Una mini-serie a cura di Marco Trombetti, in cui si esploreranno la tumultuosa storia e le incredibili vette raggiunte dalla matematica delle simmetrie: la teoria dei gruppi. In questo terzo episodio vedremo come la teoria dei gruppi sia tutta intorno a noi, e come questa possa aiutarci nella risoluzione di alcuni problemi di natura fisica e ludica.

 

I più ‘‘non-giovani’’ dei lettori avranno sicuramente già associato il titolo di questo episodio al film del 1988 di John Carpenter, ‘‘They Live’’ (Essi vivono), tratto dal racconto di Ray Nelson ‘‘Eight O’Clock in the Morning’’ (Alle otto del mattino) del 1963. La trama è facile: un vagabondo senza scopo nella vita trova un paio di occhiali da sole capaci di mostrare il mondo per quello che è in realtà. Scopre così che gran parte dei media e della stampa inseriscono messaggi subliminali nei loro articoli per tenere la popolazione soggiogata e che la maggior parte delle elite sociali sono alieni con faccia a teschio che desiderano dominare il mondo.

Sebbene tutta la parte su i messaggi subliminali e sugli alieni con la faccia a teschio che desiderano conquistare il mondo sia indubbiamente affascinante e abbia ‘‘stretti’’ legami con la matematica tutta, ciò che ci interessa qui è il concetto che possano esistere strumenti (ad esempio, occhiali da sole) che indossati permettano di vedere al di là delle cose, che consentano di vedere la realtà per quel che è. Nel caso nostro, questi occhiali sono i gruppi.

 

Il teorema di Noether

Il succitato teorema ad opera di Emmy Noether è forse il miglior modo di esplicitare come lo studio delle simmetrie (e di conseguenza della teoria dei gruppi) entri in gioco nel mondo reale. In poche parole il risultato in questione afferma che ad ogni simmetria delle leggi fisiche del nostro mondo è associata una legge di conservazione.

Ad esempio, è abbastanza evidente che le leggi fisiche del mondo siano invarianti rispetto a traslazioni spaziali, cioè, se qualcosa succede in un certo modo da una parte, deve succedere nello stesso modo anche in ogni altra parte dello spazio. Dunque questa è considerabile una simmetria, e a tale simmetria Emmy Noether mostra che è associata la conservazione della quantità di moto. Ancora. Le leggi fisiche sembrano anche essere invariabili nel tempo, e a ciò viene associata la conservazione dell’energia. Per finire, la simmetria rispetto alle rotazioni è associabile alla conservazione (l’avrete sicuro indovinato) del momento angolare.

Quello che Noether ci sta dicendo è: ‘‘Volete conoscere quali sono le leggi di conservazione dell’universo? Trovate allora le simmetrie dell’universo’’. Non a caso Emmy Noether fu descritta da Pavel Alexandrov, Albert Einstein, Jean Dieudonné, Hermann Weyl e Norbert Wiener come la più importante donna nella storia della matematica. Inoltre Noether stessa diede fondamentali contributi alla teoria dei gruppi (a prescindere dall’ambito fisico). Va anche ricordato che tra i suoi allievi ci fu Hans Fitting, autore fra le altre cose di un importantissimo teorema di teoria dei gruppi (astratta) che porta il suo nome.

 

Il modello standard

Un altro esempio (decisamente più difficile da spiegare in poche parole) riguarda la struttura del modello standard della fisica delle particelle. Questo modello fisico descrive le seguenti interazioni fondamentali: l’interazione elettromagnetica, l’interazione debole e l’interazione forte (ma non quella gravitazionale), e classifica tutte le particelle elementari conosciute.

