Un articolo su matematica e costi delle malattie nell’ambito del Mese della Consapevolezza Matematica promossa dall’American Mathematical Society, l’American Statistical Association, dalla Mathematical Association of America, e dalla Society for Industrial and Applied Mathematics. Traduzione di Corrado Mascia.

 

di Carlos Castillo-Chavez, un professore presso la Scuola di Evoluzione Umana e del cambiamento sociale e presso la Scuola di Sostenibilità, Direttore del Centro di Matematica, Calcolo e Scienza dei Modelli (http://mcmsc.asu.edu/) nell’Universita’ dell’Arizona
Le dinamiche complesse di malattie emergenti e riemergenti in situazioni in cui sono presenti effetti evolutivi, comportamenti umani di adattamento e politiche di sanità pubblica che includono la cura e la vaccinazione, vengono utilizzati per evidenziare la dinamica della resistenza agli antibiotici, ivi comprese le sfide che emergono nel contesto della sostenibilità. L’11 marzo 2013, Sally Davies, Ufficiale Medico Capo britannico, ha osservato che “il problema dei microbi che stanno diventando sempre più resistenti ai farmaci più potenti dovrebbe essere classificato insieme al terrorismo e ai cambiamenti climatici nella lista dei rischi critici per la nazione… Infatti, mentre l’uso di antibiotici è in aumento – persino nell’allevamento di animali e pesci – anche la resistenza è in costante crescita e la produzione di nuovi farmaci che possono sostituire quelli divenuti inefficaci si sta esaurendo. [In effetti] dal 1987 non sono stati sviluppati né sono in programmazione nuovi antibiotici  “(1)

I matematici usano modelli epidemiologici per studiare l’evoluzione, la dinamica ed il controllo delle malattie, comprese le infezioni nosocomiali od ospedaliere, cioè le infezioni più spesso responsabili della trasmissione di patogeni resistenti. Il più celebre modello di epidemia è dovuta al medico W.O. Kermack e allo statistico A.G.McKendrick. (2). I due ricercatori hanno modellato la dinamica della malattia sotto l’ipotesi che la trasmissione dipenda dall’intensità delle interazioni con gli individui-ospite (strette di mano, baci e altro) e la frequenza di incontri tra suscettibili ed infetti. Nel 1994, Malcolm Gladwell, un giornalista che scrive per la rivista New Yorker, ha proposto una spiegazione plausibile per la crescita o il decadimento di un tipo diverso di malattia, la “malattia” responsabile di epidemie di criminalità in una città. Egli ha osservato che il lato del punto di non ritorno in cui si trova il sistema determina se la criminalità è o non è un problema. La direzione di attraversamento determina una differenza drastica, quando si tratta di attività criminali. (3)

