L’Accademia Norvegese di Scienze e Lettere assegna il Premio Abel 2026 a Gerd Faltings del Max Planck Institute for Mathematics, «per aver introdotto strumenti potenti nella geometria aritmetica e per aver risolto congetture diofantee di lunga data di Mordell e Lang.»

Pochi minuti fa l’Accademia Norvegese di Scienze e Lettere ha assegnato il premio Abel 2026 a Gerd Faltings.

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Leggiamo insieme il comunicato dell’Accademia.

La soluzione delle equazioni polinomiali sui numeri razionali è una parte fondamentale e storicamente consolidata della matematica. Sistemi di tali equazioni, noti come equazioni diofantee, possono essere classificati inizialmente in base alla dimensione complessa dell’insieme delle loro soluzioni. Il caso di dimensione zero è già non banale ed è affrontato dalla teoria di Galois. La dimensione uno corrisponde alle curve, che vengono classificate topologicamente in base al loro genere. Il genere di una curva complessa è il numero di “buchi” della corrispondente superficie di Riemann reale bidimensionale. Il problema diofanteo per le curve di genere zero è governato dal teorema di Hasse–Minkowski. Una curva di genere uno dà luogo a una curva ellittica.

Henri Poincaré (1854–1912) congetturò nel 1901 che il gruppo dei punti razionali su una curva ellittica fosse finitamente generato, e questo fu dimostrato da Louis J. Mordell (1888–1972) nel 1922. Nello stesso articolo, Mordell congetturò che una curva di genere almeno due abbia solo un numero finito di punti razionali. Questa divenne la principale congettura aperta della teoria diofantea per i successivi 60 anni, fino a quando Faltings non la dimostrò nel 1983. Per esempio, il risultato di Faltings stabilisce la finitezza dei punti razionali su tutte le curve piane lisce di grado almeno quattro, incluse le celebri curve di Fermat \(x^n+y^n=z^n\) per \(n\geq 4\). La dimostrazione rivoluzionaria di Faltings sorprese gli esperti: invece di usare l’approssimazione diofantea, il suo approccio passò attraverso la risoluzione di un caso importante di una congettura di John Tate (1925–2019), così come di una congettura di Igor Shafarevich (1923–2017).

Nel 1989, Paul Vojta trovò una nuova dimostrazione della congettura di Mordell, seguendo linee più tradizionali iniziate da André Weil (1906–1998) e Carl Ludwig Siegel (1896–1981). Nel 1991, Faltings adattò questo approccio per dimostrare un’enorme generalizzazione della congettura di Mordell: la congettura di Mordell–Lang sulle sottovarietà delle varietà abeliane. Una varietà abeliana, che generalizza una curva ellittica, è una varietà proiettiva completa dotata di struttura di gruppo. Il risultato di Mordell sulla generazione finita fu esteso ai punti razionali delle varietà abeliane da Weil. Qui “razionale” può essere inteso rispetto a un qualsiasi campo numerico fissato.

La congettura di Mordell–Lang descrive la distribuzione dei punti razionali in qualsiasi sottovarietà di una varietà abeliana. Più precisamente, afferma che tutti tali punti razionali sono contenuti nell’unione di un numero finito di sottoinsiemi della sottovarietà data, ciascuno dei quali è una traslazione di una sottovarietà abeliana per un punto razionale. Per dimostrare la congettura di Mordell–Lang, Faltings stabilì un risultato di approssimazione diofantea noto come teorema del prodotto di Faltings. Esso generalizza un risultato chiave di Klaus F. Roth (1925–2015), usato nella dimostrazione del suo celebre teorema sull’approssimazione dei numeri algebrici mediante numeri razionali. Nel 1994, usando il teorema del prodotto, Faltings e Gisbert Wüstholz diedero una nuova dimostrazione del teorema di Roth e della sua generalizzazione multidimensionale, nota come teorema degli spazi lineari di Schmidt. Nel suo articolo del 1991, Faltings dimostrò anche la finitezza dei punti interi sulle sottovarietà affini di varietà abeliane, come congetturato da Serge Lang (1927–2005). L’opera di Faltings rimane il pilastro centrale della geometria diofantea moderna.

La teoria di Hodge classica mette in relazione la topologia delle varietà complesse con la loro geometria differenziale. In modo analogo, la teoria di Hodge p-adica studia le strutture naturali portate dalla coomologia delle varietà algebriche su campi p-adici, nelle quali le azioni di Galois e Frobenius codificano rispettivamente informazioni aritmetiche e geometriche.

Faltings ha dato contributi fondamentali alla teoria di Hodge p-adica, fornendo dimostrazioni delle principali congetture formulate da Tate e Jean-Marc Fontaine (1944–2019), ed estendendone la portata al contesto non abeliano con il nome di corrispondenza p-adica di Simpson. Le congetture di Tate e Fontaine mettono in relazione la coomologia étale p-adica (che svolge il ruolo della coomologia di Betti nella teoria classica) e la coomologia de Rham; la versione non abeliana collega invece rappresentazioni p-adiche del gruppo fondamentale e sistemi di Higgs.

Gli strumenti introdotti da Faltings si sono rivelati cruciali per gli sviluppi successivi nella teoria di Hodge p-adica e nell’algebra commutativa. Tra questi si annoverano il teorema di purezza e la nozione di estensioni quasi-étale (almost étale), chiarita grazie al lavoro di Ofer Gabber e Lorenzo Ramero, e successivamente rafforzata da Peter Scholze.

Le curve ellittiche sui numeri complessi sono parametrizzate, a meno di isomorfismo, dai punti della curva modulare. La curva modulare nasce come quoziente del semipiano superiore per il gruppo delle matrici intere 2×2 di determinante uno, che agisce tramite trasformazioni frazionarie lineari. Le varietà abeliane sono analogamente parametrizzate dai punti delle varietà modulari di Siegel. In una monografia del 1990, Faltings e Ching-Li Chai costruirono una compattificazione aritmetica di queste varietà. Il loro lavoro è diventato un punto di riferimento essenziale per gli sviluppi successivi nella teoria dei modelli integrali e delle compattificazioni delle varietà di Shimura.

Gerd Faltings è una figura monumentale della geometria aritmetica. Le sue idee e i suoi risultati hanno trasformato il campo, risolvendo congetture di lunga data e creando nuovi quadri teorici che hanno guidato decenni di ricerche successive. Le sue eccezionali realizzazioni uniscono prospettive geometriche e aritmetiche ed esemplificano la potenza di una profonda comprensione strutturale.

(news in aggiornamento, maggiori dettagli a seguire).