James Maynard è stato uno dei quattro matematici a ricevere l’ambita Medaglia Fields il 5 luglio 2022. È uno studioso di teoria dei numeri e di lui ci parla, con l’abituale competenza, Alessandro Zaccagnini.

Per chi come me si occupa di Teoria dei Numeri il 5 luglio è stata una giornata memorabile perché, oltre oltre al premio a Maynard, anche Maryna Viazovska, che ha ricevuto un’altra delle quattro medaglie, ha usato tecniche proprie della Teoria dei Numeri nei suoi lavori (non a caso, è nel comitato editoriale del “Journal of Number Theory”) e uno dei premi collaterali, per la precisione la Medaglia Chern, è andato a Billy Mazur, un riconoscimento ad una carriera straordinaria.

Questo articolo è dedicato ad alcuni degli articoli menzionati nelle motivazioni per il premio di Maynard. Non parlerò della dimostrazione della Congettura di Duffin-Schaeffer, in collaborazione con Dimitris Koukoulopoulos, perché l’ho descritta in dettaglio proprio qui su MaddMaths!^{[1 ]}Alessandro Zaccagnini, 2019. “Tutto Quello Che Avreste Voluto Sapere Sulla Congettura Di Duffin–Schaeffer E Non Avete Mai Osato Chiedere!” Sito Web MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/focus/duffin-schaeffer/ non appena è stata annunciata. Mi concentrerò dunque su altri due aspetti, fra i tanti possibili, che riguardano i numeri primi. Mi fa particolarmente piacere ricordare che ho già citato James Maynard proprio nel mio primo articolo per MaddMaths! nel 2013^{[2 ]} Alessandro Zaccagnini, 2013. “Il Cerchio Si Stringe Intorno Ai Primi ‘Gemelli’.” Sito Web MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/il-cerchio-si-stringe-intorno-ai-primi-gemelli/ . Chi vuole approfondire può leggere tre articoli, già disponibili su rete, che compariranno nel volume con gli atti della cerimonia di consegna delle medaglie: quello scritto personalmente da James Maynard^{[3 ]}James Maynard. 2022. “Counting Primes.” https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2022/jm.pdf, il testo della “laudatio” tenuta da Kannan Soundararajan^{[4 ]}Kannan Soundararajan, 2022. “The Work of James Maynard.” https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2022/laudatio-jm.pdf e il testo scritto da Andrei Okounkov^{[5 ]}Andrei Okounkov. 2022. “Rhymes in Primes.” https://www.mathunion.org/fileadmin/IMU/Prizes/Fields/2022/JM_FM.pdf.

Primi gemelli

Scorrendo una lista dei numeri primi si scoprono delle regolarità, a dispetto dello slogan un po’ usurato che i numeri primi sono disposti “a caso.” Qui ci interessa in modo particolare il fatto che si presentano sistematicamente coppie come 3 e 5; 5 e 7; 11 e 13; …, 101 e 103; …; 1031 e 1033; …. I numeri primi tendono a diradarsi in modo piuttosto regolare, fra i numeri interi, e naturalmente le coppie di numeri primi “gemelli” si diradano fra tutti i numeri primi. La differenza fondamentale fra le due situazioni è che sappiamo fin dai tempi piú remoti che esistono infiniti numeri primi, grazie ad Euclide, ma nessuno è ancora riuscito a dimostrare che esistono infinite coppie di primi gemelli, nonostante tutta l’evidenza teorica e sperimentale. Nemmeno Maynard, mi affretto ad aggiungere.

La situazione è veramente paradossale: negli anni ’20 del XX secolo, Hardy & Littlewood hanno scoperto una formula che serve a “predire” il numero di coppie di primi gemelli che non superano un certo limite. Questa formula è davvero accurata, se messa a confronto con i dati calcolati, ma a tutt’oggi è senza dimostrazione! Hanno parlato di questo apparente paradosso i miei personaggi nella Ottava Giornata del mio “Dialogo sui numeri primi”^{[6 ]}Alessandro Zaccagnini. 2021. Dialogo Sui Numeri Primi — Un Dialogo Galileiano. Roma: I librini di MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/zaccagnini-dialogo-ebook/.

Come spiegato nel mio articolo ^{[7 ]}Alessandro Zaccagnini. 2013. “Il Cerchio Si Stringe Intorno Ai Primi ‘Gemelli’.” Sito Web MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/il-cerchio-si-stringe-intorno-ai-primi-gemelli/ già citato sopra, nel giro di poco tempo le conoscenze a proposito dei primi gemelli sono aumentate molto velocemente, circa dieci anni fa. Se \(p_n\) indica l’\(n\)-esimo numero primo, la congettura dei primi gemelli dice che per infiniti indici \(n\) si ha \(p_{n + 1} – p_n = 2\). Non riuscendo a dimostrare questo risultato, varie generazioni di matematici hanno tentato di ottenerne delle “approssimazioni.” Dopo alcuni decenni di relativa stagnazione, c’è stato un rapido progresso di cui ho dato conto nell’articolo di dieci anni fa, che ho concluso con una nota di ottimismo e in effetti James Maynard ha poi migliorato i risultati citati. Quello che sappiamo oggi è che per infiniti indici \(n\) si ha \(p_{n + 1} – p_n \le 246\). Questi miglioramenti sono dovuti ad un utilizzo piú efficiente di una versione della variante quantitativa del crivello di Eratostene introdotta proprio da Maynard. Ho accennato alla storia moderna del crivello qui^{[8 ]} Alessandro Zaccagnini. 2022a. “Grafi E Numeri Primi.” Sito Web MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/ricerca/grafi-e-numeri-primi/ .

