A inizio settembre 2019, Nicola Arcozzi, analista dell’Università di Bologna, ha iniziato a pubblicare su Facebook una serie di post pubblici, dal titolo Psico-Analisi. Il sottotitolo del primo post recitava Appunti per una “Psicopatologia del tuo docente di analisi matematica”, rivolto agli studenti del primo anno dei corsi STEM. I vari post, via via più elaborati, psicoanalizzano le idiosincrasie del docente di analisi (ma più in generale di matematica) così come appare agli studenti delle materie scientifiche. In questo modo Nicola Arcozzi, in maniera molto auto-ironica, spiega tutti i retroscena che spesso portano noi docenti di matematica a comportarci in un certo modo.

Ho trovato molto spassosa (e molto veritiera) questa psico-analisi del docente di matematica e ho chiesto a Nicola il permesso di pubblicarla qui su Madd:Maths! Spero faccia sorridere (e riflettere) anche voi.

Per vedere tutte le puntate vai alla sottosezione Psico-Analisi del sito.

Psico-Analisi 5b.

Riassumendo, se guardi al tuo docente di analisi come una scatola nera, con input e output, devi sapere che il chip “ricerca” della scatola, a te per ora inaccessibile, modula misteriosamente la risposta della scatola agli input. Vediamo come funziona la cosa con alcuni semplici esempi.

Da un certo punto della sua giovinezza in poi, il tuo analista matematico s’è trovato a contatto con altri studenti e studentesse assai motivati, per cui la matematica era cosa di primaria importanza. Maturando, questa memoria s’è cristallizzata nel docente, il quale, vedendo che mediamente i suoi studenti sono meno motivati ed entusiasti di quel piccolo gruppetto che egli ricorda con tanto piacere, ne deduce che “il livello degli studenti è sempre più basso”.
Questo pessimismo di tipo tipicamente greco-romano (la storia non è altro che la decadenza della condizione umana, che si può al più rallentare, ma non fermare) è largamente diffuso tra i docenti di matematica di ogni luogo ed epoca.

Se fa ancora ricerca, il tuo analista di norma fallisce di raggiungere i propri obiettivi: la ricerca “a colpo sicuro” non ha grande valore, in matematica. Alcuni reagiscono positivamente alla frustrazione, trovando nell’insegnamento una gratificazione compensativa: “Almeno questa cosa la so e la so fare…” “I miei studenti mi stimano per quello che so, anche se i problemi a cui sto lavorando rimangono irrisolti…”
Se hai un insegnante-ricercatore di questo tipo, sei stato fortunato.

Può accadere, al contrario, che il tuo docente sia così assatanato dalla sua attività di ricerca da considerare l’insegnamento come una pura perdita di tempo e la tua classe come un peso ingiustamente caricato sulle sue spalle. Se è così, non hai avuto fortuna.
Vorrei rassicurarti: nei tempi andati ciò accadeva molto più spesso che oggi, in Italia e nel resto del mondo. Negli ultimi decenni l’insegnamento è stato preso molto più sul serio dagli atenei, dai dipartimenti, dai singoli docenti. Girano storie sui docenti del bel tempo antico, da cui si capisce che quel tempo non era sempre così bello.

Lo stesso docente può oscillare schizofrenicamente tra queste due polarità: lo incontri in due semestri diversi e ti sembra essere una persona del tutto diversa.

Il tuo docente, facendo ricerca, sta entro un certo “canone” metodologico, sviluppatosi più o meno nella prima metà del XX secolo. Su questo canone varrà la pena di tornare.
Il fatto è che, soprattutto se è giovane, il tuo docente non riesce proprio a insegnare fuori da quel canone: un ragionamento nel canone del secolo XIX gli sembrerà insopportabilmente impreciso, uno che segue qualche canone post-bellico gli parrà (per tua fortuna!) insopportabilmente pignolo e astratto.
Questo può essere di ostacolo se incontri il tuo docente in un corso di laurea diverso da matematica e fisica, dove il “canone didattico” dovrebbe essere modulato diversamente dal “canone di ricerca”.

Psico-Analisi 6.

Il canone, come dicono i letterati, o paradigma, come preferiscono scrivere i filosofi della scienza, è quell’insieme di fatti, metodi, stili argomentativi e requisiti di rigore su cui la comunità di chi pratica una certa disciplina ha un accordo di massima. In matematica il paradigma è diverso che nelle scienze naturali: i fatti matematici non hanno la stessa natura di quelli fisici o chimici; la matematica ha questa patina di eternità (il teorema di Pitagora è sempre lo stesso dai tempi di Pitagora) che alcuni ammalia e altri repelle; la logica è alquanto stabile nei millenni…
Il canone universalmente accettato oggi s’è andato formando, per quanto riguarda l’analisi, dalla seconda metà dell’Ottocento e l’inizio del Novecento, con alcune novità notevoli che erano mature, diciamo, a metà Novecento. Ciò vuol dire che un articolo di analisi matematica del 1910 è leggibile anche oggi senza troppa fatica interpretativa e uno scritto nel 1940 sembra scritto ieri (ma meglio).

