Con questo articolo inizia l’attività di AILA x MaddMaths!, un progetto di divulgazione e comunicazione della logica promosso dall’AILA, pensato per raccontare la logica in tutte le sue sfaccettature. E cominciamo parlando di infinito e dei cardinali inaccessibili. Questo articolo è stato scritto da Vincenzo Dimonte.
Chi segue la divulgazione matematica avrà notato che di recente sono usciti diversi articoli (per esempio su New Scientist, Popular Mechanics, e anche la versione italiana di Wired) che riguardano tutti lo stesso articolo scientifico, con titoli mirabolanti come “I matematici hanno scoperto uno straordinario nuovo tipo di infinito”, oppure “Matematica, è stato scoperto un infinito più infinito degli altri”. L’articolo in questione, non ancora sottoposto a peer-review, si chiama “Large cardinals, structural reflection, and the HOD conjecture”, ed è stato scritto da Juan P. Aguilera (Technische Universität di Vienna), Joan Bagaria (ICREA e Università di Barcellona) e Philipp Lücke (Università di Amburgo). Ma cosa vuol dire “scoprire nuovi infiniti”? L’infinito è infinito, ce n’è soltanto uno, no? In realtà esistono molti, molti tipi di infinito, e in effetti questo nuovo lavoro scompiglia il loro ordine. Proviamo ad addentrarci in questo mondo di infiniti, fino a raggiungere altezze dove anche i concetti di vero o falso iniziano a sfumare e perdersi.
Tutti da piccoli abbiamo giocato a “dire il numero più grande”, e nella girandola di migliaia, milioni, miliardi a un certo punto spuntava sempre qualcuno che con tronfia sicumera esclamava “infinito!”, convinto che questo avrebbe posto fine al gioco, coronandolo vincitore. Magari qualcuno, non ammettendo la sconfitta, provava a rilanciare con “infinito più uno!”. Forse è di questo che stiamo parlando quando parliamo di infiniti più grandi? Non proprio. “Infinito più uno” viene dopo “Infinito”, quindi dal punto di vista dell’ordine è più “grande” (diciamo che è un ordinale infinito più grande). Ma dal punto di vista della grandezza, l’Hotel di Hilbert ci mostra che esiste una corrispondenza biunivoca fra “Infinito” e “Infinito più uno”, quindi hanno la stessa grandezza (diciamo che hanno la stessa cardinalità).
Per quanto facciamo “più uno”, oppure addirittura moltiplichiamo gli infiniti fra di loro, troviamo sempre infiniti della stessa grandezza. Ci è voluto Cantor a dimostrare che in effetti esistono infiniti più grandi. L’infinito che abbiamo visto finora è quello dei numeri naturali, e Cantor ha dimostrato che i numeri reali sono di un infinito superiore, ovvero che non è possibile trovare una corrispondenza biunivoca fra numeri naturali e numeri reali (si dice anche che i numeri reali non sono enumerabili, non è possibile fare una lista di numeri reali, rimarrà sempre qualche numero fuori). E si può andare oltre, e trovare infiniti sempre più grandi. Cantor ha dato il nome di “cardinali” a questi infiniti.
È di questo che parla l’articolo? Non ancora. I nuovi infiniti di cui parla l’articolo in un certo senso trascendono tutto questo, e si chiamano “grandi cardinali”. L’idea alla base di essi è che il passaggio da finito a infinito è un passaggio enorme, che cambia tutte le regole in gioco, e ci si può chiedere se esistano cardinali ai confini di un passaggio analogo. Il primo di questi cardinali si chiama “inaccessibile”, ed è una bella crepa nell’edificio della matematica.
Per capire il perché di questo, dobbiamo intendere la matematica come un sistema assiomatico. Gran parte della matematica che conosciamo deriva da un piccolo numero di assiomi, chiamati ZFC, tutti enunciati molto banali, per esempio “Esiste l’inseme vuoto”, “Esiste un insieme infinito”, e avanti così. L’unico assioma un po’ divisivo è l’Assioma di Scelta, di cui parleremo più avanti. Ma ci sono un paio di problemi, che si chiamano entrambi Gödel. Il primo, dal primo teorema di incompletezza di Gödel, dice che possono esistere delle cose che in ZFC non possiamo dimostrare né vere né false (o meglio, né possiamo dimostrarle, né possiamo dimostrare la loro negazione). Quindi ci potrebbe essere sempre qualcosa al di fuori di ZFC, ma che magari possiamo considerare matematica. Tuttora ci sono decine e decine di enunciati in questo limbo (per esempio il problema di Whitehead o la congettura di Kaplansky), e si sta dibattendo su quale sia il significato epistemologico di ciò. Il secondo, dal secondo teorema di incompletezza di Gödel, ci dice che non possiamo dimostrare in ZFC che ZFC non porta a contraddizioni. Magari qualche assioma è troppo forte, e tutto quello che stiamo facendo non ha senso? Potrebbe essere, e allora una dimostrazione di questo la troveremo prima o poi. Ma se non ci sono contraddizioni, non potremmo mai saperlo con certezza.
E qui si inseriscono i cardinali inaccessibili. L’esistenza di un cardinale inaccessibile, infatti, dimostra che ZFC non è contraddittorio. Ma allora questo ci dice che ZFC non può dimostrare che esistono. Il cardinale inaccessibile è così grande che trascende la matematica stessa, ne sta quasi al di fuori. Siamo in un caso simile al precedente: se l’esistenza di un cardinale inaccessibile è contraddittoria con ZFC, prima o poi ne troveremo una dimostrazione, altrimenti non troveremo mai una dimostrazione che non lo sia.