I risultati di Maynard vanno ben oltre i primi gemelli: per esempio, ha dimostrato che a patto di mettere al posto di 246 un numero \(C\) molto grande, ma finito, per infiniti indici \(n\) si ha \(p_{n + 100} – p_n \le C\). In altri termini, esistono infiniti intervalli finiti di lunghezza \(C\) che contengono almeno 101 numeri primi! Maynard ha lavorato anche al problema “coniugato” di determinare intervalli molto lunghi che non contengono numeri primi, e ha contribuito a risolvere uno dei tanti problemi posti da Erdős, insieme a matematici che ho citato altrove come Terence Tao, e molti altri.

Numeri primi senza una cifra

Ho sempre considerato poco interessanti i problemi che riguardano le cifre dei numeri interi: per la maggior parte si tratta di curiosità piú adatte ad una colonna di ricreazioni matematiche che di matematica appassionante. Gli eventi dell’ultimo decennio mi hanno costretto a cambiare decisamente opinione. Già  nel 2016 ^{[9 ]}Alessandro Zaccagnini. 2016. “Un Giorno Alle Corse (Dei Numeri Primi).” Sito Web MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/focus/un-giorno-alle-corse-dei-numeri-primi/ ho descritto un problema con i numeri primi che ha a che fare con le loro cifre decimali. Qui invece parliamo di numeri primi che non hanno una data cifra decimale nella loro espansione, per esempio la cifra \(7\).

Ad un’analisi superficiale questo può sembrare un vincolo relativamente insignificante. Per esempio, fra 0 e 999 ci sono \(729 = 9^3\) interi senza la cifra 7: molti di questi sono numeri primi; dov’è il problema? Fra 0 e 999 999 ci sono \(531\,441 = 9^6\) interi senza la cifra 7. In generale, fra 0 e \(10^n – 1\) (cioè fra i numeri con al massimo \(n\) cifre decimali) ci sono \(9^n\) interi senza la cifra 7. Nell’approfondimento proposto nel box vedremo qualche conseguenza di questo “diradarsi” piuttosto veloce dei numeri senza una data cifra decimale.

Ho citato in varie occasioni, per esempio nel Dialogo sui numeri primi, Quinta Giornata^{[10 ]}Alessandro Zaccagnini. 2021. Dialogo Sui Numeri Primi — Un Dialogo Galileiano. Roma: I librini di MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/zaccagnini-dialogo-ebook/ la rivoluzionaria dimostrazione di Eulero del Teorema di Euclide che esistono infiniti numeri primi. Questa idea non è importante solo dal punto di vista storico, ma anche perché si presta ad essere riutilizzata in altre dimostrazioni; per esempio, Dirichlet ha dimostrato che esistono infiniti numeri primi che terminano con la cifra 1 proprio utilizzando questa idea, e aggiungendone altre che a loro volta si sono rivelate molto feconde. Viceversa, all’inizio del XX secolo il matematico norvegese Viggo Brun con i suoi studi pionieristici sul crivello, di cui Maynard è oggi uno dei maestri riconosciuti, ha dimostrato che ogni tentativo di dimostrazione della congettura dei primi gemelli con una tecnica simile è destinato al fallimento, proprio perché anche i primi gemelli si diradano abbastanza velocemente.

Come spiegato e motivato in due articoli recenti^{[11 ]} Alessandro Zaccagnini. 2022a. “Grafi E Numeri Primi.” Sito Web MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/ricerca/grafi-e-numeri-primi/ e ^{[12 ]}Alessandro Zaccagnini. 2022b. “Un Problema Di Erdős.” Sito Web MaddMaths!, in preparazione, la somma dei reciproci degli elementi di un insieme di numeri positivi dà un’idea approssimativa della sua densità. L’idea di Eulero già menzionata qui sopra consiste proprio nel dimostrare che la somma dei reciproci di tutti i numeri primi è divergente, e quindi i numeri primi non possono terminare. Lo stesso vale per la dimostrazione di Dirichlet.

Ma, come vedremo nel box, la somma dei reciproci di tutti i numeri interi positivi che non contengono la cifra 7 è finita, anche se l’insieme è infinito. Dunque la dimostrazione di Maynard non è una variazione sul tema di Eulero, ma richiede alcune idee nuove e originali. In particolare, Maynard è riuscito ad adattare il procedimento utilizzato da Hardy & Littlewood per ottenere la formula a cui ho alluso sopra. Questo procedimento ha origine in uno dei lavori in collaborazione fra lo stesso Hardy e Ramanujan, che ho succintamente descritto nella mia commemorazione di quest’ultimo a cento anni esatti dalla scomparsa^{[13 ]}Alessandro Zaccagnini. 2020. “Cent’anni Senza Ramanujan.” Sito Web MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/langolo-arguto/senza-ramanujan/. Ebbene, Maynard è riuscito dove nessuno prima di lui, nonostante un secolo di tentativi: far funzionare il procedimento in un caso molto piú difficile di quelli affrontati finora.

I contributi di James Maynard alla Teoria Analitica dei Numeri sono stati tanti e profondi; la Medaglia Fields che gli è stata attribuita è ben meritata. E sono piuttosto sicuro che continueremo a sentir parlare di lui ancora a lungo!

Approfondimento per chi vuole saperne di più

Alessandro Zaccagnini