Il pallone ufficiale della Coppa del Mondo di calcio è stato ufficialmente presentato nel dicembre del 2013. Ed è cubico!

di Étienne Ghys   Directeur de Recherche, CNRS, École Normale Supérieure di Lyon

Articolo apparso su Images des Maths, Le Brazuca, le ballon cubique de la Coupe du monde, e tradotto da Elena Toscano con il permesso dell’autore.

Il pallone ufficiale della Coppa del Mondo di calcio è stato ufficialmente presentato nel dicembre del 2013. In Brasile, in seguito ad una grande consultazione nazionale, è stato deciso che si sarebbe chiamato «brazuca», un nomignolo che sta a significare «brasiliano». 

Voglio rivelare qui una verità che le presentazioni del brazuca sembrano nascondere: il pallone da calcio della Coppa del Mondo è un cubo!

Incredibile, no?

Ecco le foto dei palloni ufficiali delle Coppe del Mondo a partire dal 1970. Bene, ogni pallone cerca di essere un po’ più originale rispetto al precedente, ma devo dire che l’idea di fare dei palloni cubici è davvero una piccola rivoluzione calcistica!

Come si realizza un pallone da calcio?

È necessario tagliare un certo numero di pezzi (originariamente in cuoio, ora in polietilene) e cucirli o incollarli per costruire una palla che sia più sferica possibile. Al suo interno si gonfia una camera d’aria la cui pressione migliora la rotondità del pallone.

I pezzi sono ritagliati da un materiale piatto. Forse per la Coppa del Mondo del 2018 sarà possibile fabbricare direttamente dei pezzi sferici ma, al momento, non è ancora così.

La prima idea è costruire un poliedro ottenuto incollando dei poligoni. Si comprende facilmente che, affinché il poliedro «abbia un’aria più rotonda possibile », bisogna che abbia molte facce più piccole possibile. Allo stesso modo si capisce che la disposizione di tali facce debba essere la più regolare possibile e la più simmetrica possibile. Un buon pallone, ben rotondo deve sembrare identico da qualunque punto lo si osservi.

Si sa dai tempi di Platone che non vi sono che cinque poliedri regolari: il tetraedro, il cubo, l’ottaedro, il dodecaedro e l’icosaedro aventi rispettivamente 4, 6, 8, 12 e 20 facce.

Dunque, ci si è inizialmente orientati verso quello a più facce: l’icosaedro con le sue 20 facce che sono triangoli equilateri. Per migliorarne ulteriormente la rotondità si può provare a «smussarne gli spigoli»: si dice che si tronca l’icosaedro. Per ogni vertice, immaginate i piani perpendicolari al raggio che lo congiunge al centro. Quando questo piano è vicino al vertice, esso interseca l’icosaedro in un piccolo pentagono e le facce triangolari diventano degli esagoni (di cui tre lati sono piccoli). Man mano che il piano si avvicina progressivamente dal centro, la dimensione dei lati piccoli degli esagoni aumenta: si arriva al punto in cui gli esagoni e i pentagoni diventano tutti regolari. È la forma tradizionale del pallone da calcio: un icosaedro troncato con 20 facce esagonali e 12 facce pentagonali.

Tutto ciò è descritto in un articolo sul sito Images des Maths pubblicato in occasione della precedente Coppa del Mondo. Se invece volete imparare a disegnare ico-dodeca-edri può aiutarvi una nota sul sito Images des Maths.

Evidentemente, l’evoluzione tecnologica dei palloni non si limita alla loro geometria: va da sé che la maniera di cucire o di incollare i pezzi del puzzle è cambiata parecchio.

Gli origami curvi: facce che non sono necessariamente piane

Il pallone standard (icosaedro troncato) è formato da poligoni piani che vengono incollati senza né essere deformarti né piegati. Quando il pallone viene gonfiato essi si tendono prendendo una forma sferica (ma questa è un’altra storia).

Per il brazuca, i pezzi da assemblare sono sì piani ma vengono «piegati» al momento dell’assemblaggio e poi nuovamente tesi al momento della gonfiatura.

Vediamo un po’ più in dettaglio.

Quando si ritaglia un pezzo di carta è possibile deformarlo nello spazio in svariati modi senza strapparlo. In geometria si parla di superfici «sviluppabili». [1].

Ed ecco un esempio:

È dunque possibile immaginare dei poliedri le cui facce non sono poligoni piani ma delle superfici sviluppabili che possono essere ritagliate nella carta prima dell’assemblaggio. Ecco un esempio di poliedro curvo.

Con delle facce che non sono necessariamente piane è possibile realizzare dei poliedri più rotondi? e perché no dei palloni da calcio?

Un teorema di Pogorelov

Cominciamo con un esempio semplice.

Un dominio è convesso se il segmento che congiunge due dei suoi punti è interamente contenuto nel dominio stesso.

convesso

non convesso

Considerate ora, nel piano, due domini convessi i cui contorni abbiano la stessa lunghezza. Ritagliate i domini nella carta, scegliete un punto sul bordo di entrambi e incollate questi punti.

In seguito, con del nastro adesivo o della colla, continuate a incollare i bordi dei due domini. Negli anni ’70 Pogorelov ha dimostrato che potete sempre continuare a incollare e “fare tutto il giro”, vale dire che non si faranno mai delle pieghe sulla giunzione che vi impediranno di continuare. In tal modo costruirete un oggetto nello spazio e Pogorelov mostra che questo oggetto è convesso nello spazio [2]. Non è una cosa del tutto evidente! Si potrebbe pensare che non si possa riuscire a incollare i due domini senza strapparli qua e là. E inoltre non vi sono ragioni a priori in virtù delle quali l’oggetto costruito debba essere convesso.

