Qualche settimana fa è stato pubblicato sul server arXiv un nuovo articolo di Ben Green e Mehtaab Sawhney che dà una risposta positiva ad una congettura formulata alcuni anni fa da John Friedlander e Henryk Iwaniec. La congettura riguarda la possibilità di trovare numeri primi che hanno una “forma” speciale. Ce ne parla Alessandro Zaccagnini.

Il risultato di Green & Sawhney^{[1 ]}Ben Green and Mehtaab Sawhney. 2024. “Primes of the Form $p^2 + n q^2$.” Arxiv preprint è piú generale, ma per maggiore chiarezza per il momento mi concentro su un caso particolarmente interessante. La domanda è se sia vero che esistono infiniti numeri primi $r$ per i quali esistono altri due numeri primi $p$ e $q$ con la proprietà che $r = p^2 + 4 q^2$. Per esempio, se prendiamo $r = 41$ allora possiamo scegliere $p = 5$ e $q = 2$; se prendiamo $r = 61$ allora possiamo scegliere $p = 5$ e $q = 3$; se prendiamo $r = 109$, allora possiamo scegliere $p = 3$ e $q = 5$. Green & Sawhney hanno dato una versione quantitativa molto forte di questo fatto, in un lavoro tecnicamente molto impegnativo.

Nel 1998, gli stessi Friedlander & Iwaniec hanno dimostrato che il polinomio in due variabili $x^2 + y^4$ assume valore primo per infinite coppie di interi $x$ ed $y$, dei quali uno è pari e uno dispari. Il loro risultato è stato poi esteso a diversi altri polinomi in due variabili. L’obiettivo finale di tutte queste ricerche è arrivare a dimostrare che qualche polinomio in una sola variabile di grado almeno 2 assume infiniti valori primi. Nel 1912 Edmund Landau presentò ad un Congresso mondiale di matematici quattro problemi sui numeri primi, dichiarando che erano inattaccabili con le conoscenze dell’epoca; uno di questi è dimostrare che il polinomio $f(n) = n^2 + 1$ assume valore primo per infiniti interi $n$. Nessuno di questi problemi è stato risolto negli ultimi 110 anni!

In generale, Green & Sawhney hanno dimostrato che lo stesso risultato vale per i numeri primi della forma $p^2 + n q^2$, dove $n$ è un numero intero positivo con $n \equiv 0, 4 \bmod 6$. Questa limitazione è dovuta al fatto che se $p \ne 3$ allora $p^2 \equiv 1 \bmod 3$. Dunque, se $p$, $q \ne 3$, allora $p^2 + n q^2 \equiv n + 1 \bmod 3$, e questo ci costringe a prendere $n + 1 \not\equiv 0 \bmod 3$ se vogliamo che $p^2 + n q^2$ sia primo. Analogamente, se $p \ne 2$ allora $p^2 \equiv 1 \bmod 2$ e se $p$, $q \ne 2$, allora $p^2 + n q^2 \equiv n + 1 \bmod 2$; questo ci costringe a prendere $n + 1 \not\equiv 0 \bmod 2$. In definitiva, delle sei classi di resto modulo 6 in cui $n$ può giacere dobbiamo escludere le classi 1, 2, 3, 5.

Questo genere di risultati si ottiene combinando alcuni recenti progressi nella teoria analitica e una parte di teoria algebrica dei numeri. In particolare è necessario lavorare nel campo ${\mathbb{Q}}[{\mathrm{i}}\sqrt{n}]$; una parte delle difficoltà algebriche dipendono dal fatto che l’anello degli interi di questo campo potrebbe non avere la fattorizzazione unica.

Il motivo per cui è “naturale” introdurre l’insieme ${\mathbb{Q}}[{\mathrm{i}}\sqrt{n}]$ è che in questo insieme il polinomio $x^2 + n y^2$ si spezza nel prodotto di fattori di primo grado; si veda il prossimo paragrafo per una spiegazione più precisa nel caso classico in cui $n = 1$.

