Una nuova mini-serie, fatta di video e articoli, di Alessandro Zaccagnini, matematico, esperto di teoria dei numeri, autore della fortunata serie “Dialogo sui numeri primi“, questa volta per raccontarci tante diverse dimostrazioni di un unico Teorema: 

Teorema (Euclide). Esistono infiniti numeri primi.

Questa è la settima e ulitma puntata (le altre le trovate qui).

La dimostrazione di Erdős

Come Eulero, anche Erdős ha dimostrato che esistono infiniti numeri primi in modo indiretto, facendo vedere che la serie armonica fatta con i soli numeri primi è divergente. Mentre la dimostrazione di Eulero usa un fatto aritmetico (il Teorema Fondamentale dell’Aritmetica) e alcuni analitici (la serie armonica e la serie geometrica), quella di Erdős ha un elemento di combinatoria: conteremo in due modi diversi gli elementi di un certo insieme trovando una contraddizione.

Elenchiamo i numeri primi in ordine crescente \[p_1 = 2 \qquad p_2 = 3 \qquad p_3 = 5 \qquad p_4 = 7 \qquad\dots\] Procediamo per assurdo: se la serie armonica con i numeri primi fosse finita o convergente, allora per \(k\) abbastanza grande dovremmo avere \[\sum_{n= k + 1}^{+\infty} \frac1{p_n}
<
\frac12.\] Questa è una proprietà generale delle serie convergenti a termini positivi.

Chiameremo primi piccoli i numeri primi \(p_1\), \(p_2\), …, \(p_k\) e primi grandi tutti gli altri. Per \(N\) molto grande, suddividiamo i numeri interi \(1\), \(2\), \(3\), …, \(N\) in due classi disgiunte \(\mathcal{A}\) e \(\mathcal{B}\). Nella classe \(\mathcal{A}\) mettiamo gli interi che hanno almeno un fattore primo grande \[\mathcal{A}
=
\{ m \le N \colon \exists \, n \ge k + 1 \text{ tale che $p_n \mid m$} \}.\] Se \(a\) è un intero positivo, il numero dei suoi multipli fra gli interi tra \(1\) ed \(N\) è \(\bigl\lfloor \frac Na \bigr\rfloor \le \frac Na\), dove \(\lfloor x \rfloor\) indica la parte intera del numero reale \(x\). In particolare, se \(p_n\) è un numero primo grande il numero dei suoi multipli tra gli interi da \(1\) ad \(N\) è \(\bigl\lfloor \frac N{p_n} \bigr\rfloor \le \frac N{p_n}\). Per definizione, ogni elemento di \(\mathcal{A}\) è divisibile per almeno un numero primo grande e dunque la cardinalità di \(\mathcal{A}\) non supera \[\sum_{n = k + 1}^{+\infty} \Bigl\lfloor \frac N{p_n} \Bigr\rfloor
\le
\sum_{n = k + 1}^{+\infty} \frac N{p_n}
<
\frac12 N.\] Nell’ultimo passaggio usiamo l’ipotesi di partenza sulla “coda” della serie armonica con i numeri primi.

Nella classe \(\mathcal{B}\) mettiamo gli interi \(m \le N\) che hanno solo fattori primi piccoli. Scriviamo \(m \in \mathcal{B}\) nella forma \[m = a^2 b\] dove \(b\) non ha fattori primi ripetuti. Questa rappresentazione è unica, perché \(a^2\) è il piú grande quadrato perfetto che divide \(m\). Per esempio \[2160 = 2^4 \cdot 3^3 \cdot 5 = (2^2 \cdot 3)^2 \cdot 15\] e quindi possiamo scegliere \(a = 12\) e \(b = 15\). Siccome \(a^2 \le m \le N\), ci sono al massimo \(\sqrt{m} \le \sqrt{N}\) possibili valori di \(a\). Siccome \(m \le N\) ha solo fattori primi piccoli, ci sono al massimo \(2^k\) possibili valori di \(b\), perché \(b = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}\) e ciascun \(\alpha_i\) può assumere solo il valore \(0\) o il valore \(1\) indipendentemente da tutti gli altri. Dunque la cardinalità di \(\mathcal{B}\) non supera \(2^k \sqrt{N}\).

Tutte queste considerazioni sono valide qualunque sia l’intero positivo \(N\). Per raggiungere l’assurdo desiderato scegliamo \(N\) cosí grande che \[2^k \sqrt{N}
<
\frac 12 N.\] Prendiamo dunque un qualsiasi \(N > 2^{2 k + 2}\). Ricordiamo che \(k\) è stato fissato all’inizio della dimostrazione. In conclusione \[N = \vert \mathcal{A} \vert + \vert \mathcal{B} \vert
<
\frac 12N + \frac 12N
=
N\] che è assurdo, e quindi la serie armonica fatta con i numeri primi è divergente.

Riferimenti bibliografici e spunti per approfondimenti

Le dimostrazioni che ho presentato sono tratte e adattate principalmente da tre fonti: i libri di Aigner & Ziegler ^{[1 ]}M. Aigner & G. M. Ziegler 2018. Proofs from THE BOOK. Springer. e di Ribenboim ^{[2 ]}P. Ribenboim 1996. The New Book of Prime Number Records. Springer, New York., e la pagina di Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Euclid%27s_theorem.

Considerazioni generali sui numeri primi si possono trovare nei libri di Conway & Guy^{[3 ]}J. H. Conway & R. K. Guy 1999. Il libro dei Numeri. Hoepli, Milano., Hardy & Wright ^{[4 ]}G. H. Hardy & E. M. Wright 2008. An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press., in quello di Ribenboim già citato, nel mio articolo ^{[5 ]}A. Zaccagnini 2014. “Breve Storia Dei Numeri Primi.” Ithaca: Viaggio Nella Scienza III: 67–83. http://ithaca.unisalento.it/nr-03_04_14/index.html. o nelle mie dispense ^{[6 ]}A. Zaccagnini 2015. “Introduzione Alla Teoria Analitica Dei Numeri.” http://people.dmi.unipr.it/alessandro.zaccagnini/psfiles/lezioni/tdn2015.pdf.. Si veda anche il mio “Dialogo sui numeri primi” ^{[7 ]}A. Zaccagnini 2021. Dialogo Sui Numeri Primi — Un Dialogo Galileiano. Roma: I librini di MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/zaccagnini-dialogo-ebook/. Il concetto di “rigidità della moltiplicazione” che è centrale in tante delle dimostrazioni presentate qui si può trovare nell’articolo ^{[8 ]}A. Zaccagnini 2020. “Operazioni: Elementari, Ma Non Troppo!” Sito Web MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/focus/operazioni-elementari/..

Si veda il §12 di Hardy ^{[9 ]}G. H. Hardy 2002. Apologia di un matematico. Garzanti, Milano. per alcuni commenti importanti sulla dimostrazione di Euclide. Il Teorema di Wilson e Piccolo Teorema di Fermat sono discussi nel libro di Conway & Guy già citato.

La pagina web http://www.prothsearch.com/fermat.html contiene i dati aggiornati sulla fattorizzazione dei numeri di Fermat utilizzati nella dimostrazione di Goldbach.

Alessandro Zaccagnini