Recentemente ha destato un certo interesse nella comunità matematica l’annuncio fatto da Dimitris Koukoulopoulos e James Maynard in questo preprint della dimostrazione della congettura di Duffin–Schaeffer. Alessandro Zaccagnini ci spiega per bene di cosa si tratta.

In questo articolo parleremo di numeri irrazionali e dei limiti della loro approssimabilità con numeri razionali. Per definizione, i numeri irrazionali sono quei numeri reali che non si possono ottenere come rapporto (ratio in latino) di due numeri interi opportuni. La scoperta di numeri irrazionali come \(\sqrt{2}\) è tradizionalmente attribuita a Pitagora o comunque alla sua scuola, e la dimostrazione del fatto che \(\sqrt{2} \ne a / q\) per ogni possibile scelta dei numeri interi positivi \(a\) e \(q\) è stata definita una delle perle della matematica greca da G. H. Hardy in ^{[1 ]}G. H. Hardy, Apologia di un matematico, Garzanti, Milano, 1989.; certamente vale la pena di conoscerla.

Poco dopo Pitagora, è stata scoperta anche l’irrazionalità della sezione aurea \(\phi = \bigl(1 + \sqrt{5} \bigr) / 2\), come conseguenza del fatto che le diagonali di un pentagono regolare si tagliano reciprocamente in parti la cui lunghezza è proprio in questo rapporto. È solo molto piú tardi che i matematici si sono resi conto che esistono numeri irrazionali di molti tipi diversi: per esempio, \(\sqrt{2}\) e \(\phi\) sono irrazionali “domestici,” cioè sono radici di polinomi di secondo grado a coefficienti interi, mentre \(\pi\) ed \(e\) sono trascendenti.

Ci sono molti modi di misurare e gestire la complessità dei numeri irrazionali: qui ci occupiamo di come sia possibile approssimare un dato numero irrazionale usando numeri razionali. Si potrebbe un po’ ingenuamente pensare che per ottenere buone approssimazioni di \(\sqrt{2} \approx 1.4142135623730950488\dots\) sia sufficiente troncare oppure arrotondare il numero decimale illimitato a destra trovando la successione di valori \[1, \qquad
\frac{14}{10} = \frac75, \qquad
\frac{141}{100}, \qquad
\frac{14142}{10000} = \frac{7071}{5000}, \qquad \dots\] Naturalmente questo procedimento fornisce davvero una successione di numeri razionali sempre piú vicina a \(\sqrt{2}\), ma privilegia in modo indebito il fatto che scriviamo i numeri in base 10; se usassimo la base 2, o la base 16, la successione cambierebbe. Possiamo anche notare che la frazione \(239 / 169\) è piú vicina a \(\sqrt{2}\) di \(7071 / 5000\) ed ha un denominatore ben piú piccolo.

È necessario trovare un modo per cosí dire intrinseco per ottenere buone approssimazioni: questo è fornito dalla teoria delle frazioni continue; si tratta di una teoria molto elegante, che trova le sue radici addirittura nell’algoritmo di Euclide; nota in un caso particolare ai matematici indiani intorno al 500 come strumento per risolvere alcune equazioni indeterminate, riemersa e di nuovo sparita carsicamente nei secoli XVI e XVII, è stata sviluppata e sistematizzata da Eulero (sempre lui!) nel corso del XVIII secolo.

Per i nostri scopi, è utile ricordare un risultato scoperto da Pierre Lejeune Dirichlet circa un secolo dopo Eulero, ma prima è opportuno scegliere la notazione che useremo d’ora in avanti. Indicheremo con \(\alpha\) un generico numero irrazionale, che è fissato una volta per tutte; \(q \ge 1\) sarà un intero positivo (il denominatore della frazione che approssima \(\alpha\)) ed \(a\) un intero, negativo se \(\alpha < 0\) (il numeratore della frazione approssimante). Possiamo finalmente enunciare il nostro obiettivo: dato \(\alpha\) irrazionale, trovare valori interi di \(q\) ed \(a\) come sopra per cui \(a / q\) sia molto vicino ad \(\alpha\), misurando nel modo piú preciso possibile che cosa significa “vicino.”

