A chi non è mai capitato di incontrare all’aeroporto per caso un conoscente che non vedeva da tanto tempo. Al canadese Daniel Guibault, per esempio, è successo il giorno del ringraziamento del 2008 quando si trovava all’aeroporto di Nizza, in Francia, in attesa del volo di ritorno per il Quebec. Inaspettatamente, ha incontrato un collega con cui aveva collaborato alla fine degli anni ’70. Come direbbe un noto giornalista “la domanda sorge spontanea”: si può calcolare qual è la probabilità che eventi di questo tipo si verifichino?
La risposta è stata data dal matematico Jean-Marie De Koninck, professore all’Università Laval. Secondo lui, infatti, è possibile calcolare questo tipo di probabilità ma in una situazione del genere deve essere considerato un grande numero di fattori per riuscire a ottenere un risultato preciso. Esaminando il caso delle due nazioni (Canada e Francia) bisognerebbe considerare per esempio il numero degli aeroporti presenti in Francia, i flussi dei passeggeri in transito in relazione al periodo dell’anno, il numero di viaggi effettuati in un anno verso la Francia a seconda della classe sociale di appartenenza (si può supporre che le persone più ricche e istruite viaggino più spesso), o la lingua parlata (si può infatti ipotizzare che i francesi si rechino in Canada più spesso degli inglesi).
Un calcolo che quindi diventa volta per volta più complesso. Grazie a una serie di ipotesi si riesce però a semplificare e a renderlo più comprensibile. Secondo De Koninck, la cosa più interessante di queste situazioni è che noi crediamo che la probabilità che un fenomeno del genere si verifichi sia dell’ordine di uno su un milione, mentre invece l’esempio preso in esame mostra che spesso gli eventi che ci sembrano casuali non lo sono poi così tanto.
Ma veniamo al calcolo. Secondo l’ente che si occupa delle statistiche in Canada, i residenti in questo paese che hanno effettuato un viaggio in Francia nel 2009 sono stati 735.000 su una popolazione totale di 33,7 milioni di persone. Le prime ipotesi che si fanno sono che nessuno abbia effettuato il viaggio due volte e che ciascuna di queste persone abbia la stessa probabilità di far parte del gruppo dei viaggiatori. La probabilità quindi di essere in questo gruppo è 735 000 / 33.700.000 = 0,0218 circa, ovvero il 2,18%. Ora, se contiamo i colleghi attuali e quelli passati, gli amici vicini e lontani, così come tutti i parenti, possiamo supporre di conoscere circa 200 persone. Quindi, qual è la probabilità che almeno uno di loro si rechi in Francia nel nostro stesso anno?
«Per compiere questo tipo di calcolo esplicito», dice De Koninck,«bisogna procedere al contrario», ovvero bisogna prima determinare la probabilità che tale evento non si verifichi. In questo caso, ognuna delle nostre conoscenze ha una probabilità di 1-0,0218 = 0,9782, ovvero il 97,82%, di non andare in Francia nell’arco dell’anno in cui abbiamo viaggiato noi.
Al passo successivo del calcolo bisogna stare attenti, perché nasconde una piccola trappola. Istintivamente, potremmo pensare che la probabilità che due nostri conoscenti non viaggino nel nostro stesso anno sia pari a 1 – 2x(0,0218) = 0,9564. Attenzione! Questo non è il modo corretto di calcolare questa probabilità. Infatti considerando 46 conoscenze, la percentuale diventerebbe negativa: 100%- 46x (2,18%) = – 0,28%, e ovviamente questo non ha senso. Dobbiamo vederla come una “probabilità dentro un’altra probabilità”, ovvero stiamo dicendo che i nostri due amici hanno il 97,82% della probabilità di avere una probabilità del 97,82% di non andare in Francia nel nostro stesso anno. Ciò viene calcolato semplicemente come 0,97822×0,97822= 0,9569. E quindi estendendo il calcolo ad i nostri 200 conoscenti abbiamo una probabilità pari a (0,97822)^200 = 0.012, ovvero del 1,2% che nessuno di loro vada in Francia nel nostro stesso anno.
A questo punto però bisogna considerare che in un anno ci sono 365 giorni, quindi supponiamo che i nostri 200 conoscenti abbiano 20 amici che si recano in Francia una volta ogni cinque anni e che questa sia anche la nostra frequenza di viaggio. Inoltre assumiamo che ci sia un solo aeroporto in Francia. Infine, dice De Koninck, si ipotizza che il tempo di permanenza in aeroporto sia di due ore.
Dal momento che i terminal sono quasi vuoti di notte, è possibile dividere la fascia oraria 8-22 in sette intervalli di due ore. Considerando il periodo di cinque anni, si hanno 7x365x5= 12 775 intervalli di due ore. Se riduciamo il problema a noi e solo ad uno dei nostri amici, allora la probabilità di non incontrarlo è pari a 12 774 / 12 775, ovvero il 99,9921%. Ma se abbiamo 20 amici che si recano in Francia ogni cinque anni, sebbene la probabilità di non incontrare nessuno di loro sia (0,9999212)^20 = 0,9984, resta una probabilità 1-0,9984 = 0.16% di incontrarne uno. Lo 0.16 % equivale a 1 / 625, un numero ben più grande di quanto in realtà immaginiamo sia la frequenza di tali coincidenze ovvero del tipo 1/1000000. Inoltre, se iniziamo a viaggiare a 25 anni e continuiamo a farlo fino ai 75, raggiungiamo un totale di 11 viaggi in Francia, e la probabilità di incontrare un conoscente nell’aeroporto arriva quindi a 1-0,9984×11 = 1-0,9829 = 0,0171 ovvero l’ 1,71%.
Quindi se i nostri amici hanno la stessa probabilità di incontrare un conoscente, complessivamente abbiamo una probabilità di 1-0,9829×20 = 1-0,7086 = 0,2914 ovvero del 29,14%, di incontrare un conoscente in aeroporto nel corso della nostra vita. Per cui, anche se rimane una coincidenza notevole, non si tratta più, contrariamente a quello che si potrebbe pensare, delle stesse probabilità di vincere alla lotteria. Quanti tra i vostri amici sono diventati milionari?
A cura di Cristiana di Russo
