa vera, con nuca, fronte, rose, attaccature, ricci e desideri umani, allora serve una matematica viva, locale, sensibile.
Non una matematica più debole.
Una matematica più attenta.

“Adesso sì” è una dimostrazione senza formule

Il momento più matematico arriva alla fine.
La parrucchiera asciuga, guarda, sistema una ciocca. Poi fa un passo indietro. Inclina appena la testa. Controlla il profilo. Torna avanti. Taglia un millimetro… che nessun altro avrebbe visto.
Poi dice: “Ecco. Adesso sì.”
Questa frase è bellissima!
“Adesso sì” vuol dire che qualcosa è tornato.
La linea accompagna il viso.
Il volume non pesa.
La nuca respira.
La rosa è stata rispettata.
La frangia non ha dichiarato guerra.
Il colore prende luce dove deve.
Il taglio sembra naturale, come se fosse sempre stato lì.
La matematica cerca spesso proprio questo: una relazione che torna. Una struttura coerente. Un equilibrio tra vincoli. Una forma che finalmente ha senso.
E allora forse la mia parrucchiera non ama la matematica dei compiti in classe. Magari quella no. Magari quella le ha fatto venire voglia di scappare.
Ma ama moltissime cose che sono matematiche.
Ama le forme.
Ama le proporzioni.
Ama le curve.
Ama le trasformazioni.
Ama i problemi senza soluzione automatica.
Ama le simmetrie, ma solo quando non sembrano finte.
Ama le eccezioni.
Ama i vincoli.
Ama quando una piccola correzione cambia tutto.
Ama quando, alla fine, tutto “torna”.
Forse non odiava la matematica.
Forse odiava solo il modo in cui gliel’avevano presentata: troppo piatta per una persona che, ogni giorno, lavora su superfici curve.
Perché nessuno è davvero negato: a volte serve solo trovare il verso giusto. Vale per una frangia, per una riga, e forse anche per qualche verbo irregolare.

Una piccola rivincita

Chissà se la parrucchiera è arrivata a leggere fin qui… Chissà se la prossima volta invece di dire “Io di matematica non capisco niente!”, potrà dire qualcosa del tipo:
“Io magari non parlo la lingua delle formule. Però capisco le curve. Capisco le direzioni. Capisco quando una linea funziona e quando no. Capisco che una testa non è un foglio. Capisco che, se cambia lo spazio, cambiano anche le regole.”
Che, detta così, è già una piccola lezione di geometria non euclidea.
Perché la geometria non euclidea, in fondo, comincia quando qualcuno ha il coraggio di dire: e se il piano non fosse tutto? E se il quinto postulato non fosse l’unico modo possibile di pensare le parallele? E se le regole che sembravano ovvie fossero ovvie solo perché stavamo guardando il mondo su un foglio?
La parrucchiera questo lo sa.
Non perché abbia negato il quinto postulato in forma assiomatica.
Non perché pensi alla curvatura gaussiana mentre impugna il phon.
Lo sa perché, ogni giorno, incontra una testa e capisce subito una cosa: “Qui il piano non basta.”
Euclide, nel suo salone, se la caverebbe benissimo all’inizio.
Farebbe una bella riga.
Disegnerebbe sezioni ordinate.
Parlerebbe con sicurezza di rette e parallele.
Poi arriverebbe alla rosa.
Si fermerebbe.
Guarderebbe la parrucchiera.
E lei, con molta gentilezza, gli direbbe:
“Vede? Qui dobbiamo seguire il movimento naturale.”
Tu la chiami piega.
Io la chiamo matematica.
E quando il quinto postulato comincia a perdere colpi sotto il phon, la chiamo geometria non euclidea.

Note

[1]  “Lecco” è il nome emiliano (o almeno emiliano da parrucchiera) del giro che una ciocca fa spontaneamente per conto suo senza che nessuno glielo chieda e tipicamente contro la volontà della cliente. Non cercatelo sul dizionario: in Emilia certe parole, come la sfoglia, si tirano a mano.

[2]  In geometria un atlante è una famiglia di mappe locali che devono raccordarsi là dove si sovrappongono. In salone, non a caso, si «raccorda». (Comunque per chi aveva pensato all’atlante geografico, il paragone funziona lo stesso)

[3] Sì, si chiama davvero così. Riguarda i campi vettoriali tangenti su una sfera: non spiega letteralmente la rosa, ma era inevitabile che prima o poi finisse in un salone (oltre che in un volume dedicato).

[4] La ciocca guida è il riferimento rispetto al quale si stabilisce la lunghezza delle altre: una specie di assioma con le doppie punte.

[5] “Cinghiala” non è un insulto, ma un appellativo affettuoso di quell’Emilia appenninica in cui i boschi sono pieni di animali selvatici. Indica anche una precisa filosofia di styling: arruffare i capelli con una mano e lasciare il resto alla natura.

[6]  Il riferimento è alla celebre chioma metà bianca e metà nera. Per il resto, tengo a precisare, le somiglianze finiscono qui.

L’autrice

Alessandra Bernardi è professoressa associata di algebra presso il Dipartimento di Matematica dell’Università di Trento. La sua ricerca riguarda la geometria algebrica e le decomposizioni tensoriali, con applicazioni alla scienza dei dati e all’informazione quantistica. Ha fondato e coordina il laboratorio TensorDec. I suoi interessi comprendono anche la comunicazione della matematica in forma teatrale e il dialogo tra cultura scientifica e umanistica.

Il racconto è scaricabile qui nei formati PDF, ePub e AZW3.

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Per maggiori informazioni, contattare Alice Raffaele, curatrice della raccolta.

Giuseppe Giorgio Colabufo