Somme di due quadrati

Questo tipo di problemi ha una lunga storia: mi limito a parlare di uno dei classici. Sembra che il matematico francese Albert Girard sia stato il primo, intorno al 1620, a studiare l’insieme dei numeri interi positivi che si possono rappresentare come somma di due quadrati di due numeri interi $$Q = \{ 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 13, 16, 17, 20, 25, 26, 29, 32, 36, 37, 40, 41, 45, 49, 50, \dots \}.$$ Esaminando questa lista, riuscite a notare la struttura di questo insieme? La cosa curiosa è che pur essendo definito per mezzo dell’addizione, questo insieme ha una struttura moltiplicativa! Infatti, usando l’identità di Diofanto $$(a^2 + b^2) (c^2 + d^2) = (a c \pm b d)^2 + (a d \mp b c)^2$$ possiamo notare che se $n$, $m \in Q$ allora anche $n m \in Q$. Poco dopo Girard, Pierre de Fermat affermò che tutti i numeri primi $p \equiv 1 \bmod 4$ sono elementi di $Q$. È banale che $2 \in Q$ e che se $p \equiv 3 \bmod 4$ allora $p \notin Q$: infatti $a^2 \in \{ 0, 1 \} \bmod 4$ e quindi $a^2 + b^2 \in \{ 0, 1, 2 \} \bmod 4$; ovviamente in ogni caso abbiamo $p^2 \in Q$. L’identità di Diofanto e l’osservazione di Fermat implicano dunque che un intero appartiene a $Q$ se e solo se nella sua fattorizzazione in fattori primi gli eventuali primi $p \equiv 3 \bmod 4$ compaiono con esponente pari; lo si dimostra per induzione.

Fermat non ha dimostrato la sua affermazione: ci ha pensato, un secolo dopo, il solito Eulero. Oggi sono note varie dimostrazioni: cercatele su Wikipedia a questo link. Quella che ci interessa qui parte dall’interpretazione dell’identità di Diofanto come proprietà della norma in ${\mathbb{Z}}[{\mathrm{i}}]$, gli interi di Gauss, cioè le quantità $a + {\mathrm{i}}b$ dove $a$, $b \in {\mathbb{Z}}$. Il calcolo è questo: passiamo dalla prima alla seconda riga associando il primo ed il terzo fattore, e il secondo e il quarto. $$\begin{aligned} (a^2 + b^2) (c^2 + d^2) &= (a + {\mathrm{i}}b) (a – {\mathrm{i}}b) (c + {\mathrm{i}}d) (c – {\mathrm{i}}d) \\ &= (a c – b d + {\mathrm{i}}(a d + b c) ) (a c – b d – {\mathrm{i}}(a d + b c) ) \\ &= (a c – b d)^2 + (a d + b c)^2.\end{aligned}$$ Se poniamo $N(a + {\mathrm{i}}b) = a^2 + b^2$ questa formula dice che $N(a + {\mathrm{i}}b) N(c + {\mathrm{i}}d) = N\bigl( (a + {\mathrm{i}}b) N(c + {\mathrm{i}}d) \bigr)$ e questo permette una dimostrazione “naturale” dell’osservazione di Fermat che sfrutta il fatto che l’anello degli interi di Gauss è euclideo.

Problemi con vincoli

Per concludere propongo un piccolo esercizio in tre parti, allo scopo di mostrare quanto possano diventare difficili i problemi additivi come quelli che stiamo considerando qui non appena mettiamo dei vincoli sulle variabili.

Prima parte: in quanti modi è possibile scrivere $N = 100$ come somma di due numeri positivi dispari? Come cambia la risposta se al posto di 100 mettiamo un intero pari piú grande, per esempio 122?

Seconda parte: in quanti modi è possibile scrivere $N = 100$ come somma di un numero primo e un intero positivo dispari? Come cambia la risposta se al posto di 100 mettiamo un intero pari piú grande, per esempio 122?

Terza parte: in quanti modi è possibile scrivere $N = 100$ come somma di due numeri primi dispari? Come cambia la risposta se al posto di 100 mettiamo un intero pari piú grande, per esempio 122?

Chi avrà la pazienza di arrivare fino in fondo potrà notare che nei primi due problemi la soluzione è “monotòna”. Nel primo problema le risposte sono 50 e 61, rispettivamente, mentre nel secondo sono 24 e 29. Al crescere di $N$ il numero delle soluzioni dei problemi proposti cresce in senso debole: può rimanere costante (nel secondo problema), ma certamente non diminuisce.

Nel terzo caso no: la risposta è 12 quando $N = 100$ ma è solo 7 quando $N = 122$. Quando si aggiungono dei vincoli, come nel problema di Goldbach, la risposta diventa erratica e, per l’appunto, può diventare difficilissimo dimostrare che il numero di soluzioni è positivo. Nel problema risolto da Green & Sawhney c’è l’ulteriore vincolo che $r$, $p$ e $q$ siano simultaneamente primi: per questo motivo si tratta di un risultato veramente straordinario.