Una mini-serie a cura di Marco Trombetti, in cui si esploreranno la tumultuosa storia e le incredibili vette raggiunte dalla matematica delle simmetrie: la teoria dei gruppi. In questo sesto episodio scopriamo che, sebbene giovane come materia, anche risolvere problemi di teoria dei gruppi può portare a vincere una medaglia Fields.

 

No, purtroppo questo episodio non vi proporrà magici trucchi da guru o scorciatoie per vincere una Medaglia Fields in maniera “semplice”. Però, già che ho avuto la vostra attenzione con un piccolissimo clickbait, concedetemi qualche ulteriore minuto, vi prometto che sarà (abbastanza) indolore. Vorrei raccontarvi di alcuni affascinanti risultati dovuti a due vincitori della Medaglia Fields nell’ambito della teoria dei gruppi.

 

Cos’è la Medaglia Fields?

È spesso considerata il più alto riconoscimento attribuibile ad un matematico al di sotto dei 40 anni d’età, ed è attribuita in occasione del Congresso Internazionale dei Matematici che si tiene ogni 4 anni. Assieme al premio Abel (che non ha limiti d’età) è riconosciuta (forse un po’ impropriamente) come il premio Nobel per la matematica.

Ideatore di tale premio fu il matematico canadese John Charles Fields (1863 – 1932), che però morì prima di vedere la prima medaglia consegnata ad Oslo in occasione del Congresso Internazionale dei Matematici del 1936.  Sempre contrario al chiamare tali onorificenze con il suo nome, Fields volle così tanto il premio che pochi giorni prima della sua morte lasciò 47 mila dollari canadesi da aggiungersi ai fondi delle medaglie. Ad oggi, un premio in denaro di 15 mila dollari canadesi accompagna la medaglia d’oro.

Un paio di curiosità. Il limite di età di 40 anni non è esplicitamente dovuto a Fields, e la medaglia raffigura il volto di Archimede con una sua citazione che tradotta recita: ‘‘Trascendere i propri limiti e dominare l’universo’’. Sul retro troviamo la scritta (tradotta): ‘‘I matematici qui riuniti da ogni parte del mondo rendono omaggio all’eccellente lavoro’’. Il Congresso Internazionale dei Matematici è invece ad oggi riconosciuto come il più importante evento di matematica a livello globale, ed è difatti considerato un grandissimo onore (quasi pari a vincere la medaglia Fields) essere invitati a presentare le proprie ricerche nell’ambito di tali congressi. L’idea del congresso si deve a due grandissimi matematici, Felix Klein (padre del programma di Erlangen che si proponeva di classificare le geometrie usando la teoria dei gruppi) e Georg Cantor (colui che ha spalancato le porte del paradiso attraverso l’infinito).

La storia dei congressi ha visto vari annunci epocali. Ad esempio, nel congresso del 1900 Hilbert annunciò la sua famosa lista di 23 problemi. Nel congresso successivo Kőnig dichiarò di essere riuscito a dimostrare la falsità dell’ipotesi del continuo (per quanto tale annuncio si rivelò poi falso). Mentre nel congresso del 1912, Landau propose i suoi famosi quattro problemi.

Vediamo ora quali gruppisti hanno vinto la medaglia Fields e perché.

Scorrendo la lista dei vincitori e dei motivi per cui la medaglia fu loro assegnata, troviamo subito la parola ‘‘gruppo’’ in relazione alla vittoria di Jean-Pierre Serre nel 1954. A Serre fu attribuita la medaglia per gli importanti risultati raggiunti nell’ambito dei gruppi di omotopia delle sfere, cioè di quei gruppi che in qualche senso misurano la quantità di buchi $n$-dimensionali presenti. Sebbene Serre sia stato anche vincitore del premio Abel nel 2003 e del premio Wolf nel 2000 (un altro importantissimo riconoscimento), le sue tecniche sono però da considerarsi più affini alla geometria algebrica.

Continuiamo a scorrere. Il prossimo nome che balza all’occhio è quello di John Milnor nel 1962, i cui studi hanno condotto alla creazione della topologia differenziale. Ma perché ad un gruppista balza all’occhio questo nome? Perché il suo nome è associato al lemma di Švarc–Milnor definito come l’osservazione fondamentale in teoria dei gruppi geometrici.

Un altro nome che salta poi all’occhio è quello di Sergej Novikov nel 1970. Il motivo per cui tale nome risalta è che il padre di Novikov, Pëtr Sergeevič Novikov, fu un grande matematico, noto per aver dimostrato l’irrisolvibilità del problema della parola (un problema di tipo computazionale) in teoria dei gruppi. Lo stesso anno però la medaglia fu data anche a John G. Thompson (anche lui vincitore del premio Abel e del premio Wolf), e questa volta per meriti riguardanti la teoria dei gruppo.

 

Chi è John Thompson?

John Thompson nasce il 13 ottobre del 1932 ad Ottawa, Kansas (US). Si dottora presso l’Università di Chicago nel 1959 sotto la supervisione di Saunders Mac Lane (co-fondatore della teoria delle categorie). Nella sua tesi di dottorato Thompson risolse un importante teorema di teoria dei gruppi: la nilpotenza dei kernel di Frobenius. Pensate che tale risultato finì con l’essere persino riconosciuto dal New York Times.

