Recentemente i matematici Jacob Bedrossian, Alex Blumenthal, Sam Punshon-Smith hanno annunciato in questo preprint di aver dato la prima dimostrazione rigorosa della legge di Batchelor che riguarda il trasporto di una quantità scalare passiva in un fluido turbolento. Mario Pulvirenti ci spiega di cosa si tratta. 

Consideriamo un fenomeno semplice e familiare. Un lago, in assenza di perturbazioni esterne, ha una superficie a riposo. Supponiamo di gettare un sasso nel lago. Vedremo formarsi delle onde che si propagano circolarmente attorno al punto di impatto del sasso. La dinamica del pelo libero del lago è semplice e suggestiva. La matematica e la fisica ci permettono di fare previsioni abbastanza precise. Conoscendo i parametri fisici del problema possiamo prevedere quale sarà lo stato della superficie del lago nei tempi successivi ad un istante prefissato di osservazione. Purché non troppo successivi, altrimenti fenomeni dissipativi, che in questo contesto non stiamo considerando, potrebbero influire drasticamente.

Lo stesso sistema fisico in condizioni diverse si comporterà in maniera molto differente. Se nel lago si getta violentemente una cascata, la dinamica del fluido che costituisce il lago sarà complicatissima e imprevedibile. La velocità del fluido in un punto prefissato varierà drasticamente al variare del tempo e al variare del punto di osservazione. Si parla in questo caso di regime turbolento.

Come affrontare matematicamente un problema cosi’ complesso? Possiamo certamente ipotizzare di essere in presenza di una sovrapposizione di onde di diversa frequenza. Ricordiamo che un’onda piana ha la forma \(A \sin kx\), dove \(A\) è l’ampiezza dell’onda ed è proporzionale all’energia dell’onda stessa. Invece \(k\) è il numero d’onda e vale la relazione \(kL=2\pi\), dove \(L\) è la lunghezza d’onda. Il numero d’onda è proporzionale alla frequenza e dunque se \(k\) è grande ho sensibili variazioni spaziali su piccola scala.

È naturale affrontare il problema da un punto di vista statistico, ignorando il comportamento dinamico di un singolo campione di fluido, cercando di determinare i valori medi delle quantità di interesse. In particolare siamo interessati alla quantità \(E(s)\) (spettro di energia), che è il valor medio dell’energia che compete alle onde con numero d’onda \(s=|k|\). Nel 1941 il grande matematico russo Andrej Nikolaevič Kolmogorov, fondatore della moderna teoria delle probabilità, propose una teoria fenomenologica della turbolenza sviluppata, stazionaria, omogenea e isotropa che prevede un comportamento universale della quantità \(E(s)\). Per un intervallo opportuno di valori di \(s\), grandi rispetto alle frequenze tipiche dell’energia immessa nel fluido (per tenerlo vivo) e piccoli rispetto alle frequenze dissipate (l’attrito uccide le grandi frequenze), da semplici argomenti dimensionali, risulta che \(E(s) \approx s^{-5/3}\). Questa è la famosa legge di Kolmogorov (talora detta K41) ed è basata su argomenti dimensionali. Il meccanismo, fortemente non lineare, secondo il quale l’energia fluisce dalle basse alle alte frequenze, è sorprendentemente universale.

Un piccolo doveroso inciso. La parola turbolenza non identifica univocamente una classe di fenomeni. Ad esempio, l’innesco dei comportamenti caotici di un fluido (in Inglese “the onset of turbulence”) ha a che fare con la teoria dei sistemi dinamici, l’instabilità, le biforcazioni e quant’altro. Insomma il fin troppo abusato effetto farfalla.

Torniamo ora alla turbolenza sviluppata e consideriamo un fluido turbolento e un piccolo e leggero tappo di sughero mosso dal fluido stesso. Siamo in presenza di uno scalare passivo, descritto da una distribuzione di probabilità di cui vogliamo calcolare lo spettro. Ancora una volta esso sarà definito attraverso una decomposizione in onde piane (analisi di Fourier) e ci domandiamo se anche in questo caso valga una legge universale. Nel 1959 il matematico applicato australiano George Keith Batchelor stabilì un comportamento universale (per un fluido bidimensionale) dato da una legge a potenza. Il problema ha risvolti applicativi interessanti legati ad esempio alle proprietà di mescolamento di una sostanza sospesa in un fluido turbolento.

A questo punto si osservi che le leggi appena descritte sono fenomenologiche e non fanno riferimento alle equazioni che descrivono la dinamica dei fluidi (ad esempio le equazioni di Eulero o di Navier-Stokes) e, fino a tempi recenti, non si disponeva di una prova matematicamente fondata sui modelli fisico-matematici dei fluidi.

Recentemente tre matematici americani Jacob Bedrossian, Alex Blumenthal (College Park, University of Maryland) e Sam Punshon-Smith (Brown University, Providence) in una serie di articoli ^{[1 ]}Jacob Bedrossian, Alex Blumenthal, Sam Punshon-Smith, The Batchelor spectrum of passive scalar turbulence in stochastic fluid mechanics, arXiv:1911.11014 [math.AP] hanno dimostrato la legge di Batchelor, attraverso lo studio delle soluzioni dell’equazione di Navier-Stokes sotto l’azione di un’opportuna forza aleatoria.

Questo risultato costituisce un primo passo significativo di un approccio matematicamente ben fondato verso la fenomenologia della turbolenza sviluppata.

Mario Pulvirenti