Un preprint di qualche mese fa di H. A. Helfgott and M. Radziwill^{[1 ]}H. A. Helfgott and M. Radziwill, Expansion, divisibility and parity, Arxiv preprint https://arxiv.org/abs/2103.06853, 2021 presenta una notevole soluzione alla cosiddetta “congettura di Chowla”. Come al solito Alessandro Zaccagnini ci guida attraverso gli ultimi risultati nel campo della teoria dei numeri.

1 La congettura “logaritmica” di Chowla

Secondo un noto luogo comune, è facilissimo porre domande molto difficili sui numeri primi. Quasi tutti i grandi problemi aperti sui numeri primi (ricordiamo la congettura di Goldbach, quella dei primi gemelli, quella di Riemann) sono domande piuttosto “naturali” che ci si possono fare sui numeri primi e si possono formulare in termini semplicissimi, come nei primi due casi appena citati. Ci sono stati alcuni tentativi di fare domande diverse da quelle classiche nella speranza che possa essere piú facile risolvere i problemi connessi. Qui parliamo di un problema proposto dal matematico indiano Chowla negli anni ’60 del XX secolo. Per semplicità, ci limitiamo a trattare il caso speciale sul quale c’è stato un recente progresso.

La congettura di Chowla riguarda la funzione \(\lambda\) di Liouville, che è una parente prossima della funzione \(\mu\) di Möbius di cui ho parlato di recente qui su MaddMaths!^{[2 ]}Alessandro Zaccagnini, Una passeggiata aleatoria ci porterà sulla vetta della Congettura di Riemann?, Sito web MaddMaths! (2021), Online dal 4.12.2021. Queste sono funzioni aritmetiche, sono cioè definite sugli interi positivi. In particolare, se \(n \ge 1\) ha \(k\) fattori primi in totale, cioè contandoli con la loro molteplicità, allora \(\lambda(n) = (-1)^k\). Dunque i primi valori della funzione \(\lambda\) sono \(1\), \(-1\), \(-1\), \(1\), \(-1\), \(1\), \(-1\), \(-1\), \(1\), \(1\), perché i primi 10 interi hanno rispettivamente \(0\), \(1\), \(1\), \(2\), \(1\), \(2\), \(1\), \(3\), \(2\), \(2\) fattori primi in totale. La funzione \(\mu\) di Möbius si calcola quasi allo stesso modo: se \(n\) ha \(k\) fattori primi distinti allora \(\mu(n) = (-1)^k\), altrimenti \(\mu(n) = 0\); quindi i suoi primi 10 valori sono \(1\), \(-1\), \(-1\), \(0\), \(-1\), \(1\), \(-1\), \(0\), \(0\), \(1\). Le due funzioni sono dunque legate, sia pur in modo leggermente diverso, alla struttura della scomposizione in fattori primi del loro argomento.

Prima di enunciare la versione della congettura di Chowla che ci interessa qui, facciamo una breve digressione sulla serie armonica, o meglio sulle sue somme parziali. Uno dei pochi risultati memorabili della matematica medievale, dovuto al matematico francese Nicola Oresme nel XIV secolo, nella notazione moderna dice che \[H_N
=
1 + \frac12 + \frac13 + \frac14 + \frac15 + \dots + \frac1N
\to
+\infty\] quando \(N \to +\infty\). La dimostrazione di Oresme usa uno strumento poi generalizzato da Cauchy, all’inizio del XIX secolo, che ha preso il nome di metodo di condensazione. A noi però interessa un risultato piú preciso: usando il cosiddetto criterio integrale per le serie si può dimostrare che \[H_N
\sim
\int_1^N \frac{\mathrm{d}x}x
=
\log(N),\] dove il logaritmo qui a destra è quello naturale; dunque la successione \(H_N\) delle somme parziali della serie armonica diverge, come dicevamo un attimo fa, con una velocità ben precisa. Ricordiamo per inciso che la funzione zeta di Riemann è una generalizzazione della serie armonica; ma non apriamo qui un’altra digressione.