L’oggetto che avete costruito è costituito da due superfici sviluppabili incollate lungo i loro bordi.

L’articolo a questo link sul sito Images des Maths esplicita questo teorema con un esempio semplice: le palle da tennis.

Ancora meglio.

Invece di partire da due domini è possibile, per esempio, partire da sei domini convessi a cui potete pensare come alle «facce quadrate» di un cubo. Sui i bordi di ciascuno di questi domini scegliete quattro punti a cui pensare come ai vertici del «quadrato». Si suppone che i quattro «spigoli» che avete scelto siano in effetti degli spigoli ovvero i domini presentano degli angoli in tali vertici.

Supponete che le lunghezze di tutti gli «spigoli curvi» siano le stesse, prendete il vostro nastro adesivo e incollate come per fare un cubo.

Per ricordarvi cosa è un cubo ve ne mostro uno!

È necessaria ancora una’ipotesi: ogni vertice di un cubo è comune a tre facce. La somma dei tre angoli corrispondenti deve essere inferiore o uguale a 360 gradi.

Il teorema di Pogorelov garantisce che, sotto tali ipotesi, ciò funziona!

Costruirete una specie di cubo i cui spigoli sono curvi e le cui sei facce sono sviluppabili e non necessariamente piane.

Ancora di più!

Per potere applicare il teorema non è necessario che i domini siano convessi. La condizione importante è che quando si incollano due punti, la somma delle due curve dei due domini sia positiva in ogni punto di contatto [3]. In termini meno precisi, è necessario incollare una concavità con una convessità maggiore.

Il brazuca

Il brazuca è realizzato applicando il teorema di Pogorelov. Ecco le sei facce «quadrate» che vengono incollate per costruire un «cubo sferico».

Notate che ciascun pezzo ha in effetti quattro «spigoli» che vediamo in nero. L’angolo in ciascuno di questi spigoli è di 120 gradi.

Ecco come si assemblano le sei superfici sviluppabili:

Qui si vede un «vertice» del cubo: vi si incontrano tre facce proprio come in un cubo. Vi sono sei facce incollate e otto vertici. Notate che i tre angoli di 120 gradi fanno un totale di 360 gradi, ossia un giro completo, benché il brazuca non presenti dei « vertici appuntiti» come nel caso del cubo ordinario[4].

Ed ecco ancora qualche immagine per meglio comprendere la struttura cubica.

 E voilà!

E non erano mica facili da trovare queste forme che, sempre rimanendo gradevoli, producessero un pallone quasi perfettamente sferico. Il video seguente mostra la fabbricazione del brazuca:

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William Thurston, la haute couture e l’ottaedro

Incredibilmente, nello stesso periodo in cui gli ingegneri dell’Adidas ideavano il brazuca, il grande matematico W. Thurston concepiva la stessa idea, per una via differente [5].

Thurston, come la maggior parte dei geometri del passato, era interessato al modo in cui tagliare degli indumenti per ricoprire la superficie del corpo umano! In uno dei suoi ultimi articoli, in collaborazione con Kelly Delp, spiega le sue idee e i suoi insuccessi. Da buon matematico teorico è portato a supporre che la superficie che vuole vestire sia perfettamente sferica [6]! Parte quindi dall’ottaedro e cerca la forma da dare alle facce triangolari affinché l’oggetto ottenuto sia il più sferico possibile.

Ecco gli otto «triangoli» che propone:

Ed ecco il risultato:

È molto simile al brazuca, no?

A mo’ di conclusione

Sono sbalordito dalla fantasia degli ingegneri dell’Adidas che hanno molto semplicemente «riscoperto» il teorema di Pogorelov: sono convinto che non lo conoscessero (e che tuttora non lo conoscano).

E sono altrettanto sbalordito dalla creatività di Delp e Thurston che hanno cercato l’ispirazione nella moda!

Per fare della matematica è utile conoscere il lavoro dei propri predecessori? La faccenda è complessa. Sicuramente, se nessuno avesse studiato ciò che hanno fatto i geometri del passato non si sarebbe andati molto lontano…D’altra parte, per far propri i risultati del passato è, talvolta, utile riscoprirli da sé.

P.S.: DIFFIDATE DALLE IMITAZIONI. Vedo qui un falso brazuca in vendita. Si vede a occhio nudo che è un icosaedro troncato travestito da cubo. Non compratelo!

  Note

[1] Per maggiori dettagli si veda l’articolo al link seguente: http://images.math.cnrs.fr/Gaspard-Monge.html [in francese, NdT].

[2] Pogorelov, Extrinsic geometry of convex surfaces, 1973. Sfortunatamente non si trova gratuitamente sul web ma se ne trovano ampi estratti qui.

[3] Si parla della curvatura di una curva al link seguente: http://images.math.cnrs.fr/La-tache.html[in francese, NdT]!

[4] Tre angoli di 90 gradi ne fanno uno da 270 ed è per questo motivo che il cubo ha dei «vertici appuntiti».

[5] W. Thurston è scomparso recentemente. Ha avuto un’influenza fondamentale sulla geometria del XX secolo. Lo strumento di ricerca del sito Images des Maths segnala 25 articoli che contengono il suo nome.

[6] La storiella della mucca sferica è celebre tra gli scienziati (link: http://fr.wikipedia.org/wiki/Vache_sphérique) [in francese, NdT).