Dopo una ventina di anni con studenti del primo anno di Analisi Matematica, nella speranza di rimuovere un errore troppo frequente, Sandra Lucente ha indossato una t-shirt con la scritta “la funzione $$f(x)=1/x$$ è continua senza se e senza ma”. La foto di quella maglietta (che vedete qui accanto) apparsa sui social ha innescato un dibattito sulla presentazione didattica del concetto di continuità. Questo articolo di Sandra Lucente riassume le varie perplessità emerse e invita ad una lettura critica dei libri di testo delle scuole superiori, spesso imprecisi su questo argomento.

La fiaba della curva continua (che purtroppo continua)

Tanto tempo fa c’era una freccia sospesa in aria e una tartaruga velocissima. Per molti secoli nel regno delle interpretazioni, i matematici furono disCORDI, nonostante il cattivo Zenone parlasse, senza saperlo, proprio di CORDE. Dopo soli 2500 anni arrivarono i cavalieri matematici d’oltralpe Cauchy, Waierstrass, Dedekind e Bolzano, che sfoderarono definizioni precise. Così la freccia riprese il cammino, la tartaruga rallentò e conCORDEmente festeggiarono la rivincita dei matematici sui paradossi logici. Sull’invito al ricevimento c’era scritto “Teorema di Bolzano” e la bomboniera era un libro di matematica. Come in tutte le fiabe non venne invitato qualcuno che si vendicò, e così, ogni volta che un libro di liceo si apre la fiaba CONTINUA e quel che accade fa davvero SPECIE.

Bolzano era in realtà un filosofo-matematico che aveva lavorato sui paradossi di Zenone e della matematica apprezzava soprattutto la correttezza. Il teorema che porta il suo nome è il seguente: “L’immagine di un intervallo mediante una funzione continua è un intervallo”. Questo si traduce in vari modi, i più famosi dei quali sono:

– data una funzione continua su un intervallo, a segno discorde in due elementi dell’intervallo, la funzione avrà uno zero tra questi due elementi

– data una funzione continua su un intervallo, scelti due valori della funzione, questa assume tutti i valori intermedi ai due fissati

La spiegazione più evidente di questo teorema è “Il grafico di una funzione continua su un intervallo è una corda, cioè si disegna senza staccare la penna dal foglio.” A causa del famoso maleficio, la frase è diventata “Il grafico di una funzione continua è una corda, cioè si disegna senza staccare la penna dal foglio.” L’assenza dell’ipotesi “su un intervallo” fa concentrare la visione della funzione sul grafico, mentre una combriccola di francesi all’inizio ‘900 raccontava che una funzione è una terna: dominio, insieme di arrivo e relazione che ad un elemento del dominio associa un unico elemento dell’insieme di arrivo. Questi paladini, custodi del formalismo, sono stati leggendariamente sconfitti dalla moderna didattica. Poiché le leggende danno sempre insegnamenti, anche in un articolo come questo, che avrebbe stecchito ogni bourbakista, vogliamo rievocarli, concentrandoci separatamente su dominio, insieme di arrivo e relazione .

Il dominio nel teorema di Bolzano è un intervallo. Ovvero un insieme di numeri reali senza buchi. Per essere precisi, ogni volta che si scelgono due punti in un intervallo, tutti i punti intermedi tra questi restano nell’intervallo. Nella retta reale $$\mathbb{R}$$ gli intervalli sono tutti e solo dei seguenti tipi: $$[a,b]$$, $$(a,b]$$, $$[a,b)$$, $$(a,b)$$, $$[a, ->)$$, $$(a,->)$$, $$(<-,a)$$, $$(<-, a]$$, $$\mathbb{R}$$. Questo risultato è figlio della potentissima proprietà di completezza dei numeri reali.

Così un insieme come $$\mathbb{R}\setminus{0}$$ non è un intervallo, perché non è dei tipi precedenti. Ossia, se scelgo i punti -1 e 1 in questo insieme, questi punti non costringono lo zero a restare nell’insieme. La legge del teorema è una funzione continua, cioè una funzione in cui il limite nei punti del dominio è uguale al valore della funzione nel punto (a meno di punti isolati). Il teorema di Bolzano descrive l’insieme di arrivo della funzione continua asserendo che  questo eredita la proprietà del dominio di essere un intervallo.

