I progressi della Matematica e delle sue applicazioni talvolta passano per i paradossi. È il caso del paradosso di San Pietroburgo. Ce ne parla Marco Menale.

 

Lo società avanza anche grazie ai contributi della matematica. E la società iperconnessa del nuovo millennio lo dimostra costantemente, con le sfide che abbiamo di fronte. Tuttavia la matematica ha trovato e continua a trovare spunti di riflessione anche in problemi che mettono in difficoltà il nostro intuito. Sono i paradossi. E uno di questi ha avuto diverse conseguenze anche sugli sviluppi dell’economica. È il paradosso di San Pietroburgo.

La sua storia è legata a due membri di una delle famiglie con il maggior tasso di matematici: i Bernoulli. Il primo a enunciarlo è Nicolaus Bernoulli in una lettera indirizzata al matematico francese Pierre Rémond de Montmort. Anche se il nome del paradosso lo si deve a Daniel Bernoulli, cugino di Nicolaus. Nell’opera “Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae” presenta la matematica dei giochi d’azzardo del casinò di San Pietroburgo.

Il gioco da cui deriva il paradosso è semplice. Viene lanciata una moneta non truccata (\(50\%\) probabilità testa, \(50\%\) probabilità croce) e vinciamo all’uscita della croce. In particolare se la croce esce dopo \(k\) lanci, allora vinciamo \(2^{k-1}\) euro. Quanto siamo disposti a pagare per partecipare a questo gioco?

Per rispondere alla domanda usiamo il valore atteso o speranza matematica. Se esce croce al primo lancio, allora vinciamo \(2^{1-1}=2^0=1\) euro. Questo evento ha probabilità \(\frac{1}{2}\). Se esce croce al secondo lancio, allora vinciamo \(2^{2-1}=2^1=2\) euro. E questo con probabilità \(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2^2}\). E se invece esce al terzo lancio vinciamo \(2^{3-1}=2^2=4\) euro, con probabilità \(\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{2^3}\). Dopo \(k\) lanci il bottino vinto è \(2^{k-1}\) euro con probabilità \(\frac{1}{2^k}\). In definitiva il valore atteso è:

\[\begin{align*}
E&=2^0\cdot \frac{1}{2}+2^1\cdot \frac{1}{2^2}+2^2\cdot \frac{1}{2^3}+…+2^{k-1}\cdot \frac{1}{2^k}+…\\
&=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+…\\
&=+\infty.
\end{align*}\]

Dunque dobbiamo essere disposti a pagare qualsiasi cifra per partecipare al gioco.

Da un punto di vista matematico è tutto regolare, non ci sono contraddizioni logiche come nel caso di altri paradossi. Eppure la soluzione appare paradossale, perché nessuno è disposto a investire una cifra infinita per partecipare a questo gioco.

Nel tempo i matematici se ne sono occupati. E le conseguenze hanno impattato su diverse discipline, come l’economia. Già Daniel Bernoulli propone una spiegazione. Per lui la speranza matematica non è una quantità adeguata in alcune situazioni perché non guarda all’utilità di un bene per una certa persona. Secondo lui “1000 ducati hanno un valore maggiore per un povero che per un ricco”.  In precedenza il matematico svizzero Gabriel Cramer aveva già mostrato qualche perplessità. A suo avviso “i matematici stimano il denaro in proporzione alla sua quantità, mentre una persona di buon senso lo stima in proporzione all’uso che può farne.”

Si avvia così il filone di studi sull’utilità e sull’utilità marginale. Ora sono due concetti assodati della moderna economia. E così il paradosso di San Pietroburgo è stato lo spunto per inaspettati sviluppi della matematica e delle sue diramazioni in altre discipline.