di Erasmo Modica

Viene di seguito proposto un problema di applicazione delle equazioni differenziali alla fisica, in cui l’obiettivo è la determinazione del modello che fornisce la velocità di caduta di un corpo in un mezzo resistente in funzione del tempo.

Unità di apprendimento in cui inserire l’attività: equazioni differenziali

Contesto: 5° anno del Liceo Scientifico

Collegamenti interdisciplinari: fisica

Concetti-chiave in lingua inglese: differential equations, force, friction

Competenza: Avere padronanza degli strumenti matematici per la costruzione di modelli

Conoscenze:

• Concetto di equazioni differenziale
• Immagini
• Logaritmi e loro proprietà
• Accelerazione come derivata della velocità
• Proprietà degli integrali
• Secondo principio della dinamica

Abilità:

• Risolvere equazioni logaritmiche
• Integrazione immediata
• Risolvere equazioni differenziali
• Applicare il secondo principio della dinamica per determinare l’accelerazione di un corpo

Problema. Un corpo sferico di massa 200 g cade in un mezzo viscoso. Sapendo che quest’ultimo si manifesta mediante una forza frenante direttamente proporzionale alla velocità del corpo in caduta, secondo un coefficiente λ=0,2 N·s/m, determinare:

a)    l’espressione della velocità in funzione del tempo;

b)    la velocità del corpo dopo 4 s;

c)     la velocità limite.

Risoluzione

Immaginiamo che il corpo sferico cada nel messo viscoso e indichiamo con l’espressione:

 $$\vec F_R= – \lambda \vec v$$

la forza frenante che agisce su di esso, il cui modulo è direttamente proporzionale a quello della velocità di caduta e in cui λ>0  è una costante che dipende dal mezzo viscoso. Il segno meno che compare nella relazione, indica che tale forza frenante si oppone al verso della velocità.

Il corpo è quindi sottoposto a questa forza e alla forza peso $$\vec P=m \vec g$$ rivolta verso il centro della Terra.

Applicando la seconda legge di Newton si ottiene:

$$P-F_R=ma$$

Sostituendo le espressioni delle due forze a primo membro, otteniamo:

$$mg-\lambda v=ma$$

Ricordando che l’accelerazione è la rapidità di variazione della velocità nel tempo, cioè che:

$$a=\frac{dv}{dt}$$

dalla precedente relazione si ottiene la seguente equazione differenziale:

$$m \frac{dv}{dt}=mg – \lambda v$$

ossia:

$$\frac{m}{\lambda} \cdot \frac{dv}{dt}=\frac{mg}{\lambda}-v$$

 e quindi:

$$\frac{dv}{\frac{mg}{\lambda}-v}=\frac{\lambda}{m}dt$$

 Integrando ambo i membri si ottiene:

$$-\ln \left(\frac{mg}{\lambda}-v \right)=\frac{\lambda}{m} \cdot t+c$$

da cui:

$$\frac{mg}{\lambda}-v=e^{-\frac{\lambda}{m}t+c}$$

Ponendo $$e^c=k$$, possiamo determinare la velocità dalla precedente relazione:

$$v(t)=\frac{mg}{\lambda}-ke^{-\frac{\lambda}{m}t}$$

Supponendo che all’istante iniziale il corpo sferico sia fermo, cioè che $$v(0)=0$$, dalla relazione precedente possiamo determinare il valore della costante  come segue:

$$\frac{mg}{\lambda}-k=0$$

cioè:

$$k=\frac{mg}{\lambda}$$

In definitiva, l’espressione della velocità di caduta in funzione del tempo sarà la seguente:

$$v(t)=\frac{mg}{\lambda}\cdot \left(1- e^{-\frac{\lambda}{m}t}\right)$$

Inserendo i valori dati nel problema otteniamo la funzione:

$$v(t)=9,81 \cdot (1-e^{-t})$$

Per determinare la velocità del corpo dopo 2 s, è sufficiente determinare l’immagine di 2 tramite la funzione precedente, ossia:

$$v(2s)=9,81 \cdot (1-e^{-2})=6,2 m/s$$

La rappresentazione grafica della funzione è la seguente:

Dal grafico notiamo che la velocità ha un asintoto orizzontale che si può determinare mediante il seguente limite:

$$\lim_{t \to \infty} \left[ \frac{mg}{\lambda} \cdot \left( 1-e^{-\frac{\lambda}{m}t} \right) \right]=\left(\frac{mg}{\lambda} \right)^{-}$$

 Nel nostro caso, questi limite ci permette di determinare l’asintoto di equazione:

$$y=9,81$$

Quindi il valore $$v=9,81 m/s$$ rappresenta la velocità limite.