Il Paradosso di San Pietroburgo è argomento di discussione da oltre tre secoli. Ogni possibile soluzione rappresenta un nuovo spunto per la matematica, con conseguenze su altre discipline. È il caso della funzione d’utilità. Ce ne parla Marco Menale.

Nicolaus Bernoulli è stato un matematico svizzero, appartenente a una delle più famose famiglie di matematici della storia: i Bernoulli. Nel 1713 scrive una lettera indirizzata a un altro matematico, il francese Pierre Rémond de Montmort, in cui formula il noto paradosso di San Pietroburgo. Tuttavia il nome lo si deve al cugino di Nicolaus, il fisico e matematico Daniel Bernoulli. Lo fa nell’opera “Commentarii Academiae Scientiarum Imperalis Petropolitane”, dove  tratta dei fondamenti matematici dei giochi d’azzardo tipici di un casinò di San Pietroburgo. Questo paradosso continua a interessare a distanza di secoli, stimolando possibili soluzioni. Una di queste la fornisce già Nicolaus con il concetto di utilità.

Partiamo dal paradosso. Viene lanciata una moneta non truccata, dunque abbiamo il \(50\%\) di probabilità di una testa e il \(50\%\) di una croce. Vinciamo se esce la croce. E se la croce esce dopo \(k\) lanci, allora vinciamo \(2^{k-1}\) euro. Detto \(E\) il valore atteso o speranza matematica, semplici calcoli mostrano che \(E=+ \infty\). Dunque possiamo pagare qualsiasi cifra per partecipare al gioco (qui per i dettagli). Tuttavia questa soluzione appare irragionevole. Nessuno è disposto a investire una cifra infinita, anche per sola impossibilità materiale.

È già Nicolaus Bernoulli a individuare un primo problema di questo approccio. A suo avviso il valore atteso non è sempre una quantità adeguata, dato che in alcune situazioni bisogna guardare all’utilità di un certo bene. Dicendolo con parole sue: “100 ducati hanno più valore per un povero che per un ricco, nonostante che entrambi ricevano la stessa somma”.  Allora bisogna introdurre un’apposita funzione di utilità \(u(x)\) al fine di avere una soluzione non paradossale.

Altro problema: ci sono infinite possibili funzioni di utilità. Quale scegliere? Arriva in soccorso di Nicolaus un altro rappresentante della famiglia, lo zio Jakob Bernoulli. Infatti nell’opera “Ars Conjecturandi” propone come funzione di utilità il logaritmo. Scelta la base \(2\), si ha \(u(x)=\log_2 x\). Se esce croce dopo \(k\) lanci, vinciamo \(2^{k-1}\) euro, con utilità

\[u(2^{k-1})=\log_2 (2^{k-1})=k-1,\]

cioè inferiore a quanto propone la soluzione di partenza con la sola speranza matematica.

Ora l’utilità assegnata al gioco è data da

\[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\log_2(2^n)} {2^n}=\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{2^n}.\]

Usando le proprietà delle serie geometriche e sapendo che \(\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{1}{2^k}=2\) si ha

\[\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n}{2^n}=2.\]

Poiché \(u(x)=\log_2 x\), allora possiamo spendere per questo giorno non più \(x=2^2=4\) euro, ossia una somma finita, a differenza di quanto inizialmente previsto con il solo valore atteso.

Quella di \(\log_2x\) è solo una possibile scelta per l’utilità, ma consente di individuare le proprietà che una tale funzione deve soddisfare. Deve essere crescente, poiché l’utilità di un bene cresce all’aumentare della sua disponibilità. Tuttavia è una crescita che si fa via via più lenta (si parla anche di utilità marginale). Infatti se sono affamato, mi è molto utile un panino, forse due, ma già al terzo questa utilità si riduce. Analiticamente, queste proprietà si traducono con la richiesta di derivata prima positiva e derivata seconda negativa. Proprio come fa il logaritmo. Mentre nel caso della soluzione paradossale, abbiamo sì un’utilità crescente, ma con derivata seconda non-negativa.

Tuttavia, anche la funzione \(\sqrt{x}\) è una possibile funzione di utilità. E ce ne sono tante altre. Ma esiste una scelta migliore? L’argomento continua a generare dibattito. Come da oltre tre secoli fa l’intero Paradosso di San Pietroburgo.