Ragionevolmente, quando \(n\) è un intero molto grande il numero dei suoi fattori primi dovrebbe essere completamente scorrelato dal numero dei fattori primi di \(n + 1\). In altre parole, conoscere il valore di \(\lambda(n)\) non ci dovrebbe permettere di “prevedere” il valore di \(\lambda(n + 1)\). Ci possiamo quindi aspettare che il valore di \(\lambda(n) \lambda(n + 1)\) sia circa metà delle volte uguale ad \(1\) e circa metà delle volte uguale a \(-1\). La congettura “logaritmica” di Chowla riguarda la successione \[C_N
=
\frac{\lambda(1) \lambda(2)}1
+
\frac{\lambda(2) \lambda(3)}2
+
\frac{\lambda(3) \lambda(4)}3
+
\frac{\lambda(4) \lambda(5)}4
+ \dots +
\frac{\lambda(N) \lambda(N + 1)}N.\] Qui, come nella serie armonica, i denominatori sono i numeri interi positivi nella loro sequenza naturale, ma i numeratori hanno i valori \(\lambda(n) \lambda(n + 1)\) e, per quanto detto prima, ci aspettiamo che \[\lim_{N \to +\infty} \frac{C_N}{\log(N)}
=
0,\] perché vorrebbe dire che il numero di \(+1\) e di \(-1\) a numeratore nelle frazioni qui sopra è approssimativamente uguale; questa, in un certo senso, è una versione debole della congettura che il numero dei fattori primi di \(n\) sia scorrelato dal numero dei fattori primi di \(n + 1\), quando \(n\) è grande.

Per quanto ne sappiamo, però, potrebbero esistere lunghe sequenze di interi consecutivi per cui \(\lambda(n) = \lambda(n + 1)\) e quindi molti numeratori consecutivi potrebbero valere \(+1\). Di conseguenza, il limite qui sopra potrebbe avere un valore diverso da \(0\), oppure, piú plausibilmente, potrebbe non esistere.

Nel 2016, Kaisa Matomäki & Maksym Radziwiłł hanno dimostrato^{[3 ]}K. Matomäki and M. Radziwill, Multiplicative functions in short intervals, Ann. Math. 183 (2016), 1015–1056, in un senso quantitativamente preciso, che lunghi “addensamenti” di valori consecutivi uguali della funzione \(\lambda\) non esistono. A partire da questo importante risultato, nello stesso anno Terence Tao^{[4 ]}T. Tao, The logarithmically averaged Chowla and Elliott conjectures for two-point correlations, Forum Math. Pi 36 (2016), no. 4:e8, piú volte ricordato in questo sito per i suoi innumerevoli contributi a molti ambiti diversi della matematica, ha dimostrato che il limite vale effettivamente \(0\), lasciando però aperta la questione della “velocità di convergenza” della successione \(C_N / \log(N)\) verso il suo limite \(0\). Una risposta parziale è arrivata poco tempo dopo, grazie alla collaborazione fra Tao e Joni Teräväinen^{[5 ]}T. Tao and J. Teräväinen, The structure of correlations of multiplicative functions at almost all scales, with applications to the Chowla and Elliott conjectures, Algebra Number Theory 13 (2019), no. 9, 2103–2150, e questa è stata di nuovo migliorata molto recentemente da Harald Helfgott & Maksym Radziwiłł^{[6 ]}H. A. Helfgott and M. Radziwill, Expansion, divisibility and parity, Arxiv preprint https://arxiv.org/abs/2103.06853, 2021.

Ricordiamo che in molti problemi che hanno direttamente o indirettamente a che fare con la distribuzione dei numeri primi, l’esatta velocità di convergenza verso il proprio limite di alcune funzioni o successioni è proprio il punto cruciale. L’esempio piú noto è quello della Congettura di Riemann (vedi qui^{[7 ]}Alessandro Zaccagnini, Una versione elementare della Congettura di Riemann, Sito web MaddMaths! (2016)), ma non è certamente l’unico.

Un’ultima annotazione prima di passare alla descrizione dei risultati, per dare una prospettiva storica. Nella teoria dei numeri ci si deve confrontare spesso con successioni piuttosto irregolari: pensiamo alla successione dei numeri primi, o dei numeri primi che hanno ultima cifra uguale a \(3\), o ai numeri primi gemelli. In casi come questi può essere utile studiare qualche tipo di “comportamento medio” della successione. Vi sono molti modi sensati di definire il concetto di comportamento medio: uno dei piú utili è quello di associare alla successione \((a_n)\) la somma armonica corrispondente \[S(N)
=
\frac{a_1}1 + \frac{a_2}2 + \frac{a_3}3 + \cdots + \frac{a_N}N.\] Eulero ha dato la sua rivoluzionaria dimostrazione del Teorema di Euclide del fatto che esistono infiniti numeri primi prendendo \(a_n = 1\) se \(n\) è primo e \(a_n = 0\) altrimenti (cioè la funzione caratteristica dei numeri primi) e dimostrando che la somma armonica \(S(N)\) che ne risulta è illimitata. Dirichlet ha generalizzato il risultato di Eulero ai numeri primi nelle progressioni aritmetiche: nel caso che citavo sopra, bisogna prendere \(a_n = 1\) se \(n\) è un numero primo che termina con la cifra \(3\) e \(a_n = 0\) altrimenti; anche questa somma armonica è illimitata. Brun ha tentato, senza successo, di dimostrare che esistono infiniti numeri primi gemelli prendendo \(a_n = 1\) se \(n\) ed \(n + 2\) sono simultaneamente primi e \(a_n = 0\) altrimenti; purtroppo, in questo caso la somma armonica è limitata e il tentativo è fallito, ma è stato il punto di inizio della moderna teoria dei crivelli. Uno dei “fallimenti” piú proficui della storia della matematica …

