Sia C l’insieme degli interi positivi che, scritti in base 3, non contengono il numero 2. Dimostrate che non esistono tre interi positivi (diversi tra loro) in C che si trovino in progressione aritmetica.
La risposta... Non cliccate qui se non ci avete pensato! Poi è troppo tardi!
Lasciando perdere C, consideriamo tre interi positivi a, a + d, a + 2d in progressione aritmetica, espressi in base 3. Visto che d≠0, deve contenere alcune cifre diverse da zero: sia l’ultima nella n-esima posizione.
Allora, indipendentemente dall’ultima cifra di a, l’n-esima cifra di a deve essere 0, 1 o 2, visto che non ha riporto.
Costruendo la tabella dell’n-esima cifra dei tre numeri, si vede che per ogni caso almeno uno ha la cifra 2 in qualche posizione, e quindi non può appartenere a C.
I Rudi Mathematici (Rodolfo Clerico / Rudy d’Alembert, Piero Fabbri / Piotr Rezierovic Silverbrahms, Francesca Ortenzio / Alice Riddle) sono autori della omonima e-zine di matematica ricreativa, pubblicata in rete dal 1999.
Sia A ∈ C un intero qualsiasi e assumo per assurdo che esista un intero S ≥ 1 tale che anche A+S e A+2S appartengano a C.
La cifra meno significativa di A può essere solo 0 oppure 1
(per il vincolo sui numeri in C).
La cifra meno significativa di S può essere 0 1 oppure 2:
– se 1 allora o A+S o A+2S ha cifra meno significativa uguale a 2
– se 2 analogamente o A+S o A+2S ha cifra meno significativa uguale a 2
– quindi la cifra meno significativa di S deve essere 0
– quindi la somma alla prima cifra non genera alcun riporto
– quindi il discorso si ripete sulla seconda cifra meno significativa e a seguire
– tutte le cifre di S, quindi, valgono 0 ed S stesso vale 0: contraddizione.
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Sia A ∈ C un intero qualsiasi e assumo per assurdo che esista un intero S ≥ 1 tale che anche A+S e A+2S appartengano a C.
La cifra meno significativa di A può essere solo 0 oppure 1
(per il vincolo sui numeri in C).
La cifra meno significativa di S può essere 0 1 oppure 2:
– se 1 allora o A+S o A+2S ha cifra meno significativa uguale a 2
– se 2 analogamente o A+S o A+2S ha cifra meno significativa uguale a 2
– quindi la cifra meno significativa di S deve essere 0
– quindi la somma alla prima cifra non genera alcun riporto
– quindi il discorso si ripete sulla seconda cifra meno significativa e a seguire
– tutte le cifre di S, quindi, valgono 0 ed S stesso vale 0: contraddizione.
…Ora vado a vedere la soluzione.