Ora, potrà risultare sorprendente, ma il modo migliore trovato per descrivere queste interazioni fondamentali passa attraverso i gruppi! In particolare, queste vengono rappresentante mediante il gruppo $SU(2)\times U(1)\times SU(3)$ (essenzialmente un gruppo di matrici). Al ‘‘sottogruppo’’ SU(3) (vedremo in seguito cos’è un sottogruppo, ma per il momento pensatelo come una sezione del gruppo) corrispondono otto gluoni soggetti alla forza forte, e ciò può essere messo in relazione col fatto che $SU(3)$ è un gruppo cosiddetto non-abeliano (ciò vuol dire che esistono coppie di elementi $x$ e $y$ tali che $xy\neq yx$). Dunque, proprietà astratte dei gruppi possono avere (e hanno) ripercussioni fisiche decisamente concrete.

 

Il gioco del 15

Passiamo ora a qualche applicazione un po’ più ludica. Il gioco del quindici è un classico rompicapo creato nel 1874 dal postino americano Palmer Chapman. Il gioco consiste di una tabellina di forma quadrata divisa in quattro righe e quattro colonne su cui sono posizionate quindici tessere quadrate, numerate progressivamente a partire da 1.

Le tessere possono scorrere in orizzontale o verticale, ma il loro spostamento è limitato dall’esistenza di un singolo spazio vuoto. Lo scopo del gioco è riordinare le tessere dopo averle mescolate in maniera random. Ovviamente se parto dalla configurazione iniziale e per mescolare le tessere semplicemente le sposto a più non posso, sicuramente otterrò una configurazione ‘‘risolvibile’’, cioè il gioco può essere risolto in questa configurazione che si è venuta a creare. Difatti, basta eseguire le azione che ho fatto per mescolare al contrario. Che succede però se io stacco le tessere dalla scatolina di legno e le riattacco in maniera completamente casuale? Beh, succede che alcune configurazioni saranno impossibili da risolvere.

Ad esempio, quale tra le due possibili configurazioni è risolvibile e quale no?

Ad occhio non sembra troppo facile la risposta. E addirittura c’è chi (Sam Lyod) ha offerto in passato una ricompensa di 1000 dollari (corrispondenti a 30 mila dollari oggi, tenuto conto dell’inflazione) per chi fosse riuscito a risolvere una configurazione simile a quella di destra.

Vediamo allora come la teoria dei gruppi possa venirci incontro in questo contesto.

 

I gruppi simmetrici

Per poter rispondere alla precedente domanda, dobbiamo introdurre il concetto di gruppo simmetrico e di gruppo alterno. Cominciamo con un esempio. Prendiamo l’insieme $\{1,2,3\}$ costituito da i primi $3$ numeri naturali, e andiamo a considerare l’insieme delle permutazioni di questi tre oggetti, cioè l’insieme di tutte le applicazioni biettive dell’insieme in sé stesso.

Ad esempio, ci sarà la permutazione $(1,2)$ che scambia $1$ e $2$ ma fissa $3$, o anche la permutazione $(1,2,3)$ che sposta $1$ in $2$, $2$ in $3$ e per finire $3$ in $1$. In totale, se uno va a fare di conto, trova che ci sono $6$ possibilità, tra cui la possibilità banale (cioè non muovere i numeri). È molto facile verificare che se pensiamo alla composizione (cioè all’eseguire in successione le operazioni), allora l’insieme di tali permutazioni forma un gruppo, chiamato usualmente il gruppo simmetrico su tre oggetti, e denotato con il simbolo $S_3$. Più in generale, se $n$ è un qualsiasi numero, possiamo andare a considerare il gruppo simmetrico $S_n$ delle permutazioni dei primi $n$ numeri naturali.

Le permutazioni però possono essere di due tipi, pari e dispari. Una permutazione pari è una permutazione che si può costruire mediante un numero pari di scambi di due numeri, mentre una dispari non può costruirsi in questo modo. Così, ad esempio, in $S_3$, la permutazione $(1,2,3)$ che abbiamo scritto sopra è pari perché è uguale ad eseguire prime lo scambio di $1$ e $2$ e poi lo scambio di $1$ e $3$. D’altro canto, un singolo scambio è ovviamente una permutazione dispari. È facile accorgersi che l’esecuzione in successione di due permutazioni pari restituisce una permutazione pari, sicché l’insieme delle permutazioni pari forma un gruppo a sua volta, detto il gruppo alterno di grado $n$ e denotato con il simbolo $A_n$.