Il tuo docente ha imparato la matematica secondo questo canone, la fa secondo questo canone, la giudica (quando fa da referee anonimo per riviste e case editrici) secondo questo canone. Non ti sorprenda quindi che la insegna con lo stesso canone e all’esame si aspetta di sentirsela raccontare così. [Contrariamente ad altre discipline, lo spazio per il negoziato in matematica è minimo, al limite dell’inesistente: bisognerà affrontare questo tema prima o poi, parlando degli esami].
In breve, se all’esame presenti il tuo argomento nello stile di Isaac Newton o Sofia Kowalewski, non aspettarti l’entusiastico plauso della commissione (“Un nuovo Newton! Una una nuova Kowalewski!”), ma d’essere bocciato con scandalizzato disgusto.
Se, al contrario, presenti l’argomento nello stile terso e tagliente dei logici (“qui applichiamo modus ponens”), non solo non ti basterebbero due ore per dimostrare che 2+5=5+2, ma l’attonita commissione, probabilmente non capendo nulla di ciò che dici, ti boccerebbe comunque (“Lei sembra non sapere ciò di cui sta parlando…”).

La cosa apparentemente curiosa è che il canone non è scritto da nessuna parte. A pensarci bene, ciò non dovrebbe stupirti. Tranne poche eccezioni, i panettieri non sono storici della panificazione e non ci sono manuali su come inventarsi nuovi tipi di pane (esistono singole ricette e indicazioni sulla sicurezza nei forni e sugli aspetti sanitari del prodotto); gli ingegneri fanno il loro lavoro come lo hanno imparato e come continuano a impararlo; eccetera. Nei mestieri non si richiede il massimo livello di consapevolezza e introspezione, a eccezione forse degli psicologi e dei filosofi.
In sostanza, il canone lo si impara per tentativi e errori, vedendolo all’opera e mettendolo in pratica. Ti rincuori sapere che questo paradigma che usiamo oggi funziona abbastanza bene, permette di risolvere problemi anche complicati, si apprende senza impazzire, pare non portare a contraddizioni.

Forse ti può interessare sapere quali sono i capitoli principali del canone, almeno secondo chi scrive.
(a) La “teoria ingenua degli insiemi”, che è poi ciò che viene detto nelle prime lezioni. Quegli strumenti li puoi usare senza timore.
Alcuni docenti ti diranno che si tratta del “sistema di Zermelo-Fraenkel”. La gran parte di loro hanno solo la più vaga delle idee di cosa sia il “sistema di Zermelo-Fraenkel” e perché abbia un qualsivoglia valore. Non è un problema: etichette a parte, quello che ti dicono sugli insiemi funziona alla grande.
(b) Un po’ di logica elementare, gran parte della quale non viene formalizzata (vengono in genere formalizzati alcuni simboli tipo “e”, “o”, “non”, “allora”; i quantificatori “esiste” e “per ogni”; il ragionamento per assurdo e pochissimo altro).
E Goedel? Piace a tutti saperne un po’, ma quelli che usano logica di quel tipo per fare dell’analisi si contano, nel mondo, sulle dita di due mani.
(c) L’idea di “struttura”. Questa divenne centrale con la sistemazione bourbakista (oggetto di infinite discussioni, soprattutto da parte di chi, come chi scrive, non ha letto quasi nulla “di” Bourbaki). Detto molto alla grossa, si tratta di considerare non singoli oggetti (il piano euclideo, la somme tra numeri reali…), ma di creare sistemi di assiomi che permettano di sviluppare simultaneamente la teoria di una gran famiglia di oggetti dalle proprietà similari (tutti gli insiemi in cui posso misurare distanze, tutti gli insiemi con operazioni aventi proprietà analoghe alla somma di reali…).
Si tratta di un’idea molto potente nel “fare” matematica, nell'”ordinare” la matematica e, vedrai, il tuo analista la userà spesso, magari senza mai citare la parola “struttura”.
Un aspettto negativo è che, se si dà la visione “strutturale” della matematica, si rischiano di perdere i singoli oggetti, relegati a esempi. Per esempio, la funzione esponenziale non è “una funzione” qualsiasi: è un personaggio di tutto rilievo, così come Tosca non è un qualsiasi personaggio cantante dell’opera omonima. La zeta di Riemann, di cui hai forse sentito parlare, è importante in sé; pi greco ha più carattere di 134, eccetera.
(d) Le figure non sono matematica. Qui c’è stato forse un eccesso di logicizzazione. Da affermazioni del tutto condivisibili (“ciò che posso mostrare con una figura, posso mostrarlo anche senza”; “la figura di un caso particolare non costituisce una dimostrazione del caso generale”) il canone s’è spinto verso eccessi simbolico-verbali per cui le figure non sono “vera matematica”. Vero è che distinguere tra la figura che “illustra” e quella che “dimostra” richiede esperienza e l’atteggiamento autoritario e iconoclasta non è senza ragioni.
(e) La matematica più perfetta è quella che sembra essere uscita da una mente vasta, ma priva di apparato sensoriale. Non solo: più si parte da nulla, meglio è.
Sappi che esistono sistemi in cui tutto lo scibile matematico sgorga dall’insieme vuoto (e dalla logica): lascio a te decidere se si tratti della dimostrazione della natura divina dell’uomo, o del delirio ontologico di chi s’è fatto troppi acidi.
Il fatto è che, persino chi come chi scrive ci scherza su, non esiste analista al mondo che non abbia (anche) questa visione della propria materia.

di Nicola Arcozzi