Little Brown Gladwell vede il crimine come un processo di contagio, individua l’esistenza di una soglia critica, comprende e riconosce il significato del superamento di una soglia. Le intuizioni mutuate dalla comprensione dei modelli di contagio, lo ha portato a scrivere numerosi libri in questo ambito. Kermack e MacKendrick erano già a conoscenza delle idee successivamente diffuse da Gladwell. In realtà, erano andati ben oltre, stabilendo alcuni risultati matematici per le malattie infettive già nel 1927. Modelli di contagio per contatto sono ora utilizzati di routine nello studio di popolazioni, della biologia evolutiva e della sanità pubblica. L’uso diretto del modello di Kermack-McKendrick del 1927 e delle sue varianti nello studio della dinamica di resistenza agli antibiotici è quindi naturale. La semplicità del modello di Kermack-McKendrick Suscettibili-infetti ristabiliti, detto Modello SIR, ne ha aumentato la popolarità. La popolazione viene suddivisa in tre categorie: suscettibili S, infetti I (che si suppone essere infettivi) e ristabiliti R (che si suppone essere immuni). Non si tiene conto di nascite e di decessi, come conseguenza del fatto che viene scelta una scala temporale specifica (breve) per studiare la dinamica di contagio. Si suppone che tutti gli individui sono identici e che la popolazione sia sufficientemente grande in modo che l’uso di equazioni differenziali sia ammissibile. Inoltre, si assume che le morti dovute alla malattia in esame siano trascurabili e che non ci siano nascite, di modo che la popolazione rimanga costante e possa essere normalizzata a uno. Infine, si ipotizza che le infezioni derivino dalle interazioni tra suscettibili ed infetti, quantificata attraverso la legge di azione di massa, e che non sia possibile che individui ristabiliti contraggano di nuovo la malattia. Si possono dedurre molte cose da questo modello (che consiste in un sistema nonlineare di tre equazioni differenziali): prima di tutto, che per verificarsi di un focolaio deve essere introdotto un individuo infetto (all’interno di una popolazione di individui suscettibili), che dopo un periodo di infettività 1/g;, gli individui guadagnino una immunità permanente (corrispondente allo spostamento nel compartimento R), che il tasso di successo b; quando è applicato sulla finestra temporale di opportunità 1 / g;, fornisce il rapporto (o numero) di riproduzione di base Ro = b / g;. Un focolaio è possibile se Ro> 1 e la malattia scompare se Ro <1 (partendo dall’assunzione di una popolazione interamente composta di suscettibili). I temi della persistenza, l’evoluzione e l’espansione della resistenza agli antimicrobici sono di grande importanza soprattutto perché il numero di farmaci è limitato e non ne sono stati creati per quasi tre decenni. In altre parole, le previsioni fatte dall’Ufficiale Medico Capo Sally Davies, nonché quelli realizzati un anno prima dal direttore generale dell’Organizzazione mondiale della sanità (WHO), Margaret Chan, sono del tutto coerenti. In particolare, la direzione del WHO, in una riunione di esperti di malattie infettive a Copenaghen, ha notato che siamo di fronte ad una crisi globale di antibiotici con il risultato di una “resistenza in rapida evoluzione tra i microbi responsabili di infezioni comuni che rischiano di trasformarle in malattie incurabili… tutti gli antibiotici sviluppati rischiano di diventare inutili. Un era post-antibiotica significa, in effetti, la fine della medicina moderna come la conosciamo. Cose comuni come il mal di gola o un graffio al ginocchio di un bambino potrebbero tornare ad uccidere… La resistenza antimicrobica è in aumento in Europa e nel resto del mondo. Stiamo perdendo la nostra prima linea anti-microbica (4)”.

I biologi computazionali, matematici e teorici, gli epidemiologi e gli immunologi stanno cercando di trovare il modo di rallentare l’evoluzione della resistenza. L’obiettivo è di mantenere una parco sostenibile di antimicrobici utilizzabili per il trattamento delle infezioni e il modo più efficace per farlo è quello di rallentare l’evoluzione della resistenza. Sono stati pubblicati numerosi articoli con lo scopo di valutare l’efficacia relativa dei protocolli terapeutici, compresa la distribuzione casuale di antibiotici o l’utilizzo di farmaci a rotazione. I risultati, come capita spesso, dipendono dagli obiettivi, che possono includere la riduzione della resistenza ad una singola classe di farmaci o la riduzione di resistenza a multi-farmaci.

1        The Independent, Martedi’ 12 Marzo 2013 Il professor Nigel Brown, presidente della Società di Microbiologia Generale osserva che è necessaria un’azione immediata da parte degli scienziati se si vuole identificare e produrre in massa nuovi antibiotici, e il tipo di sforzo necessario per affrontare il problema della resistenza antimicrobica e la sua trasmissione, in particolare nel contesto di infezioni ospedaliere (Ibid.)

2        Kermack, W.O. and McKendrick, A.G. (1927), Acontribution to the mathematical theory of epidemics, Proc. Royal Soc.London, 115:700-721

3        Gladwell, M. (2000), The tipping point.

4        The Independent,Venerdì 16 Marzo 2012