L’evoluzione di una popolazione è limitata dalle risorse dell’ambiente. Tuttavia in alcuni casi il tasso di crescita aumenta con la popolazione. È l’Effetto Allee. Ce ne parla Marco Menale.

La Sardegna sta affrontando un’invasione di cavallette. Eh sì, ci mancava solo questo. I celiferi (questo il nome scientifico) distruggono i raccolti per nutrirsi. E in un periodo di siccità come questo le conseguenze di un’invasione possono essere ancora più pesanti. A breve le cavallette cominceranno a depositare le uova, dalle 25 alle 50. La sorprendente crescita di questa popolazione può essere spiegata in termini biologici e matematici con l’Effetto Allee.

Warder Clyde Allee è stato un ecologo e zoologo americano. Nato a Bloomingdale in Indiana, consegue il PhD. alla University of Chicago nel 1912. In particolare si interessa di comportamento animale e cooperazione di specie. Insegna in diverse università americane. E nel 1928 torna a Chicago come professore di zoologia. Nel 1950 conclude l’insegnamento, ma continua la ricerca presso la University of Florida. Nell’articolo “Studies in animal aggregations: mass protection against colloidal silver among goldfishes” del 1932 si occupa del fenomeno ora conosciuto come Effetto Allee.

Allee sta studiando delle popolazioni di pesci rossi. Si accorge di una correlazione tra la dimensione della popolazione e il tasso di crescita. Più la popolazione cresce, più cresce il tasso di riproduzione. Ma sembra in contrasto con quanto si osserva in natura. La spiegazione di Allee? Questo effetto vale per popolazioni piccole dove si innestano meccanismi di cooperazione per difendersi, trovare cibo e riprodursi (qui per approfondire).

Guardiamo matematicamente al problema. Consideriamo una popolazione (animale, vegetale o ciò che si vuole). Sia \(N\) la sua dimensione e \(r\) il tasso intrinseco di crescita. Inoltre definiamo il parametro \(K\) (\(0<N<K\)) come la capacità portante dell’ambiente, ossia il limite delle risorse dell’ambiente per sostenere una certa popolazione. L’evoluzione della popolazione può essere descritta dal modello logistico (qui):

\[N’(t)=r\cdot N\cdot \left(1-\frac{N}{K}\right).\]

Dividiamo entrambi i membri per \(N\). Osserviamo che il tasso di crescita (\(\frac{N’}{N}\)) decresce all’aumentare della popolazione.

Consideriamo un altro modello di crescita:

\[N’(t)=r\cdot N\cdot \left(1-\frac{N}{K}\right)\cdot\left(\frac{N}{A}-1\right).\]

È molto simile a quello logistico, tuttavia c’è un termine in più che dipende dal parametro \(A\) (\(0<A<N\)). In questo caso il tasso di crescita cresce all’aumentare della popolazione. È l’Effetto Allee. In figura 1 sono confrontate le soluzioni dei due modelli a parità di parametri. La soluzione del secondo modello sale molto più rapidamente con l’aumentare della popolazione. Mentre è più lenta la crescita per la curva logistica.

È bene ricordare che questo effetto vale per piccole popolazioni. Infatti in altri casi intervengono i limiti imposti dall’ambienti e definiti dal parametro \(K\) dei precedenti modelli. Anche le cavallette possono giovare dell’Effetto Allee stando ad alcuni studi scientifici (qui e qui per approfondire). E in Sardegna sembra funzionare benissimo.