Il 22 agosto scorso c’è stato l’Earth Overshoot Day: la fine delle risorse che il pianeta mette a disposizione per un anno. Da quel momento la popolazione mondiale sfrutta le risorse in debito; un debito che dovranno pagare le generazioni future. Pare sia merito del lockdown su scala mondiale, ma la situazione quest’anno è leggermente migliorata rispetto al 2019, quando l’Earth Overshoot Day cadde il 29 luglio. “Bisogna rivedere i piani demografici” si sente dire da svariate voci.  Il “siamo troppi” rimanda a vecchie logiche da inizio novecento.

La storia dei modelli matematici per descrivere la dinamica di una popolazione inizia sul finire del Settecento. Il filosofo e demografo inglese Thomas Robert Malthus descrive l’evoluzione di una popolazione, noto il numero iniziale di individui \(P_0\) ed il tasso di crescita r. Dopo n anni, la popolazione è \(P_0(1+r)^n\). Se \( r<0\), la popolazione è destinata all’estinzione. Se r>0, la popolazione cresce. Ma cresce in modo esponenziale, a discapito della finitezza delle risorse.

Il problema è parzialmente risolto dal matematico inglese Benjamin Gompertz, intorno al 1820. Sviluppando modelli per le assicurazioni, descrive le prime tavole di mortalità per stimare la probabilità di morte di un individuo in funzione dell’età e di altri parametri. Mette su carta un’equazione differenziale che determina l’evoluzione di una popolazione, dato il numero iniziale, che dipende anche dalle risorse disponibili. L’andamento non è più esponenziale. Purtroppo però non lo è nemmeno all’inizio, e quindi non riflette fedelmente le osservazioni.

È un matematico belga a far quadrare i conti: Pierre François Verhulst.  Nel 1838 presenta un lavoro con cui descrive in modo abbastanza accurato la crescita della popolazione, noti il valore iniziale, il tasso di crescita ed il termine di equilibrio K, dipendente dalle risorse disponibili. Per avviare la crescita è necessario che \(P_0<K\): la popolazione deve avere risorse a disposizione. In una prima fase l’evoluzione è esponenziale come nel modello di Mathus. Ma ad un tratto la crescita rallenta, come nei modelli di Gompertz, per convergere allo stato d’equilibrio K per tempi lunghi. Il modello è oggi noto come equazione logistica.

In realtà nemmeno l’equazione logistica è il modello perfetto per descrivere matematicamente l’evoluzione di una popolazione, basti pensare all’effetto Allee, che sotto certe condizioni mostra che il tasso di riproduzione cresce con la densità di popolazione. Ma se la popolazione diventa molto grande è ancora un modello molto affidabile.

Insomma, usando l’equazione logistica, l’evoluzione alla fine dipende dal termine d’equilibrio K definito dalle risorse alimentari e dalla situazione ambientale. Sono stati sviluppati ulteriori modelli negli ultimi decenni che tengono conto di altri elementi, come tecnologia, progresso della medicina ed inquinamento. K può essere considera come un parametro che varia nel tempo, in funzione della situazione attuale. È il suo valore a determinare quanto possa crescere la popolazione in un certo lasso di tempo. Le risorse non sono infinite e, ciclicamente, arrivano scossoni ambientali e sanitari, vedasi la lezione dei cambiamenti climatici e del Covid-19.

Oggi siamo vicini ad esaurire le risorse, e la popolazione è orami vicina al punto di non ritorno. Forse la matematica potrebbe aiutarci ancora una volta a controllare la nostra espansione. Riducendo da un lato le nascite, e dall’altro indicando quali consumi siano veramente sostenibili per il nostro ecosistema. Un processo da cui dipende il futuro dell’umanità.

Marco Menale

[Illustrazione di Luca Manzo]

Marco Menale