La distribuzione di Amoroso è intorno al secolo di storia. Nata dalle idee del matematico ed economista Luigi Amoroso è ancora usata in diversi contesti. Ce ne parla Marco Menale.

Per descrive e comprendere, almeno in parte, un fenomeno, si prova a ricavare una distribuzione di probabilità rispetto alle grandezze coinvolte. Per farlo servono prima assunzioni e ipotesi. Una volta ottenuta (cosa non sempre possibile) in base alla sua forma e altre caratteristiche si prova a fare qualche conclusione. Tra le varie discipline, succede spesso in economia; ad esempio, ci si riferisce alla distribuzione della ricchezza dato un certo evento. Ed è in ambito economico che si usa una distribuzione che conta ormai quasi un secolo di storia: la distribuzione di Amoroso.

Luigi Amoroso è stato un matematico ed economista italiano. Laureatosi in matematica tra la Scuola Normale Superiore e La Sapienza, fu prima assistente di Guido Castelnuovo per poi insegnare a Bari, Napoli e Roma. Proprio a Napoli partecipò alla realizzazione del primo progetto di realizzazione dell’IAC-Istituto per le Applicazioni del Calcolo “Mauro Picone”. Ma è stata l’economia il suo principale interesse, volendo proseguire il programma di un altro economista italiano: Vilfredo Pareto. È per questo considerato uno dei pionieri italiani dell’approccio matematico all’economia. Si assume il 1925 come anno di nascita della distribuzione che porta il suo nome. Come spesso scriviamo in questa rubrica, una fedele cronistoria degli eventi matematici è un compito (non-semplice) che esula dagli scopi de La Lente.

Passiamo alla matematica della distribuzione di Amoroso. La sua funzione di densità di probabilità (pdf, dall’inglese probability density function) è

$$f(x) = \frac{|\beta/\theta|}{\Gamma(\alpha)} \left( \frac{x – a}{\theta} \right)^{\alpha \beta – 1} \exp \left[ – \left( \frac{x – a}{\theta} \right)^\beta \right], \quad x > a$$

dove $\alpha >0$, e gli altri sono parametri reali. Inoltre, $\Gamma$ è la funzione gamma di Eulero. Questa distribuzione include, tra le altre, come casi particolari la distribuzione gamma, la distribuzione gamma generalizzata e la distribuzione di Weibull. In particolare, il segno del parametro $\theta$ da informazioni sulla forma. Infatti, per $\theta >0$, ha supporto per $x \geq a$; mentre il supporto è $x\leq a$ per $\theta <0$ (Figura 1).

Scritta da un’economista (e non solo), è in economia che ha trovato e continua a trovare applicazione. Tra gli altri c’è l’articolo del 2020 “Social climbing and Amoroso distribution” di Giacomo Dimarco e Giuseppe Toscani. I due matematici descrivono il fenomeno della social climbing, ovvero la scalata sociale in una società multi-agente; in particolare, focalizzano l’attenzione sulle sue conseguenze. Usando la teoria cinetica, attraverso l’equazione di Boltzmann e l’equazione di Fokker-Planck, analizzano ciò che succede a una società con lo spirito della scalata sociale guardando alla distribuzione asintotica della ricchezza. Ebbene, viene fuori proprio una distribuzione di Amoroso con code spesse.

Senza scendere nel dettaglio matematico (abbastanza tecnico), significa che viene a formarsi così una élite sociale in cui si concentra la ricchezza con conseguente rischio di incremento delle disuguaglianze. In questo caso è anche la forma della distribuzione di Amoroso ottenuta a fornire ulteriori dettagli nella comprensione del particolare processo socio-economico.

L’uso di questa distribuzione non si limita all’economia, ma entra in gioco anche in altri contesti. Ad esempio, per analizzare la distribuzione dei tempi di vita all’interno di una popolazione, permettendo di comprendere meglio le strategie di sopravvivenza e riproduzione degli organismi. Come spesso accade in matematica, idee nate, più o meno volutamente, in un contesta trovano applicazione in altri, anche a distanza di molto tempo.