I cardinali inaccessibili non sono gli unici esistenti. Con il tempo sono stati definiti decine e decine di grandi cardinali, provenienti da aree della matematica molto differenti, come l’aritmetica cardinale, la teoria della misura, lo studio delle partizioni, o la teoria dei modelli. Hanno anche nomi molto bizzarri, qui sotto un esempio:
Quello che ha colpito fin dall’inizio, è che pur provenendo da aree della matematica molto differenti, i grandi cardinali formano una gerarchia. Non è come si potrebbe pensare: per esempio può essere che un inaccessibile sia più grande di un Mahlo. Ma un Mahlo è più “potente” di un inaccessibile, perché se un Mahlo non porta contraddizioni, allora non lo fa neanche un inaccessibile. La cosa strana è che questo ordine di “potenza” è lineare, ovvero sembra che tutti i grandi cardinali scoperti fino a ora (con pochissime eccezioni) sono confrontabili uno con l’altro. E alcuni degli enunciati nel limbo di prima possono, in effetti, implicare i grandi cardinali. La gerarchia dei grandi cardinali è quindi una specie di termometro che ci permette di misurare quanto gli enunciati della matematica che non possiamo dimostrare siano “lontani” dalla matematica (o meglio, da ZFC).
Su questo background arriva l’articolo “Large cardinals, structural reflection, and the HOD conjecture”, che mette in crisi questo quadretto così ordinato. I grandi cardinali introdotti in questo articolo sono due: gli exacting e gli ultraexacting (esigenti e ultraesigenti?). Siamo ai livelli massimi del nostro termometro, quando sta per scoppiare. Sono cardinali nella stratosfera, lontanissimi da ZFC. I cardinali exacting sono così grandi che contengono dentro di sé copie di se stessi, e anche copie di molti insiemi al di fuori di essi, mentre i cardinali ultraexacting sono cardinali exacting che in un certo senso contengono anche il modo in cui sono stati costruiti. In un primo momento sembrano mantenere questa linearità, e infatti questo è il diagramma che mostra la loro posizione:
Analizziamo un attimo questa zona di frontiera. I0 è il più potente cardinale mainstream, ed è stato introdotto da Woodin per esplorare un mondo molto simile a quello dei numeri reali, ma estremamente più grande. Gli insiemi Icaro partono da I0, e sono una gerarchia pensata per sondare i limiti della gerarchia dei grandi cardinali, sono sempre più potenti fino ad arrivare alla contraddizione suprema, che in un certo senso è l’ipotesi più potente di tutte, perché ex falso quodlibet, ed è ciò che è più lontano da ZFC. Ma anche qui, non è così semplice. Le contraddizioni a questo livello, infatti, sembrano arrivare dall’Assioma della Scelta, che sappiamo generare diversi paradossi (per esempio il paradosso di Banach-Tarski). Se togliamo l’Assioma di Scelta, allora queste contraddizioni vengono a mancare, e possiamo continuare la gerarchia con grandi cardinali ancora più potenti, dei colossi primordiali che torreggiano sui grandi cardinali classici. Questi vengono chiamati grandi cardinali choiceless, e sono fondamentali per il futuro della teoria degli insiemi. Sono infatti uno dei protagonisti della HOD Conjecture di Woodin. Provo a spiegarmi. La HOD Dichotomy (che è un teorema) di Woodin dice che o tutti gli insiemi sono molto simili ad insiemi definibili a partire da ordinali, o sono estremamente diversi. Queste due strade proiettano due futuri molto diversi fra loro. Nel primo caso siamo nel futuro dell’ordine: in questo caso, infatti, è possibile costruire un modello molto ordinato, Ultimate-L, che risolve molti, molti problemi della teoria degli insiemi e della matematica. Nel secondo caso, invece, siamo nel caos, e il nostro universo è strapieno di insiemi che non sappiamo come gestire. La HOD Conjecture suppone che siamo nel primo caso, ma i grandi cardinali choiceless sono in contraddizione con essa.
Ora, i cardinali ultraexacting non sono choiceless, ma cose strane accadono quando facciamo interagire questi nuovi grandi cardinali con altri molto più piccoli. Di solito questa è una manovra inerte: un misurabile con un inaccessibile sotto di esso ha la stessa potenza di un misurabile, mentre un misurabile con un inaccessibile sopra di esso è solo leggermente più potente, molto meno di due misurabili, per esempio. Questo è sempre successo per tutti i grandi cardinali. Ma coi cardinali ultraexacting succede una cosa strana: se prendiamo un ultraexacting e sopra un misurabile, troviamo qualcosa di estremeamente più potente di I0, che implica diversi insiemi Icaro. Se poi prendiamo un ultraexacting e un extendible sotto, andiamo in contraddizione con la HOD Conjecture e con Ultimate-L. Quindi ultraexacting ed extendible insieme hanno la forza dei choiceless cardinals, mentre separati sono umilmente sotto I0. È come se avessimo scoperto delle nuove particelle, e queste da sole hanno poca energia, ma se le mettiamo insieme a particelle che hanno ancora meno energia liberano l’equivalente della bomba atomica. Non si è mai vista prima una cosa del genere, e oltre a costringerci a ripensare la linearità dei grandi cardinali, questi risultati mettono anche in crisi la HOD Conjecture, prefigurando un futuro caotico.
Per ora abbiamo più domande che risposte. I cardinali ultraexacting sono gli unici ad avere un comportamento di questo tipo, o ce ne sono altri? Ultraexacting e extendible sono choiceless oppure esiste un qualche insieme Icaro sopra di loro? Alla fine la HOD Conjecture può essere falsificata? C’è ancora molto lavoro da fare, ma è sicuramente un periodo elettrizzante per questa forma di teoria degli insiemi “delle alte energie”.
Guarda la pagina AILA x MaddMaths!
Thank you for such a nice article on our work!