Sono più di 12 milioni gli italiani vaccinati contro il Sars-Cov-2. E sono oltre 22 milioni quelli che hanno ricevuto almeno una dose. I primi numeri della più grande campagna vaccinale della storia fanno intravedere la luce dopo circa un anno e mezzo. Secondo le stime attuali, l’immunità di gregge dovrebbe essere raggiunta entro i primi di settembre. L’ottimismo dei dati di ricoveri e terapie intensive è giustificato. Ma serve mantenere alta l’attenzione per non buttare alle ortiche quanto fatto, come suggeriscono i modelli matematici.
Nel 1927 gli scienziati William Ogivyl Kermack ed Anderson Gray McKendrick sviluppano un modello per descrivere l’evoluzione di un’epidemia. Dividono la popolazione in tre gruppi: suscettibili, infetti e rimossi. Da qui il nome modello SIR. Si tratta di un sistema di equazioni differenziali del primo ordine che dipendono da alcuni parametri, tra cui: tasso di contagiosità e tasso di guarigione. Da questo sistema è possibile ricavare il valore del numero di riproduzione di base \(R_0\), ossia il numero medio di individui infettati da un soggetto positivo. Se \(R_0>1\), gli infetti cominciano a crescere esponenzialmente.
Il valore di \(R_0\) determina la soglia dell’immunità di gregge \(1-\frac{1}{R_0}\), ovvero la frazione della popolazione da immunizzare per bloccare l’epidemia. In caso di un vaccino con efficacia \(e\), l’immunità di gregge diventa \(\frac{100\times (1-\frac{1}{R_0})}{e}\) (qui i valori per il covid).
Una campagna vaccinale che blocchi ospedalizzazioni e decessi deve partire dalla popolazione più fragile, per età e patologie. Superata questa fase, si passa alle altre fasce della popolazione, ma è qui che le cose rischiano di complicarsi. Alberto d’Onofrio, Piero Manfredi ed Ernesto Salinelli trattano questo problema nell’articolo “Vaccinating behaviour, information, and the dynamics of SIR vaccine preventable diseases”, pubblicato nel 2007 ed ancor più attuale in questo periodo. I tre ricercatori aggiungono alle equazioni del modello SIR una quarta equazione che tiene conto della frazione \(x\) di popolazione che decide di vaccinarsi. Il numero di riproduzione di base diventa \(R_V=R_0(1-x)\). L’epidemia è controllata quando \(R_V<1\). Il valore di x dipende dal parametro informazione \(M(t)\) che tiene conto, in prima approssimazione, del numero degli infetti. Questo parametro decresce rapidamente nel tempo. Infatti quando il numero degli infetti rallenta, il timore per gli effetti avversi del vaccino diventa maggiore del timore di infettarsi e sviluppare la malattia. Ma se \(x\) decresce, allora \(R_V>1\) e l’epidemia non si arresta: i casi tornano a crescere. Solo a questo punto la frazione \(x\) di popolazione che si vaccina ricomincia a crescere. Questo modello è in linea con i dati della pertosse in Gran Bretagna tra il 1963 ed il 2003.
La campagna vaccinale contro Sars-Cov-2 deve proseguire spedita, per incrementare la frazione dei vaccinati \(x\) e tenere al tempo stesso \(R_V<1\), senza dimenticare che la battaglia riguarda tutto il pianeta e che nella frazione \(x\) sono inclusi anche i paesi meno ricchi.
[Illustrazione di Luca Manzo]