Il Teorema di Dirichlet dice questo: qualunque sia il numero irrazionale \(\alpha\), esistono infinite coppie di interi \(a\) e \(q\) primi fra loro, con \(q \ge 1\), tali che \[\Bigl\vert \alpha – \frac aq \Bigr\vert
\le
\frac1{q^2}
\qquad\text{cioè}\qquad
\frac aq – \frac1{q^2}
\le
\alpha
\le
\frac aq + \frac1{q^2}.\] Questo significa che ogni numero irrazionale \(\alpha\) può essere approssimato con una successione di numeri razionali che si trovano “abbastanza vicini” ad \(\alpha\). La funzione a secondo membro nella disuguaglianza a sinistra, \(1 / q^2\), misura la bontà dell’approssimazione; in un certo senso, è l’incertezza con cui conosciamo \(\alpha\), perché è la metà dell’ampiezza dell’intervallo dato nella disuguaglianza a destra. Qui chiediamo che \(a\) e \(q\) siano primi tra loro, e cioè che la frazione \(a / q\) sia ridotta ai minimi termini, perché questo è il caso piú interessante.

Un ultimo punto importante: il Teorema di Dirichlet non dice nulla sulla frequenza dei valori di \(q\) per cui vale la disuguaglianza qui sopra, ma solo che ne esistono infiniti. In effetti, dalla teoria generale sappiamo che la successione dei valori di \(q\) cresce (almeno) esponenzialmente e quindi questi valori si “diradano.”

Pur senza entrare nei dettagli, possiamo dire qualche parola sulla dimostrazione: si usa il principio della piccionaia a partire dall’insieme finito di tutte le frazioni come sopra in cui il denominatore \(q\) non supera un certo intero \(N\). Si guardano le parti frazionarie dei numeri \(q \alpha\), dove \(0 \le q \le N\) è intero, e si osserva che almeno due di queste parti frazionarie devono avere una distanza non superiore alla distanza media. In definitiva, Dirichlet ha dimostrato un risultato leggermente piú forte di quello enunciato qui sopra, ma siccome non avremo bisogno del parametro \(N\) ce ne liberiamo subito.

Ci concentriamo ora su una versione equivalente dello stesso Teorema: moltiplicando la disuguaglianza di Dirichlet per \(q\), vediamo che esistono infinite coppie di interi \(a\) e \(q\) come sopra per cui \[\bigl\vert q \alpha – a \bigr\vert
\le
\frac1q
\qquad\text{cioè}\qquad
a – \frac1q
\le
q \alpha
\le
a + \frac1q.\] In altre parole, considerando la successione \(q \alpha\) dove \(q\) assume consecutivamente tutti i valori interi positivi, sappiamo che “ogni tanto” qualche multiplo di \(\alpha\), cioè \(q \alpha\), cade molto vicino ad un numero intero, cioè \(a\). Pensando alla dimostrazione abbozzata sopra, stiamo dicendo che ogni tanto la parte frazionaria di \(q \alpha\) è molto vicina a 0 o ad 1.

Per esempio, per \(\alpha = \sqrt{2}\), se prendiamo \(a = 99\) e \(q = 70\) troviamo \(\bigl\vert q \alpha – a \bigr\vert \approx 0.005\) mentre \(1 / q \approx 0.014\); per \(\alpha = \phi\) possiamo prendere \(a = 89\) e \(q = 55\), trovando \(\bigl\vert q \alpha – a \bigr\vert \approx 0.008\) mentre \(1 / q \approx 0.018\). Un procedimento pratico per calcolare i valori di \(a\) e \(q\) è quello di scrivere la frazione continua di \(\alpha\), beninteso per quei numeri irrazionali per cui quest’ultima è nota.

