Immaginiamo – ma potremmo sbagliare – che, vedendo arrivare questa Newsletter, qualcuno abbia lanciato uno sguardo sull’angolo in fondo a destra del pc (ammesso e non concesso che stia leggendo queste righe sullo schermo di un computer), o magari su un angolo del telefono (dove diavolo stanno le date, su un telefono?) o addirittura su un calendario da scrivania, o da muro, insomma verso qualsiasi oggetto, animato o inanimato che sia, che possa assicurargli che sia ancora Agosto, almeno in quella parte di globo che usa il calendario gregoriano (o anche giuliano: anzi, per loro di Agosto ce n’è ancora un bel pezzo, da smaltire).
Ebbene, vi assicuriamo che è proprio così: impera ancora l’ottavo mese dell’anno, e anche se ormai ne rimane un decimo scarso, non avete diritto a muovere critiche: sulla copertina di questo RM331 che ci accingiamo a presentare il mese scritto in alto a destra è ancora pienamente coincidente con quello del calendario.
Poi, a voler essere sinceri, non trovate che questa rigorosa metrica del tempo sia un po’ eccessiva? L’accurata misura del tempo, la faticosa e condivisa attività di incastrare nel miglior modo possibile le azioni da compiere in una griglia fitta di ripartizioni del tempo quotidiano, mensile, annuale… certo, è un’abitudine, anzi un’invenzione, spaventosamente efficiente; se non ci mettessimo tutti d’accordo, in qualche maniera, su quale sia il tempo del lavoro e quello del riposo, quello libero e quello obbligato, quello giusto e quello sbagliato per tutte le azioni che abbiamo intenzione di svolgere, sarebbe un gran pasticcio. Però, perdincibacco, è proprio una griglia, a ben vedere; e le griglie inquadrano, limitano, chiudono. Ogni tanto, qualche evasione dovrebbe essere non solo concessa, ma perfino obbligatoria.
Ma non stavolta: Rudi Mathematici di Agosto esce ad Agosto, e per quanto riguarda Settembre… beh, si accettano scommesse. Agosto resta sempre il mese delle vacanze, e ancora di vacanze faremo finta di parlare; e, come sempre, eviteremo di trasformare questa Newsletter in un riassunto della cronaca del mese, fedeli all’idea che là fuori, nel mondo vero, è sempre complicato trovare occasioni per rallegrarsi. Ma noi, perdinci, proprio questo vogliamo e perseguiamo, e anche in vacanza abbiamo scritto problemi, raccolto invenzioni altrui, vagliato le soluzioni ricevute, scelto una copertina adatta. Stavolta, pensate un po’, siamo riusciti perfino a trovare Romeo e Giulietta spiattellati su un grafico.
State bene, gente; state il meglio possibile. E se appena appena se ne presenta l’occasione, non dimenticatevi di essere felici.
I Rudi Mathematici (Rodolfo Clerico / Rudy d’Alembert, Piero Fabbri / Piotr Rezierovic Silverbrahms, Francesca Ortenzio / Alice Riddle) sono autori della omonima e-zine di matematica ricreativa, pubblicata in rete dal 1999.
Riguardo la mia risposta al problema “…a pranzo, leggeri! ” di RM330 avevo poi aggiunto due considerazioni che forse chiariscono meglio quanto quanto dico:
Prima considerazione:
Analizzando le posizioni ottimali del Giapponese (g) e dell’Americano (a) al variare
della posizione del Cinese (c) nel continuo, si ottengono le seguenti regole:
Per c 0.25:
– Il Giapponese mantiene una posizione speculare simmetrica rispetto al centro,
scegliendo g = 1 – c (es. per c = 0.30, g = 0.70).
– Con questa contromossa, il Giapponese si garantisce comunque il 50% della spiaggia.
– Il Cinese, essendosi spinto troppo verso il centro, vede la sua area ridursi
drasticamente (scendendo sotto il 25%: per c = 0.30 scende a 0.20, per c = 0.35
scende a 0.15).
