Maurizio Codogno, meglio noto in rete come .mau., racconta come lui vede la matematica, con la scusa di non doverla insegnare né crearne di nuova. Perché i matematici odiano i cavallucci e i cagnolini? Non è una battuta, ma la conseguenza del voler spesso essere estremamente formali.

Douglas Hofstadter ha pubblicato sulla Mathematical Gazette un articoletto dal titolo che potrei tradurre con “Perché i cicli disgiunti commutano? Se preferite, perché i matematici odiano cavallucci e cagnolini?” Ok, il titolo è abbastanza oscuro: se non volete leggere direttamente l’articolo e non siete esperti di combinatoria, vi spiego in poche parole di che parla. Immaginiamo di avere un insieme ordinato di elementi, per esempio (abcdefg) (3165427), e di mischiare – tecnicamente, permutare – i suoi elementi, ottenendo per esempio (cafedbg). Un modo per definire questa permutazione è vedere come cambiano gli elementi nelle varie posizioni. In questo caso la a (in prima posizione) diventa c, la c (in terza posizione) diventa f, la f diventa b, la b diventa a; abbiamo così un ciclo, visto che siamo tornati al punto di partenza. Un altro ciclo è quello con d ed e, e un terzo ciclo, piuttosto banale, è quello che rimane fisso sulla g. Possiamo allora raffigurare la permutazione così: (acfb)(de)(g). Ora possiamo immaginare di applicare più permutazioni una dopo l’altra: un’operazione di questo tipo è pane quotidiano per chi fa matematica. Quello che succede in genere è che questa operazione non è commutativa: conta insomma l’ordine con cui si fanno le operazioni. Faccio un esempio banale: partiamo da un insieme (abc) e dalle permutazioni (ab) e (bc). Se le applichiamo in quest’ordine otteniamo (bca), mentre se usiamo l’ordine opposto arriviamo a (cab). Nulla di strano: la commutatività è una proprietà molto forte, e quindi non capita molto spesso. C’è però un caso in cui le operazioni sono commutative: quando i due cicli non hanno elementi in comune. Riprendendo l’esempio iniziale, se usiamo i cicli (acfb) e (de) l’operazione è commutativa.

Torniamo ad Hofstadter. Nel suo articolo mostra due dimostrazioni tecniche e pieni di gergo tecnico di questo fatto che si possono trovare in libri di testo universitari, e altre due dimostrazioni, sempre su testi universitari, che enunciano il fatto en passant, dicendo che è così ovvio che non servono parole. Doug è un convinto fautore di questo secondo approccio, ma per venire incontro a chi vuole a tutti i costi una dimostrazione ne ha postata una con le foto di alcune figurine: tre elefantini e due modelli dell’Empire State Building. Io per comodità ho preparato un disegno con cavallucci e cagnolini presi da https://svgsilh.com, che potete vedere qui sotto.

Hofstadter dice “Ho dei cagnolini e dei cavallucci colorati in modo diverso per distinguerli, come nella parte alta della figura. Cambio loro posizione, un gruppo alla volta, seguendo le frecce e ottengo la parte bassa della figura. Guardando solo la figura, sapete dirmi se ho lavorato prima sui cagnolini oppure sui cavallucci?” La risposta è ovviamente negativa: fine della dimostrazione. Notate come questa dimostrazione è alla portata di un bambino delle elementari: non c’è nessuna terminologia complicata, e non si fa altro che spostare oggetti. Eppure ci sono tanti matematici che non ne vogliono sapere di cavallucci e cagnolini, e preferiscono le dimostrazioni formali, come detto all’inizio.

Cosa ne penso io? Beh, sono della scuola “cavallucci e cagnolini”. Non che io abbia nulla contro le dimostrazioni formali: anzi sono convinto che Lean sia uno strumento favoloso, e stia cambiando il modo di fare matematica. Sono anche convinto che l’intuizione può farci andare fuori strada: pensate alla prima “dimostrazione” del teorema dei quattro colori, creduta vera per undici anni prima che si scoprisse che non lo era affatto. Ma non dobbiamo pensare che la matematica sia un monolite: ci sono teoremi e teoremi, e in molti casi, come quello dei cicli disgiunti, l’intuizione permette a noi esseri umani di avere una comprensione di cosa sta succedendo molto più completa dello “zitto, e calcola!”. Del resto, quella con cavallucci e cagnolini non è una delle dimostrazioni “per movimento delle mani” che fanno parte del folklore matematico ma è assolutamente valida, anche se non segue gli standard dei manuali scolastici. Il formalismo troppo spinto nasconde quello che sta succedendo, e ci lascia con la sensazione di essere andati da A a B ma non avere visto nulla del panorama tra i due estremi.

Mi pare ci sia qualche timido esempio in questa direzione nei libri di testo delle superiori: ma credo che bisognerebbe avere il coraggio di andare molto più in là. L’esempio che ho avuto ultimamente sotto gli occhi a casa mia è lo studio delle disequazioni, con le rette dei segni delle varie componenti. I miei figli applicano pedissequamente le regole, poi capita che si dimentichino un pezzetto e sbaglino il risultato. Io guardo ad occhio e mi immagino cosa deve succedere, poi verifico che sia davvero così. Ma perché complicarsi la vita più del necessario?

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Maurizio Codogno

Maurizio Codogno, noto online come .mau., è nato a Torino nel 1963, e si è laureato in matematica presso la Scuola Normale Superiore di Pisa e successivamente in informatica a Torino. Autore di numerosi libri di divulgazione scientifica, tra cui “Matematica in pausa caffè” e “Chiamatemi Pi Greco”, ha il suo blog “Notiziole di .mau.” dall’inizio del millennio ed è stato curatore della collana di libri Matematica di Gazzetta dello Sport e Corriere della Sera.