Una nuova mini-serie, fatta di video e articoli, di Alessandro Zaccagnini, matematico, esperto di teoria dei numeri, autore della fortunata serie “Dialogo sui numeri primi“, questa volta per raccontarci tante diverse dimostrazioni di un unico Teorema: 

Teorema (Euclide). Esistono infiniti numeri primi.

Questa è la terza puntata (le altre le trovi qui).

 

La dimostrazione di Goldbach

I numeri di Fermat

Pierre de Fermat ha considerato questa successione di numeri interi $$F_n = 2^{2^n} + 1 \qquad\text{per $n \ge 0$.}$$ I primi valori sono $$F_0 = 3 \qquad F_1 = 5 \qquad F_2 = 17 \qquad F_3 = 257 \qquad F_4 = 65\,537.$$ Questi cinque interi sono tutti numeri primi e Fermat ha congetturato che $F_n$ sia un numero primo per ogni $n \ge 0$. Se questa congettura fosse vera avremmo una nuova dimostrazione del Teorema di Euclide. Purtroppo è stata confutata da Eulero: infatti $$F_5 = 2^{32} + 1 = 641 \cdot 6\,700\,417.$$ Oggi si conoscono solo questi cinque numeri di Fermat primi; si sa che $F_n$ è composto per $n = 5$, $6$, …, $32$. Di alcuni di questi numeri si conoscono fattorizzazioni parziali, e di altri si sa che sono composti senza conoscerne fattori primi.

I numeri di Fermat sono primi fra loro

Il punto di partenza della dimostrazione di Goldbach con i numeri di Fermat è questa osservazione: per ogni $n \ge 0$ si ha $$F_{n + 1} = F_0 \cdot F_1 \cdots F_n + 2.$$ Per esempio $$F_4 = 3 \cdot 5 \cdot 17 \cdot 257 + 2 = 65\,535 + 2 = 65\,537.$$ Questo implica che $$\text{mcd}(F_n, F_m) = 1 \qquad\text{se $n \ne m$.}$$ Infatti, l’identità qui sopra dà immediatamente che se $n < m$ allora $F_n \mid F_m – 2$ e quindi per l’Algoritmo di Euclide $$\text{mcd}(F_n, F_m) = \text{mcd}(F_n, 2) = 1.$$ Nell’ultimo passaggio usiamo il fatto che tutti i numeri di Fermat sono dispari.

La dimostrazione di Goldbach con i numeri di Fermat

Goldbach ha osservato che possiamo associare ad ogni intero $n$ l’insieme $\mathcal{F}_n$ dei fattori primi di $F_n$.

Questi insiemi sono disgiunti fra loro e quindi esistono infiniti numeri primi!

Alessandro Zaccagnini