Si noti che per c = 0.25 la formula g = (2+c)/3 (valida per c 0.25), entrambe dando g = 0.75.
Questo dimostra che c = 0.25 è l’unico punto di equilibrio stabile del gioco.
Da questa analisi si decide che la scelta ottima del Cinese è c = 0.25.
Questa è l’unica posizione in cui:
1. Il Cinese massimizza la propria area (25%).
2. Il Giapponese si posiziona al 75% e ottiene il 50%.
3. L’Americano, per tie-break, si mette a sinistra del Cinese e ottiene il 25%.
Questa configurazione (25% – 25% – 50%) è l’unico equilibrio stabile del gioco.
Seconda considerazione:
OSSERVAZIONE SUI CASI DISCRETI (N INTERO)
Nel caso in cui il numero di segmenti della spiaggia sia N (con cabine poste
alle posizioni intere 1, 2, …, N-1), la configurazione esatta
Per N che non sono della forma 4k+2 (come N=7 e N=11), la configurazione
esatta non è raggiungibile a causa della discretizzazione, ma la tendenza
al limite 25%-25%-50% rimane valida al crescere di N.
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Riguardo la mia risposta al problema “…a pranzo, leggeri! ” di RM330 avevo poi aggiunto due considerazioni che forse chiariscono meglio quanto quanto dico:
Prima considerazione:
Analizzando le posizioni ottimali del Giapponese (g) e dell’Americano (a) al variare
della posizione del Cinese (c) nel continuo, si ottengono le seguenti regole:
Per c 0.25:
– Il Giapponese mantiene una posizione speculare simmetrica rispetto al centro,
scegliendo g = 1 – c (es. per c = 0.30, g = 0.70).
– Con questa contromossa, il Giapponese si garantisce comunque il 50% della spiaggia.
– Il Cinese, essendosi spinto troppo verso il centro, vede la sua area ridursi
drasticamente (scendendo sotto il 25%: per c = 0.30 scende a 0.20, per c = 0.35
scende a 0.15).
Si noti che per c = 0.25 la formula g = (2+c)/3 (valida per c 0.25), entrambe dando g = 0.75.
Questo dimostra che c = 0.25 è l’unico punto di equilibrio stabile del gioco.
Da questa analisi si decide che la scelta ottima del Cinese è c = 0.25.
Questa è l’unica posizione in cui:
1. Il Cinese massimizza la propria area (25%).
2. Il Giapponese si posiziona al 75% e ottiene il 50%.
3. L’Americano, per tie-break, si mette a sinistra del Cinese e ottiene il 25%.
Questa configurazione (25% – 25% – 50%) è l’unico equilibrio stabile del gioco.
Seconda considerazione:
OSSERVAZIONE SUI CASI DISCRETI (N INTERO)
Nel caso in cui il numero di segmenti della spiaggia sia N (con cabine poste
alle posizioni intere 1, 2, …, N-1), la configurazione esatta
Cinese = 25%
Americano = 25%
Giapponese = 50%
si ottiene quando N è della forma:
N = 4k + 2 (con k intero positivo)
In questi casi, le posizioni ottimali sono:
Cinese = k
Americano = k + 1
Giapponese = 3k + 1
Verifica:
– Confine C-A: (k + k+1)/2 = k + 0.5 = N/4
– Confine A-G: (k+1 + 3k+1)/2 = 2k + 1 = N/2
– Aree:
Cinese: N/4 = 25%
Americano: N/4 = 25%
Giapponese: N/2 = 50%
Esempi:
– N = 6 (k=1): C=1, A=2, G=4 → aree 1.5, 1.5, 3.0
– N = 10 (k=2): C=2, A=3, G=7 → aree 2.5, 2.5, 5.0
– N = 14 (k=3): C=3, A=4, G=10 → aree 3.5, 3.5, 7.0
Per N che non sono della forma 4k+2 (come N=7 e N=11), la configurazione
esatta non è raggiungibile a causa della discretizzazione, ma la tendenza
al limite 25%-25%-50% rimane valida al crescere di N.