Facciamo una sosta per un’osservazione importante: se usiamo i troncamenti o gli arrotondamenti della rappresentazione decimale del numero \(\alpha\) troviamo sostanzialmente \(1 / (2 q)\) nella versione originale del Teorema di Dirichlet, e \(1 / 2\) nella variante, perché ci costringiamo, senza un vero motivo matematico, a prendere \(q\) una potenza di 10. Questo rende immediatamente evidente quanto sia piú forte il Teorema di Dirichlet, proprio perché non imponiamo vincoli artificiali su \(q\).

Nell’intervallo fra 1 e 2 ci sono 99 frazioni con denominatore 100, alcune delle quali non sono ridotte ai minimi termini. Queste frazioni suddividono l’intervallo in 100 intervallini di lunghezza \(1 / 100\). Il numero \(\sqrt{2}\) si trova fra \(141 / 100\) e \(142 / 100 = 71 / 50\): l’incertezza con cui ne conosciamo il valore è misurata dalla lunghezza di quest’intervallino. Se consideriamo invece tutte le frazioni ridotte ai minimi termini con denominatore fino a 100, abbiamo a disposizione oltre 3000 intervallini: in particolare il numero \(\sqrt{2}\) si trova tra \(41 / 29\) e \(99 / 70\), e l’ampiezza di questo intervallino è solo \(1 / 2030\).

Usare soltanto denominatori che sono potenze di 10 non è comunque una buona idea, come possiamo vedere se cerchiamo di approssimare il numero razionale \(1 / 3\). Tenendo conto del fatto che nessuna potenza di 10 è divisibile per 3, non è difficile dimostrare che qualunque siano l’intero \(n \ge 0\) e l’intero \(a\) si ha \[\Bigl\vert 10^n \cdot \frac13 – a \Bigr\vert
\ge
\frac13
\qquad\text{perché}\qquad
\bigl\vert 10^n – 3 a \bigr\vert
\ge
1.\] In particolare, la quantità all’estrema sinistra non diventa arbitrariamente piccola all’aumentare di \(n\), ma resta limitata dal basso. Qui abbiamo scelto di illustrare questo fenomeno usando il numero razionale \(1 / 3\) solo per semplificare qualche dettaglio, ma piú o meno la stessa cosa accade prendendo un numero irrazionale.

Siamo pronti a passare a descrivere l’argomento principale di questo articolo. In generale, vogliamo studiare per quali funzioni positive \(f\) è vero che la disuguaglianza \[\bigl\vert q \alpha – a \bigr\vert
\le
\frac1{f(q)}
\qquad\text{cioè}\qquad
a – \frac1{f(q)} \le q \alpha \le a + \frac1{f(q)}\] ha infinite soluzioni in interi \(a\) e \(q\) come sopra, cioè primi fra loro e con \(q \ge 1\). Vogliamo sapere se e quanto è possibile “perturbare” la disuguaglianza di Dirichlet, nella sua seconda versione. Il Teorema di Dirichlet corrisponde al caso \(f(q) = q\); quindi ci chiediamo se il Teorema resta vero prendendo una funzione \(f\) piú grande di \(q\), e di conseguenza un intervallo di indeterminazione per \(q \alpha\) piú piccolo.

Qui entriamo immediatamente in un vicolo cieco, se insistiamo a richiedere che la disuguaglianza voluta abbia infinite soluzioni per tutti i numeri irrazionali \(\alpha\). Infatti, ci sono eccezioni già scegliendo \(f(q) = 3 q\); il primo esempio è la sezione aurea \(\phi\), perché ha una frazione continua molto semplice, in particolare periodica, come d’altra parte \(\sqrt{2}\) o piú in generale i numeri irrazionali che sono radici di polinomi di secondo grado a coefficienti interi (Teorema di Lagrange).