Graficamente l’effetto combinato di intervallo in dominio e insieme di arrivo è quello della corda. Se però il dominio non è un intervallo si possono avere tanti pezzi di corda, punti sparsi e altre mostruosità. Ad esempio la funzione $$f(x)=1/x$$ definita su due intervalli, dà due corde non una, ma è comunque continua. La funzione $$h(x)=\sqrt{\cos x}$$ è fatta da infinite corde spezzate su infiniti intervalli, ma è comunque continua.

“Ma” è una particella che introduce avversative, in matematica non possono esserci avversative a definizioni o a teoremi, dunque queste funzioni sono continue senza se e senza ma. L’errore è confondere la negazione della continuità con la negazione del teorema di Bolzano. La negazione del teorema di Bolzano è “una funzione che abbia grafico che non sia una corda o non è continua o non è definita su un intervallo”.

Non a caso nel linguaggio comune disCONTINUAmente è la temporale interruzione di un evento e il tempo è la cosa più “intervallosa” che possiamo pensare, noi, le frecce e le tartarughe. Il maleficio maggiore arriva come nelle fiabe con una male-dicenza, letteralmente parole dette male.

Ad un certo punto si vuole mostrare agli studenti cosa accade quando si nega la continuità e si introducono “specie di funzioni discontinue”. Ma discontinua vuol dire non-continua?

Disastro non è solo un astro caduto.

Discarica può essere una zona piena di rifiuti, quindi tutt’altro che non-carica

Discorsi sono racconti che si tengono anche nei corsi.

Discontinue sono funzioni che possono essere continue!

Potremmo scegliere di superare il problema assegnando gradi di continuità. Questa spiegazione con correttezza matematica è troppo complicata per il liceo. Intuitivamente una funzione che ammette prolungamento per continuità è meglio di una con un asintoto verticale. Ma perchè complicare il lessico se Cauchy&co hanno già fatto la loro battaglia?

I punti di accumulazione del dominio che non sono punti di continuità sono molto interessanti. Capire cosa accade facendo il limite in tali punti è comprendere l’evolversi della funzione. Va verso un salto, un asintoto, un punto, infinite oscillazioni? La funzione manifesta questo comportamento avvicinandosi a tali punti, ma NON ha nessuna proprietà IN tali punti, perché quei punti non sono nel dominio.

Nei punti fuori dal dominio la funzione non è, oppure per una congiura della logica formale è qualunque cosa. La funzione $$f(x)=1/x$$ in zero non esiste e quindi è continua e/o discontinua, verde e/o a pois, antipatica e/o ammaliante. Cosa potrebbe fare una fata per rompere questo maleficio?

Per esempio la fata potrebbe suggerirebbe ai docenti di liceo e soprattutto agli autori di libri di testo di definire le funzioni continue solo su intervalli non banali (e quindi su ogni sottointervallo del dominio) e incuriosire lo studente più attento annunciando che in contesti più generali si dà la definizione di continuità anche su insiemi che non siano unione di intervalli non banali.

La discontinuità diviene allora negazione della continuità su intervalli, comportamento del grafico sui punti di accumulazione degli intervalli. Così $$f(x)=1/x$$ è continua nei due intervalli di definizione e nell’origine ha un asintoto, che si dice, per tradizione, discontinuità di seconda specie. Ma non è meglio dire tutto per bene? Si potrebbe dare già al liceo la definizione puntuale di continuità, lasciare che una funzione sia continua in tutti i punti isolati del dominio, nei punti di accumulazione del dominio  appartenenti al dominio abbia limite pari al valore della funzione.

Così $$f(x)=1/x$$ è continua perché l’origine non è nel dominio e la parola discontinuità non si riferisce in alcun modo alla funzione, ma solo ai punti di accumulazione del dominio che non vi appartengono. Ovviamente se chiediamo che un tale potere agisca, la fata arriva, fa giustizia bruciando molti dei testi esistenti e scompare urlando “le successioni sono continue in ogni punto!”

Sandra Lucente