A inizio settembre 2019, Nicola Arcozzi, analista dell’Università di Bologna, ha iniziato a pubblicare su Facebook una serie di post pubblici, dal titolo Psico-Analisi. Il sottotitolo del primo post recitava Appunti per una “Psicopatologia del tuo docente di analisi matematica”, rivolto agli studenti del primo anno dei corsi STEM. I vari post, via via più elaborati, psicoanalizzano le idiosincrasie del docente di analisi (ma più in generale di matematica) così come appare agli studenti delle materie scientifiche. In questo modo Nicola Arcozzi, in maniera molto auto-ironica, spiega tutti i retroscena che spesso portano noi docenti di matematica a comportarci in un certo modo.

Ho trovato molto spassosa (e molto veritiera) questa psico-analisi del docente di matematica e ho chiesto a Nicola il permesso di pubblicarla qui su Madd:Maths! Spero faccia sorridere (e riflettere) anche voi.

Per vedere tutte le puntate vai alla sottosezione Psico-Analisi del sito.

Psico-Analisi 4.

Incipit E’ appena iniziata la prima ora del tuo primo corso universitario di analisi matematica. Può essere utile fare una breve ricognizione di ciò che ti trovi di fronte:
-l’analisi matematica: un vasto reticolo di oggetti, fenomeni e conoscenze accumulate nel corso di due millenni, apparentemente scollegate tra loro, eppure annodate nel più grande disordine;
-il testo consigliato di matematica, che cerca di mettere ordine nel reticolo introducendovi una successione logica e gerarchica (questo viene prima, questo viene dopo…);
-il tuo docente, che cerca pure lui di mettere ordine, ma che il 99% delle volte lo fa in maniera diversa dal libro, per cui l’ordine logico-gerarchico viene talvolta invertito, mettendo a rischio la fede che la matematica non sia un’opinione;
-tu e i tuoi compagni, sballottati in mezzo a tutto questo marasma.

Dopo avere enunciato le spietate regole dell’esame finale, il docente inizia a raccontare qualcosa sulle notazioni, gli insiemi, le funzioni, i numeri naturali…
Verso la terza ora il prof enuncia il principio d’induzione: un assioma del tutto intuitivo, che può però essere formulato in decine di maniere criptiche (ciò che il vostro docente ovviamente fa). Poi mette il novello e potentissimo strumento alla prova e, dopo una lavagna di calcoli il cui filo generale sfugge totalmente, si volta soddisfatto e sorridente:
“Abbiamo così, per induzione, una dimostrazione del tutto rigorosa che 2+2+…+2=2n, se a sinistra dell’uguale ci sono n addendi. In particolare: 2+2+2+2+2=2*5=10!”

Psico-Analisi 5a.

Il tuo docente, o la tua docente, sicuramente ha fatto, probabilmente sta facendo, in molti casi farà sino alla pensione della ricerca in analisi matematica. Che nelle università i corsi siano insegnati da persone che fanno ricerca è parte del modello formalizzato da Wilhelm von Humboldt all’inizio dell’Ottocento.
Questo stato di cose è curioso e interessante, penserai, ma non mi riguarda. Nulla di più sbagliato! Devi sapere infatti che le gioie e i dolori, le frustrazioni e le ambizioni di chi ti sta insegnando continuità, differenziabilità, ecc., risiedono in gran parte nell’attività di ricerca passata, presente e programmata per il futuro. La personalità del tuo insegnante è stata formata, spesso deformata, dal suo lavoro di ricerca.
Lo sguardo triste e meditabondo di buona parte di noi analisti, quello che cerchiamo di nascondere dietro un debole sorriso, è ciò che ci hanno lasciato addosso anni di delusioni: problemi non risolti, problemi alla cui soluzione qualcuno è arrivato un attimo prima di noi, problemi risolti di cui nessuno in giro per il mondo ha apprezzato la soluzione, ammesso che qualcuno se ne sia accorto…
Se vuoi prendere le misure del tuo analista matematico, è bene che tu ne sappia qualcosa.
Poiché non è affatto scontato che esista al giorno d’oggi un’attività di ricerca in analisi matematica, meglio dire qualche breve parola in proposito.