Questi gruppi sono già stati citati nel primo episodio in connessione con l’idea di Galois su come risolvere il problema della risolubilità per radicali delle equazioni. Un piccolo esercizio per il lettore potrebbe essere dimostrare che il gruppo simmetrico ha $n!$ elementi, mentre l’alterno ne ha sempre $n!/2$.

Torniamo al gioco del 15

Estrarre e riattaccare le tessere equivale praticamente a fare una permutazione delle quindici (o sedici?) tessere, e quindi di conseguenza a scegliere un elemento del gruppo simmetrico su 15 (o 16?) oggetti. Come capire se questo elemento dunque determini una configurazione risolvibile o no? Facile (si fa per dire…), basta controllare se quella permutazione sia pari o dispari. Se pari, la configurazione è risolvibile, altrimenti non lo è. Quindi ad esempio, la configurazione a sinistra in cui scambiamo sia $1$ e $2$ che $3$ e $4$ è risolvibile, quella a destra no. Un gioco da ragazzi.

Cosa vuol dire però questo? Vuol dire che il premio messo in palio da Lyod era impossibile da vincere!

Inoltre, quello che si scopre come questo approccio più generale è che il numero 15 non è per nulla speciale in questo contesto. Infatti è possibile sostituire tale numero con qualunque altro ed ottenere delle versioni ad hoc dello stesso gioco.

Proverò ora a descrivere l’idea dimostrativa del fatto che la configurazione di destra sia impossibile. Per farlo ci ‘‘basterà’’ osservare che ogni sequenza di mosse che fissi lo spazio vuoto in posizione sedici deve corrispondere ad una permutazione pari. Cominciamo però con una mossa. Che succede? Ad esempio, posso scambiare 15 e la casella vuota, o 12 e la casella vuota. In entrambi i casi, quello che ho fatto è stato uno scambio, quindi una permutazione dispari. Dunque mossa equivale ad uno scambio.

Quello che c’è da dimostrare allora è che ogni sequenza di mosse che fissi lo spazio vuoto deve essere formata da un numero pari di mosse ‘‘elementari’’. Ora, ogni mossa sposta necessariamente lo spazio vuoto. Supponiamo allora dopo tot mosse lo spazio vuoto si sia spostato di tre caselle a sinistra e di una in alto. Beh, per poter riportare lo spazio vuoto alla sua posizione d’origine, dobbiamo per forza fare almeno 4 mosse: 3 che lo spostino a destra e una in basso. E’ facile convincersi che sia sempre così. Cosicché il numero di mosse da fare (che fissino lo spazio vuoto alla posizione 16) è sempre pari ed abbiamo ‘‘provato’’ l’asserto.

 

La chimica, la matematica dell’orologio e la crittografia

Un’altra applicazione della teoria dei gruppi riguarda la chimica ed in particolare la simmetria delle molecole. Conoscere le simmetrie di una molecola può aiutare ad identificare eventuali molecole target, permettendo di distinguere tra le varie molecole. Vediamo un paio di esempi di tali gruppi. Il gruppo delle simmetrie del tetrafenilmetano è il gruppo simmetrico su quattro oggetti (già visto al riguardo del gioco del 15), mentre ad esempio quello corrispondente all’idrazina è un gruppo ciclico di ordine 2.