Nel 1963, insieme a Walter Feit, Thompson dimostra che i gruppi finiti di ordine dispari sono risolubili (ricordate il primo episodio e l’idea di Galois?), cioè possono decomporsi in blocchi di ordine primo, in un articolo di sole 250 pagine… Questo fu uno dei risultati che iniziò a far credere ai matematici che classificare i gruppi semplici finiti fosse possibile (e vedremo nell’episodio 8 che è stato effettivamente possibile). Ma ciò che gli permise di vincere la Fields fu un articolo successivo collegato a questo problema in cui Thompson determina la struttura di tutti i gruppi semplici minimali, cioè di quei gruppi semplici in cui tutti i sottogruppi propri sono risolubili (il gruppo alterno su cinque oggetti è un esempio). Vorrei anche ricordare che uno dei 26 gruppi sporadici fu trovato da lui ed è perciò chiamato gruppo di Thompson.

Thompson diede apporti decisivi a molti altri campi della teoria dei gruppi. Diede ad esempio un criterio per determinare quali gruppi finiti potessero essere assimilabili ai gruppi considerati da Galois, e tale criterio mostra che certi gruppi mostruosi sono effettivamente di questo tipo.

Il nome successivo su cui voglio soffermarmi è quello di Enrico Bombieri, vincitore della Fields nel 1974 per l’analisi matematica (e primo italiano a vincerla in assoluto!).

 

Perché Bombieri?

Per un semplice motivo, perché Enrico Bombieri poteva essere considerato anche un gruppista. Infatti, nel 1980, Bombieri diede un grande contributo alla classificazione dei gruppi semplici finiti dimostrando l’unicità dei gruppi di Ree in caratteristica 3. Non a caso Bombieri è incluso nel Group Theory Genealogy Project. Ma del resto Bombieri è uomo dai mille interessi matematici e non.

 

Il prossimo su cui voglio soffermarmi è Efim Zelmanov, vincitore della medaglia Fields nel 1994.

 

Chi è Efim Zelmanov?

Efim Zelmanov nasce il 7 settembre del 1955 a Chabarovsk (Unione Sovietica). Si è dottorato all’Università di Novosibirsk nel 1980 con una tesi sulle algebre non-associative che ha completamente rivoluzionato il campo delle algebre di Jordan. Per tale motivo, Zelmanov fu invitato a tenere un conferenza al Congresso Internazionale dei Matematici del 1983. Questi risultati insieme ad altri posteriori sulle algebre di Lie sarebbero bastati a garantire a Zelmanov un posto tra i più grandi matematici del ventesimo secolo, ma fece di più. Diede infatti una risposta positiva al cosiddetto problema ristretto di Burnside.

Cerchiamo di capire che problema ha risolto Zelmanov, e per fare ciò cominciamo a parlare di William Burnside.

William Burnside nasce a Londra il 2 luglio del 1852. I suoi primi contributi matematici riguardarono le applicazioni, ma ben presto si diressero verso la teoria dei gruppi. In particolare, Burnside dimostrò che se l’ordine di un gruppo finito è diviso al massimo da due primi distinti, allora tale gruppo è risolubile. In qualche senso questo è considerabile un antecedente del lavoro di Thompson di cui sopra.

Nel 1902, Burnside pone il seguente problema: un gruppo finitamente generato e periodico deve necessariamente essere finito? Un problema decisamente naturale. In questo contesto, periodico vuol dire che ogni elemento del gruppo diventa l’identità se moltiplicato un certo numero finito di volte per sé stesso (pensate ad esempio alle rotazioni del triangolo equilatero). Mentre finitamente generato  è più complicato da spiegare ma essenzialmente vuol dire che esistono un numero finito di elementi i cui prodotti danno luogo a tutti gli elementi del gruppo. Tali condizioni sono sicuramente verificate per i gruppi finiti, ma Burnside si chiese se viceversa non bastassero ad implicare la finitezza in un gruppo arbitrario.

Golod e Shafarevich diedero però risposta negativa a tale problema nel 1964, e successivamente nel 1968, Novikov e Adian riuscirono a costruire un esempio ancor più patologico!

Rimaneva ancora una problema aperto, formulato negli anni 30, il cosiddetto Problema Ristretto di Burnside. Tale problema chiede la cosa seguente. È vero che ci sono solo un numero finito di gruppi (astratti) con $n$ generatori e tale che la potenza $m$-esima di tutti gli elementi sia l’identità? Una risposta a questo problema avrebbe un sacco di ripercussioni nella costruzione di gruppi infiniti. Così nel 1994, Zelmanov vince la Fields per aver risolto tale problema.

 

Conclusioni

Con questo finisce l’elenco dei quasi-gruppisti che hanno vinto una medaglia Fields. L’elenco non è lungo, ma come ho già osservato, la teoria dei gruppi è una materia relativamente giovane rispetto al resto della matematica, ed i contributi che vi sono stati dati sono (a parere di chi scrive) tra i più poetici.

Quindi vedete? Il segreto per vincere una medaglia Fields è dimostrare una congettura tra le più elusive! Tale frase fu effettivamente pronunciata da Zelmanov in occasione di una conferenza di teoria dei gruppi a cui partecipai. Cosa aspetti quindi a iniziare a studiare teoria dei gruppi, non vuoi essere tu il prossimo?

Il prossimo episodio sarà particolare, non perdetevelo.