È molto istruttivo capire perché succede questo fenomeno. Dalla teoria generale delle frazioni continue sappiamo che le “migliori” approssimazioni possibili per \(\phi\) sono date dal rapporto di numeri di Fibonacci consecutivi, come si vede nell’esempio numerico qui sopra in un caso particolare. Se \(f_n\) indica l’\(n\)-esimo numero di Fibonacci, la formula di Binet dice che \(f_n = \bigl( \phi^n – (-1 / \phi)^n \bigr) / \sqrt{5}\). Se \(q = f_n\) ed \(a = f_{n + 1}\) sono numeri di Fibonacci consecutivi, a partire dalla formula di Binet e con qualche calcolo si dimostra che \[\bigl\vert q \phi – a \bigr\vert
\approx
\frac1{q \sqrt{5}}.\] Dunque la funzione \(f(q) = q \sqrt{5}\) è in un certo senso “ottimale” se ci interessano risultati validi per tutti i numeri irrazionali.

La stessa cosa succede se al posto di \(\phi\) prendiamo \(\phi + 1\), \(\phi + 2\), …, o, meno banalmente, \(1 / \phi\), …Gli irrazionali si suddividono in famiglie, guardando alla “coda” della frazione continua, un po’ come i razionali si possono suddividere in base al periodo della loro rappresentazione decimale, e questo fornisce una misura della loro complessità, essendo legato al denominatore. Il fatto che \(\phi\) sia “eccezionale” implica che siano eccezionali a loro volta anche tutti gli infiniti numeri irrazionali che appartengono alla sua famiglia.

Se al posto di \(\sqrt{5}\) mettiamo \(2 \sqrt{2}\), anche \(\alpha = \sqrt{2}\) diventa eccezionale dal nostro punto di vista, insieme a tutti i numeri come \(\sqrt{2} + 1\), …, analogamente a quello che accade per \(\phi\), e sempre per lo stesso motivo legato alla frazione continua. Se al posto di \(\sqrt{5}\) mettiamo una costante grande, altre famiglie infinite di numeri irrazionali diventano eccezionali.

Dobbiamo dunque rinunciare alla ricerca di una versione piú forte del Teorema di Dirichlet? Non necessariamente: sappiamo che se prendiamo \(f(q)\) piú grande di \(q\) possono comparire delle famiglie infinite di eccezioni, ma c’è un modo preciso per dire che le eccezioni sono relativamente poche. Lo strumento perfetto per questo problema è la cosiddetta misura di Lebesgue, introdotta dal francese Henri Lebesgue all’inizio del XX secolo, per superare alcuni problemi intrinseci alla teoria dell’integrazione secondo Riemann. Senza entrare nei dettagli, i sottoinsiemi della retta reale che hanno misura di Lebesgue uguale a \(0\) sono trascurabili dal punto di vista dell’integrazione, pur essendo, magari, di cardinalità infinita come quelli di cui stiamo parlando. Tornando al nostro esempio, se prendiamo \(f(q) = C q\) dove \(C > 0\) è una qualsiasi costante, l’insieme delle eccezioni ha misura di Lebesgue \(0\), pur essendo infinito se \(C > \sqrt{5}\).

Possiamo prendere \(f(q)\) ancora piú grande? Per esempio, \(f(q) = q^2\) va ancora bene? La risposta questa volta è no. Se scegliamo \(f\) “troppo grande,” sono eccezionali i numeri reali che hanno la proprietà di Dirichlet, perché ora stiamo chiedendo che questi numeri abbiano, infinite volte, un’approssimazione estremamente precisa. Questo può succedere “solo” a numeri trascendenti come quelli scoperti da Liouville alla fine del XIX secolo, che sono piuttosto rari. Nel caso speciale in cui \(f(q) = q^a\), dove \(a > 0\) è una costante, abbiamo questa analogia: \[\begin{aligned}
\sum_{q \ge 1} \frac1{f(q)}
\quad\text{diverge}
&\quad\Longleftrightarrow\quad
a \le 1 \\
\text{L’insieme delle eccezioni ha misura $0$}
&\quad\Longleftrightarrow\quad
a \le 1.\end{aligned}\] Notiamo che questa è, in un certo senso, una proprietà media della funzione \(f\) e che è stabile per piccole perturbazioni di \(f\), come la moltiplicazione per una costante. La Congettura di Duffin-Schaeffer è una versione piú precisa e generale di questo ultimo fatto: enunciata circa 80 anni fa, la congettura è stata dimostrata nel 2019.