Approfittiamo dunque di questa occasione per parlare dei gruppi ciclici. I gruppi ciclici sono gruppi che possono essere costruiti a partire da un singolo elemento. Pensiamo a $(\mathbb Z,+)$. Come già osservato questo è un gruppo, e da cosa può essere generato? Beh, senza troppe sorprese, il numero $1$ genera (per somma) tutti gli altri numeri. Così, $1+1=2,\,1+1+1=3,\, -1-1=-2,\,\ldots$ e così via. Questo è un tipico (si potrebbe dire anche l’unico) esempio di gruppo ciclico infinito. Esistono gruppi ciclici finiti? Sì, e la matematica dell’orologio ce ne fornisce un esempio.

Pensiamo ad esempio a cosa succede quando vogliamo andare a sommare delle ore.  Se alle ore $18$ vogliamo andare a sommare $5$ ore, il risultato sono le ore $23$, mentre se andiamo a sommarci $7$ ore, allora il risultato sarà l’una di notte. Questo perché le ore vanno considerate modulo $24$, cioè ogni $24$ ore azzeriamo e ricominciamo. Quindi non parliamo delle ore $25$ ma invece parliamo dell’una (di notte). In questo senso ogni numero rappresenta più numeri allo stesso tempo. Il numero $1$ rappresenta così il $25$, ma anche il $25+24=49$, e il numero $1-24=-23$ (sì, possiamo considerare anche i numeri negativi!). Un ulteriore esempio è il numero $24$ che nell’aritmetica dell’orologio vale anche $0$ e $-24$.

Come tutti ben sanno ci sono due modi però di contare le ore sugli orologi, tenendo conto che ci siano $24$ ore in un giorno, o dividendo la giornata in due tranche da $12$ ore l’una. Nel secondo caso, parliamo di aritmetica modulo $12$, così i vari numeri sono identificati a $12$ a $12$, e quindi $1$ rappresenta $13$, ma anche $25$ e $-11$. Una cosa fondamentale che si può dimostrare a tal riguardo è che quando voglio andare ad eseguire delle operazioni su questi numeri (o per meglio dire insiemi di numeri) non ha importanza il rappresentante che scelgo, il risultato sarà sempre coerente. Se ad esempio sommo il numero 120 (modulo 12) e il numero 3 (modulo 12), il risultato sarà lo stesso che andare a sommare il numero 0 (modulo 12) e il numero 3. (modulo 12).

Prendendo spunto da questi due esempi, si può allora definire un concetto di aritmetica modulare per numeri $n$ anche diversi da $12$ e $24$. Semplicemente ogni volta, un numero rappresenta una infinità di numeri. Sono i numeri presi a $n$ a $n$, o più semplicemente i numeri la cui divisione euclidea restituisce lo stesso resto. Ovviamente, se il modulo scelto è maggiore di $0$, allora tutti i numeri interi saranno ripartizionati in un numero finito di insiemi di numeri, e quindi se vado a considerare il corrispondente insieme munito della somma (che è ben definita come osservato sopra), allora questo formerà un gruppo finito, e precisamente un gruppo ciclico $C_n$ finito di ordine $n$ (chi è un generatore?). Piccolo esercizietto: che succede se scelgo $n=0$ o $n<0$?

L’aritmetica modulare è tra i concetti più importanti dell’algebra e ha applicazioni in molti campi: oltre la chimica, spicca la crittografia, basti pensare che uno degli algoritmi più importanti di crittografia (l’RSA) si basa su questa tipologia di aritmetica.

Criteri di divisibilità

Una facile applicazione dell’aritmetica modulare riguarda i criteri di divisibilità. Proviamo ad esempio a dimostrare i famosi criteri di divisibilità per $2$ e per $3$. Prendiamo un numero intero $x$. Cosa vuol dire che $x=0$ modulo $2$? Un attimo di riflessione permette di capire che vuol solo e semplicemente dire che $2$ divide $x$, perché i numeri che stanno nello stesso insieme dello $0$ sono $\ldots ,-4,-2,0,2,4,\ldots$, in sostanza tutti i numeri pari. In maniera simile, $x=0$ modulo $3$ vuol dire che $x$ è divisibile per $3$.