2 Grafi e numeri primi

Lo strumento usato da Tao & Teräväinen e poi da Helfgott & Radziwiłł per ottenere i loro risultati proviene dalla teoria dei grafi. Come ho mostrato in un altro articolo^{[8 ]}Alessandro Zaccagnini. Operazioni: elementari, ma non troppo!, Sito web MaddMaths! (2020), Online da gennaio 2020 in un caso molto semplice, è possibile associare un grafo alle operazioni di addizione e moltiplicazione, e il fatto che le due operazioni abbiano un effetto radicalmente differente sui numeri interi emerge icasticamente.

La scelta del grafo migliore possibile per il problema di Chowla, naturalmente, è una cosa molto difficile e non scontata. Se da un lato è chiaro che ai vertici del grafo dobbiamo mettere gli interi positivi, non è altrettanto ovvio con quale regola connettere i vertici, cioè quali archi disegnare. Nel mio articolo citato sopra la regola è molto semplice: connettiamo due vertici se gli interi corrispondenti sono uno multiplo dell’altro. In quel caso, il mio obiettivo non era quello di dimostrare qualcosa, quanto piuttosto mostrare quanto sia complessa l’operazione apparentemente elementare della moltiplicazione.

Il caso di cui stiamo parlando è estremamente piú difficile, ma la moltiplicazione resta al cuore del problema; in particolare, la proprietà fondamentale della funzione \(\lambda\) di Liouville usata in tutti gli studi citati qui è questa: \(\lambda(m n) = \lambda(m) \lambda(n)\) qualunque siano gli interi positivi \(m\) ed \(n\).

Nel grafo scelto da Tao & Teräväinen due interi \(m\) ed \(n\) sono connessi se la loro differenza è un numero primo \(p\) e sono entrambi divisibili per \(p\). Per esempio, \(91\) e \(98\) sono connessi perché la loro differenza è il numero primo \(p = 7\) e sono entrambi divisibili per \(7\). Invece Helfgott & Radziwiłł hanno preso in considerazione il grafo in cui due interi \(m\) ed \(n\) sono connessi se la loro differenza è un numero primo \(p\); il loro grafo risulta avere molti piú archi ed è piú facile da trattare con le tecniche della teoria dei grafi. Inoltre, uno strumento essenziale è una versione ad hoc del crivello combinatorio: sí, proprio quello introdotto da Brun nel suo studio pionieristico sui primi gemelli.

L’articolo in cui Harald Helfgott spiega la dimostrazione del suo risultato con Radziwiłł^{[9 ]}H. A. Helfgott, Expansion, divisibility and parity: An explanation, Arxiv preprint http://arxiv.org/abs/2201.00799, 2022., è molto interessante perché scritto dichiaratamente con uno stile insolito. I matematici, piú o meno consapevolmente, tendono a nascondere le proprie tracce: quando si espone un risultato, non si mostrano le false piste, i vicoli ciechi, gli eventuali errori. Invece Helfgott ricrea, un po’ artificialmente, la strada percorsa prima di raggiungere il risultato e mette in grado i lettori di capire e apprezzare le difficoltà che hanno incontrato.

3 In cauda venenum

Concludendo, abbiamo visto che paradossalmente, anche i problemi “semplici” risultano difficilissimi! Qual è il motivo profondo per queste difficoltà? Uno strumento tradizionale per studiare una funzione aritmetica \(a(n)\) è quello di associarle la funzione generatrice, cioè la serie di Dirichlet \[f(s)
=
\sum_{n \ge 1} \frac{a(n)}{n^s},\] dove \(s\) è un numero complesso di parte reale sufficientemente grande da rendere convergente la serie qui a destra (se un tale numero esiste). Questa è una versione piú sofisticata di quanto abbiamo fatto sopra, quando abbiamo associato ad una successione la successione delle sue somme armoniche.

Le funzioni generatrici associate alla funzione \(\lambda\) di Liouville e \(\mu\) di Möbius sono rispettivamente \[\sum_{n \ge 1} \frac{\lambda(n)}{n^s}
=
\frac{\zeta(2 s)}{\zeta(s)}
\qquad\text{e}\qquad
\sum_{n \ge 1} \frac{\mu(n)}{n^s}
=
\frac1{\zeta(s)},\] dove \(\zeta\) è la funzione zeta di Riemann. Dunque, ben nascosta dietro successioni apparentemente del tutto innocue, si nasconde tutta la complessità della funzione zeta.

Alessandro Zaccagnini