– Il mondo è complesso e la matematica riesce a descrivere solo oggetti relativamente semplici (pensa a quanto tempo ci hai messo per studiare matematicamente rette, circonferenze, ellissi e pochi altri tipi di figura). Il cammino della matematica verso la comprensione della realtà è quindi perennemente alla sua infanzia.
– Cercando di spiegare gli universi reali, la matematica ne crea di propri e questi, non appena nati, già pongono al loro interno una serie infinita di nuovi problemi. Come sai bene, inventare l’universo “scacchi” con i suoi oggetti e le sue regole di gioco non fa che aprire il mondo apparentemente infinito, comunque assai vasto, di tutte le possibili partite di scacchi (quindi, rende possibile e naturale una “teoria degli scacchi”).
– Avanzando la tecnologia, cambiano anche le domande sensate a cui la matematica cerca di rispondere. I computer hanno reso trattabili problemi prima fuori dalla nostra portata e ne hanno posti degli altri. In questi anni la grande disponibilità di dati di ogni tipo ha posto il problema di cosa farne e cosa dedurne (cioè, di come analizzarli matematicamente). I robot, al contrario di noi viventi, sono esseri concepiti matematicamente; aumentando la loro interazione col mondo (avendo loro dei “sensi” sempre più fini), la complessità della matematica necessaria per concepirli e utilizzarli è enormemente aumentata. Eccetera.
– L’aumentare delle conoscenze matematiche richiede un continuo lavoro di sintesi, senza il quale tutto questo sapere, diviso in milioni di frammenti, non sarebbe più leggibile, né utile. Il lavoro di sintesi produce un continuo nascere, diramarsi, unificarsi, morire di teorie matematiche.
– Un altro effetto dell’aumentare delle conoscenze della matematica è il crescere della misura della frontiera tra ciò che si sa e ciò che non si sa, così come in un cerchio al crescere del raggio cresce la lunghezza della circonferenza. Se sei chiuso in una stanza senza finestre, la tua curiosità è per ciò che sta appena fuori; ma se sei all’aperto nel mezzo della savana, il mistero è ciò che sta oltre un vasto orizzonte.

In tutto ciò l’analisi ha una posizione del tutto particolare poiché, a partire dai suoi inizi con Newton e Leibnitz, essa s’è trovata in un luogo in cui era costretta a comunicare con tutte le altre discipline, e così è anche oggi.

 

Il canone, come dicono i letterati, o paradigma, come preferiscono scrivere i filosofi della scienza, è quell’insieme di fatti, metodi, stili argomentativi e requisiti di rigore su cui la comunità di chi pratica una certa disciplina ha un accordo di massima. In matematica il paradigma è diverso che nelle scienze naturali: i fatti matematici non hanno la stessa natura di quelli fisici o chimici; la matematica ha questa patina di eternità (il teorema di Pitagora è sempre lo stesso dai tempi di Pitagora) che alcuni ammalia e altri repelle; la logica è alquanto stabile nei millenni…
Il canone universalmente accettato oggi s’è andato formando, per quanto riguarda l’analisi, dalla seconda metà dell’Ottocento e l’inizio del Novecento, con alcune novità notevoli che erano mature, diciamo, a metà Novecento. Ciò vuol dire che un articolo di analisi matematica del 1910 è leggibile anche oggi senza troppa fatica interpretativa e uno scritto nel 1940 sembra scritto ieri (ma meglio).

Il tuo docente ha imparato la matematica secondo questo canone, la fa secondo questo canone, la giudica (quando fa da referee anonimo per riviste e case editrici) secondo questo canone. Non ti sorprenda quindi che la insegna con lo stesso canone e all’esame si aspetta di sentirsela raccontare così. [Contrariamente ad altre discipline, lo spazio per il negoziato in matematica è minimo, al limite dell’inesistente: bisognerà affrontare questo tema prima o poi, parlando degli esami].
In breve, se all’esame presenti il tuo argomento nello stile di Isaac Newton o Sofia Kowalewski, non aspettarti l’entusiastico plauso della commissione (“Un nuovo Newton! Una una nuova Kowalewski!”), ma d’essere bocciato con scandalizzato disgusto.
Se, al contrario, presenti l’argomento nello stile terso e tagliente dei logici (“qui applichiamo modus ponens”), non solo non ti basterebbero due ore per dimostrare che 2+5=5+2, ma l’attonita commissione, probabilmente non capendo nulla di ciò che dici, ti boccerebbe comunque (“Lei sembra non sapere ciò di cui sta parlando…”).