A questo punto per capirci meglio, consideriamo un esempio concreto, diciamo $x=1989$, un anno importante per vari motivi. Scriviamo dunque $1989=(1\cdot 1000)+(9\cdot 100)+(8\cdot 10)+9$ e andiamo a rimpiazzare un po’ di numeri a destra con alcuni più facili modulo $2$ e modulo $3$. Sicuramente tutte le potenze di dieci che sono diverse da uno risultano essere uguali a $0$ modulo $2$, perché sono pari. Quindi nell’espressione a destra possiamo rimpiazzarle con degli zeri. Allora ciò che rimane è solamente il numero $9$, e quindi per verificare se il numero $1989$ sia o no uguale a $0$ modulo $2$ bisogna semplicemente andare a capire se $9$ (che è uguale a $1989$ modulo $2$) sia pari o dispari. Questo è precisamente il criterio di divisibilità per $2$.

Per quanto riguarda il criterio di divisibilità per $3$, la cosa non è tanto più difficile. Infatti, questa volta le potenze di $10$ diventano sempre uguali a $1$ modulo $3$, sicché il numero $1989$ è uguale alla somma delle sue cifre modulo $3$. Similmente si fa per tutti gli altri criteri di divisibilità.

 

 

Il cubo di Rubik

Per il cubo inventato dal professor Ernő Rubik sussiste qualcosa di molto simile a quello che abbiamo detto al riguardo del gioco del quindici. Se immaginiamo di smontarlo e rimontarlo in modo casuale, non tutte le configurazioni risultanti saranno ammissibili. Per esempio, se facciamo un semplice twist di un solo spigolo del cubo (a partire dalla configurazione iniziale ‘‘risolta’’), otterremo una configurazione che non potremo mai riuscire a risolvere.

Come dimostrarlo? Beh, la cosa non è difficile, ma è lunga e tecnica, per cui non ci metteremo mano qui. L’idea dimostrativa però è quella del gioco del quindici. Infatti, in quel caso le mosse legali non cambiavano la parità della configurazione (intesa come elemento del gruppo simmetrico), e così in questo caso, le mosse legali del cubo di Rubik (cioè tutti gli elementi del gruppo simmetrico che sono ammissibili in questo senso) si dimostrano essere relazionate da un certo invariante. Poiché un singolo twist di uno spigolo del cubo delinea una permutazione che non ha lo stesso invariante, allora questa configurazione non permette di risolvere il cubo.

Voglio far giusto osservare che l’ordine del gruppo del cubo di Rubik è $43.252.003.274.489.856.000$, quindi un numero abbastanza grande che non permette di potersi materialmente mettere a controllare che la configurazione sia impossibile, e che la sua struttura può essere rappresentata come segue: $[C_3^7\times C_2^{11}]\big([A_8\times A_{12}]C_2\big)$. Non ci addentreremo nel significato di questa espressione mistica, ma il lettore attento avrà certamente riconosciuto dei ‘‘pezzi’’ che sono gruppi alterni di grado $8$ e $12$ rispettivamente, e dei gruppi ciclici di ordine 3 e di ordine 2.

 

Conclusioni

L’episodio di oggi ci ha mostrato che c’è più teoria dei gruppi di quella che probabilmente ci aspettavamo attorno a noi. Ovviamente non è sempre semplice capire come sfruttarla al meglio, però c’è, è lì, e per i pochi fortunati che sono in grado di vederla, può essere uno strumento infallibile. Nei prossimi due episodi entreremo un po’ più nel vivo della teoria dei gruppi con l’ausilio di una figura che in teoria dei gruppi non ha mai avuto riconosciuti i meriti che gli spettavano. Se volete scoprire di chi sto parlando, non perdetevi la prossima puntata: ‘‘Un diavolo per Capelli: i teoremi di Sylow’’.