Per poter finalmente enunciare il risultato di Dimitris Koukoulopoulos e di James Maynard, apparso recentemente in ^{[2 ]} D. Koukoulopoulos & J. Maynard, On the Duffin-Schaeffer conjecture, Arxiv preprint 1907.04593. https://arxiv.org/abs/1907.04593, 2019., dobbiamo introdurre la funzione di Eulero \(\varphi(n)\), che conta quante frazioni fra \[\frac1n \qquad \frac2n \qquad \frac3n \qquad \dots \qquad
\frac{n-1}n \qquad \frac nn\] sono ridotte ai minimi termini. Per esempio, \(\varphi(10) = 4\) perché fra le frazioni \(1 / 10\), \(2 / 20\), …, \(10 / 10\), sono ridotte ai minimi termini quelle con numeratore \(1\), \(3\), \(7\), \(9\). La funzione \(\varphi(n)\) è stata molto studiata e se ne conoscono molto bene le proprietà. In questo contesto è opportuno notare che \(\varphi(n) \le n – 1\) per ogni \(n \ge 2\), e che il suo valore esatto dipende dalla scomposizione in fattori primi di \(n\). Non è rilevante per il problema di cui stiamo parlando, ma vale la pena di osservare che è molto difficile calcolare il valore di \(\varphi(n)\) senza conoscere questa scomposizione in fattori. In effetti, la sicurezza del noto crittosistema RSA dipende proprio da questo.

Torniamo alla Congettura di Duffin-Schaeffer, enunciando il Teorema dimostrato da Koukoulopoulos e Maynard. Sia \(f\) una funzione definita sui numeri interi positivi, a valori reali positivi, tale che \[\sum_{q = 1}^{+\infty}
\frac{\varphi(q)}{q f(q)}
=
\infty.\] Sia \(\mathcal{E}\) l’insieme dei numeri irrazionali \(\alpha\) per cui la disuguaglianza \[\bigl\vert q \alpha – a \bigr\vert
\le
\frac1{f(q)}\] ha un numero finito di soluzioni intere \(a\), \(q\) con \(a\) e \(q\) primi fra loro e \(q \ge 1\). Allora l’insieme \(\mathcal{E}\) ha misura di Lebesgue 0.

Qualche commento conclusivo: come abbiamo notato sopra, quello che conta è una proprietà media di \(f\). Il risultato finale non cambia se modifichiamo un numero finito di valori di \(f\). Aggiungiamo che \(\varphi(n)\) “di solito” ha lo stesso ordine di grandezza di \(n\), e che gli interi \(n\) per cui il rapporto \(\varphi(n) / n\) è molto piccolo sono piuttosto rari. Nel caso particolare \(f(q) = q^a\) che abbiamo discusso sopra non c’è una grande novità, ma uno degli aspetti piú interessanti di questo nuovo teorema è che non è necessario fare ipotesi su \(f\), per esempio qualche forma di monotonia come nei risultati parziali ottenuti nel corso degli ultimi otto decenni.

Per approfondimenti sugli argomenti trattati rimandiamo al libro di Conway & Guy ^{[3 ]}J. H. Conway & R. K. Guy, Il libro dei numeri, Hoepli, Milano, 1999., in particolare nel capitolo 7. Le frazioni continue e la loro applicazione a problemi di approssimazione sono descritte in grande dettaglio nei capitoli 10 e 11 del libro di Hardy & Wright ^{[4 ]}G. H. Hardy & E. M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, sesta ed., Oxford University Press, Oxford, 2008..

Alessandro Zaccagnini