È appena venuto alla luce, in un recente articolo, un nuovo, imprevisto, legame fra numeri primi e “partizioni“ dei numeri interi. Vediamo di cosa si tratta in compagnia di Alessandro Zaccagnini.
I numeri primi non smettono di stupire: di recente è emersa un’inattesa correlazione tra questi e le partizioni dei numeri interi. Non è necessario definire cos’è un numero primo ma è invece utile spiegare cosa sono le partizioni di un numero intero: sono i modi di “decomporre” un intero positivo come somma di interi positivi piú piccoli, senza tenere conto dell’ordine. Per esempio, le partizioni del numero 5 sono \begin{aligned} & 1 + 1 + 1 + 1 + 1 \\ & 1 + 1 + 1 + 2 \\ & 1 + 1 + 3 \\ & 1 + 2 + 2 \\ & 1 + 4 \\ & 2 + 3 \\ & 5\end{aligned} Scriveremo dunque che p(5) = 7. L’apparente semplicità della definizione nasconde una diabolica complessità. Chi ha visto il film “L’uomo che vide l’infinito” forse ricorda la scena in cui Ramanujan è sfidato a calcolare a mente con molti decimali la radice di un qualche numero. Lo sfidante è il Maggiore MacMahon, al quale si deve uno studio approfondito delle partizioni che ho appena definito, anche in versioni piú generali. Dall’interazione fra Ramanujan e MacMahon, che era in grado di portare a termine calcoli complicatissimi per un’epoca in cui non c’erano i moderni computer, nacquero alcune congetture che Ramanujan propose ad Hardy: una sull’andamento asintotico della funzione p(n) quando n tende all’infinito e una su particolari congruenze soddisfatte dai valori p(n). Queste congetture furono dimostrate da Ramanujan in collaborazione con Hardy, in un articolo in cui hanno introdotto il “metodo del cerchio,” lo strumento fondamentale per affrontare i problemi aritmetici di natura additiva come questo. Ne ho parlato, fra le altre cose, qui [1 ]A. Zaccagnini. 2020. “Cent’anni Senza Ramanujan.” Sito Web MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/langolo-arguto/senza-ramanujan/.
La cosa, di per sé, non sembrerebbe essere collegata in modo particolare ai numeri primi, che per loro natura sono definiti “moltiplicativamente” piuttosto che “additivamente.” Ma recentemente è apparso un articolo di William Craig, Jan-Willem van Ittersum, e Ken Ono [2 ]W. Craig, J.-W. van Ittersum, K. Ono. 2024. “Integer Partitions Detect the Primes.” Proceedings of the National Academy of Sciences 121 (39): e2409417121. https://doi.org/10.1073/pnas.2409417121. che mostra proprio un collegamento di questo tipo. In modo un po’ vago e impreciso, possiamo dire che esistono infinite espressioni polinomiali nella variabile n i cui coefficienti sono opportune funzioni legate alle partizioni che assumono solo valori positivi e che si annullano se e solo se n è un numero primo. Queste “opportune funzioni” sono generalizzazioni, in parte introdotte proprio da MacMahon, della funzione definita all’inizio di questo articolo; la definizione precisa è molto tecnica e non aggiungerebbe nulla di interessante.
Come gli stessi autori sottolineano, c’è un’analogia tra questa scoperta ed un teorema del 1970 dovuto al logico Yuriı̆ Matiyasevich. Una versione piú accessibile di questo risultato è quella data da J.P. Jones, D. Sato, H. Wada, e D. Wiens [3 ]J. P. Jones, D. Sato, H. Wada, D. Wiens. 1976. “Diophantine Representation of the Set of Prime Numbers.” Amer. Math. Monthly 83 (6): 449–64., i quali hanno scoperto che esiste un polinomio in piú variabili i cui valori positivi sono tutti e soli i numeri primi. Si tratta di un importante risultato di logica matematica, che non ha ancora trovato applicazioni “pratiche” al di fuori della logica stessa. Ne ho discusso qui [4 ]A. Zaccagnini, 2016. “Macchine Che Producono Numeri Primi.” Matematica, Cultura E Società, 1st ser., 1 (1): 5–19.http://www.bdim.eu/item?id=RUMI_2016_1_1_1_5_0.
Come spesso accade nella buona matematica, quelle appena scoperte sono relazioni inattese fra cose apparentemente scorrelate. Daranno frutti? Speriamo di sí, ma solo il tempo può dirlo.
Note e riferimenti
⇧1 | A. Zaccagnini. 2020. “Cent’anni Senza Ramanujan.” Sito Web MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/langolo-arguto/senza-ramanujan/. |
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⇧2 | W. Craig, J.-W. van Ittersum, K. Ono. 2024. “Integer Partitions Detect the Primes.” Proceedings of the National Academy of Sciences 121 (39): e2409417121. https://doi.org/10.1073/pnas.2409417121. |
⇧3 | J. P. Jones, D. Sato, H. Wada, D. Wiens. 1976. “Diophantine Representation of the Set of Prime Numbers.” Amer. Math. Monthly 83 (6): 449–64. |
⇧4 | A. Zaccagnini, 2016. “Macchine Che Producono Numeri Primi.” Matematica, Cultura E Società, 1st ser., 1 (1): 5–19.http://www.bdim.eu/item?id=RUMI_2016_1_1_1_5_0 |