La cosa apparentemente curiosa è che il canone non è scritto da nessuna parte. A pensarci bene, ciò non dovrebbe stupirti. Tranne poche eccezioni, i panettieri non sono storici della panificazione e non ci sono manuali su come inventarsi nuovi tipi di pane (esistono singole ricette e indicazioni sulla sicurezza nei forni e sugli aspetti sanitari del prodotto); gli ingegneri fanno il loro lavoro come lo hanno imparato e come continuano a impararlo; eccetera. Nei mestieri non si richiede il massimo livello di consapevolezza e introspezione, a eccezione forse degli psicologi e dei filosofi.
In sostanza, il canone lo si impara per tentativi e errori, vedendolo all’opera e mettendolo in pratica. Ti rincuori sapere che questo paradigma che usiamo oggi funziona abbastanza bene, permette di risolvere problemi anche complicati, si apprende senza impazzire, pare non portare a contraddizioni.

Forse ti può interessare sapere quali sono i capitoli principali del canone, almeno secondo chi scrive.
(a) La “teoria ingenua degli insiemi”, che è poi ciò che viene detto nelle prime lezioni. Quegli strumenti li puoi usare senza timore.
Alcuni docenti ti diranno che si tratta del “sistema di Zermelo-Fraenkel”. La gran parte di loro hanno solo la più vaga delle idee di cosa sia il “sistema di Zermelo-Fraenkel” e perché abbia un qualsivoglia valore. Non è un problema: etichette a parte, quello che ti dicono sugli insiemi funziona alla grande.
(b) Un po’ di logica elementare, gran parte della quale non viene formalizzata (vengono in genere formalizzati alcuni simboli tipo “e”, “o”, “non”, “allora”; i quantificatori “esiste” e “per ogni”; il ragionamento per assurdo e pochissimo altro).
E Goedel? Piace a tutti saperne un po’, ma quelli che usano logica di quel tipo per fare dell’analisi si contano, nel mondo, sulle dita di due mani.
(c) L’idea di “struttura”. Questa divenne centrale con la sistemazione bourbakista (oggetto di infinite discussioni, soprattutto da parte di chi, come chi scrive, non ha letto quasi nulla “di” Bourbaki). Detto molto alla grossa, si tratta di considerare non singoli oggetti (il piano euclideo, la somme tra numeri reali…), ma di creare sistemi di assiomi che permettano di sviluppare simultaneamente la teoria di una gran famiglia di oggetti dalle proprietà similari (tutti gli insiemi in cui posso misurare distanze, tutti gli insiemi con operazioni aventi proprietà analoghe alla somma di reali…).
Si tratta di un’idea molto potente nel “fare” matematica, nell'”ordinare” la matematica e, vedrai, il tuo analista la userà spesso, magari senza mai citare la parola “struttura”.
Un aspettto negativo è che, se si dà la visione “strutturale” della matematica, si rischiano di perdere i singoli oggetti, relegati a esempi. Per esempio, la funzione esponenziale non è “una funzione” qualsiasi: è un personaggio di tutto rilievo, così come Tosca non è un qualsiasi personaggio cantante dell’opera omonima. La zeta di Riemann, di cui hai forse sentito parlare, è importante in sé; pi greco ha più carattere di 134, eccetera.
(d) Le figure non sono matematica. Qui c’è stato forse un eccesso di logicizzazione. Da affermazioni del tutto condivisibili (“ciò che posso mostrare con una figura, posso mostrarlo anche senza”; “la figura di un caso particolare non costituisce una dimostrazione del caso generale”) il canone s’è spinto verso eccessi simbolico-verbali per cui le figure non sono “vera matematica”. Vero è che distinguere tra la figura che “illustra” e quella che “dimostra” richiede esperienza e l’atteggiamento autoritario e iconoclasta non è senza ragioni.
(e) La matematica più perfetta è quella che sembra essere uscita da una mente vasta, ma priva di apparato sensoriale. Non solo: più si parte da nulla, meglio è.
Sappi che esistono sistemi in cui tutto lo scibile matematico sgorga dall’insieme vuoto (e dalla logica): lascio a te decidere se si tratti della dimostrazione della natura divina dell’uomo, o del delirio ontologico di chi s’è fatto troppi acidi.
Il fatto è che, persino chi come chi scrive ci scherza su, non esiste analista al mondo che non abbia (anche) questa visione della propria materia.

di Nicola Arcozzi