Maurizio Codogno, meglio noto in rete come .mau., racconta come lui vede la matematica, con la scusa di non doverla insegnare né crearne di nuova. Come possiamo pretendere che un povero studente si accorga di un tranello in un problema, se la formulazione usata è fuoviante?

Il Cambridge IGCSE è la versione internazionale della certificazione GCSE, ed è pensata per ragazzi tra i 14 e i 16 anni per i quali l’inglese non è la prima lingua. Quando si tratta di matematica, però, l’inglese non dovrebbe essere un problema. Limitiamoci dunque a un esercizio della sezione matematica.

Una nave viaggia a una velocità di v km/h. Il costo orario della navigazione C (in dollari) è dato dalla formula

C = v² + 3000/v + 100

1. Trovate la velocità che minimizza il costo C, e spiegate perché è un minimo;
2. Trovate pertanto il costo minimo per un viaggio di 150 km.

A vederlo così, l’esercizio non sembra poi così difficile. Per trovare il minimo valore di C rispetto a v, poniamo uguale a zero la derivata C’(v): abbiamo 2v – 3000/v² = 0, da cui v³ – 1500 = 0 e v = ∛1500 (le altre due radici complesse coniugate non hanno senso in questo contesto). Per vedere se il valore trovato è davvero un minimo, calcoliamo la derivata seconda C”(v) = 2 + 6000/v³ che è sempre positiva (no, non possiamo mandare la nave in retromarcia perché non arriverebbe mai alla destinazione). Quindi ∛1500 km/h è la risposta cercata. Nemmeno troppo, tra l’altro, sono poco meno di 11,45 Km/h, ma è un valore che ha comunque senso. Fin qui nulla di strano.

Passiamo ora alla seconda parte. La parola “pertanto” fa pensare di sostituire il valore trovato nella formula: abbiamo così C(∛1500) = (∛1500)² + 3000/∛1500 + 100 ≈ 493,111. Ma questo è il costo orario; dobbiamo calcolare il tempo percorso, che a quella velocità è dato da t(v) = 150/v = 150/∛1500 ≈ 13,104 h, e finalmente moltiplicare questo tempo per il costo orario per ottenere circa 6462 dollari. Ok, un po’ noioso visti i numeri in gioco, ma lo si può fare. E questa è la risposta ufficiale dell’IGCSE.

Peccato che su Reddit AskMath qualcuno abbia notato che quest’ultimo risultato non è corretto! Come è possibile? Banalmente, si è fatta un’assunzione implicita: che il costo minore per uno specifico viaggio si ha quando il costo orario è minore. Ma nessuno ci assicura che viaggiando più velocemente non si possa risparmiare tempo e quindi assorbire il maggiore costo orario! Riprendiamo le nostre equazioni: abbiamo che per definizione un viaggio di 150 chilometri richiede 150/v ore, e costa C = v² + 3000/v + 100. Il costo totale è quindi il prodotto di queste due espressioni, vale a dire T(v) = 150v + 450000/v² + 1500/v. Mettiamo a zero la derivata: T’’(v) = 0 ci dà l’equazione v³ – 100v – 6000 = 0 che ha come unica soluzione reale v = 20 km/h. Per quel valore otteniamo un costo di 4875 dollari, sicuramente inferiore. È vero che il costo orario di navigazione è 625 dollari/ora, contro i 493 dollari/ora della soluzione precedente; ma è anche vero che ci mettiamo solo sette ore e mezzo anziché le 13 ore abbondanti… una soluzione win-win, insomma!

Che possiamo dire, al di là dei conti che abbiamo appena visto? Che qualcuno ha aggiunto erroneamente nel testo del problema quella parolina “pertanto” (“hence” nell’originale). Se avete notato, la seconda parte del problema, nonostante l’equazione complicata – probabilmente il modo più semplice per risolverla è cominciare ad andare a tentativi – ha una soluzione “facile”, che era quella voluta da chi ha proposto il problema. Ma se qualcun altro ha aggiunto quell’“hence”, e un terzo gruppo si è messo a calcolare la risposta senza fare un passo indietro e riguardare il problema da zero si arriva facilmente a questo errore. Il tutto perché si è voluto usare un’equazione che non ha vero senso fisico, tra l’altro… capisco che si volesse avere un’equazione cubica, ma almeno per le velocità in gioco il consumo orario non può crescere più lentamente di quanto si risparmia di tempo. Il punto è che già un povero studente deve spesso combattere con l’istinto di seguire la strada facile senza accendere il cervello per verificare che le ipotesi fatte siano corrette: se si mette anche una formulazione errata il disastro è assicurato.

PS: Mi prendo una pausa ferragostana. Ci rileggiamo il 7 settembre!

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