L’ipotesi di Riemann è uno dei grandi problemi irrisolti della matematica, tanto che c’è un premio di un milione di dollari per chi fosse capace di risolverla. Una versione non pubblica di Claude ha affrontato il problema senza tuttavia risolverlo, ma ha compiuto ugualmente qualche progresso interessante. Alessandro Zaccagnini ci spiega meglio cosa è successo.
Quest’estate stanno arrivando in rapida successione diversi annunci su scoperte fatte (o forse sarebbe meglio dire “guidate”) dall’intelligenza artificiale. Ne ha parlato su questo sito recentemente Carlo Nitsch [1 ]C. Nitsch (2026). “La congettura dello jacobiano, un primo traguardo importante per l’IA.” Sito Web MaddMaths!https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/congettura-jacobiano-ia/, nel descrivere la confutazione della congettura dello jacobiano (vai a questa pagina per gli articoli recenti di MaddMaths! su Matematica e Intelligenza Artificiale). Da qualche giorno circola un articolo il cui autore è semplicemente “Claude” nel quale si migliora drasticamente una limitazione inferiore per una certa quantità che riguarda la Congettura di Riemann.
Ho già parlato qui su MaddMaths! della Congettura di Riemann almeno in tre occasioni: qui in modo più divulgativo[2 ]A. Zaccagnini (2016). “Una Versione Elementare Della Congettura Di Riemann.” Sito Web MaddMaths!https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/una-versione-elementare-della-congettura-di-riemann/, qui[3 ]A. Zaccagnini (2021). “Una Passeggiata Aleatoria Ci Porterà Sulla Vetta Della Congettura Di Riemann?” Sito Web MaddMaths!https://maddmaths.simai.eu/ricerca/aleatoria-riemann/. e nella settima giornata del “Dialogo sopra i numeri primi”[4 ]A. Zaccagnini (2021). Dialogo Sui Numeri Primi — Un Dialogo Galileiano. Roma: I librini di MaddMaths! https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/zaccagnini-dialogo-ebook/.. Ricordo solamente che esistono molti modi equivalenti per enunciarla: uno riguarda la distribuzione degli zeri della funzione zeta di Riemann, un altro la distribuzione dei numeri primi; il fatto che siano collegate cosí strettamente due cose cosí apparentemente distanti è forse la scoperta piú importante di Riemann in questo campo [5 ]G. F. B. Riemann (1859). “Über Die Anzahl Der Primzahlen Unter Einer Gegebenen Grösse.” Monatsber. Königl. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 671–80.. In coda a questo articolo darò delle formule che rendono visibile la connessione.
Riemann ha dimostrato che la funzione zeta (che oggi porta in suo nome, ma è stata introdotta da Eulero un secolo abbondante prima di lui), inizialmente definita sul semipiano dei numeri complessi di parte reale \(> 1\), può essere estesa ad una funzione meromorfa, con un unico polo nel punto \(s = 1\). Questa funzione ha infiniti zeri nella striscia dei numeri complessi di parte reale compresa fra 0 ed 1, detta “striscia critica”; questi zeri sono simmetrici rispetto all’asse reale (per il principio di riflessione) ma anche rispetto alla retta bisettrice della striscia critica, detta “retta critica.” Riemann ha calcolato la posizione di alcuni di questi zeri, e ha scoperto che le loro parti reali sono tutte esattamente uguali ad \(\frac12\); ha aggiunto di aver tentato di dimostrare che questo fatto è vero per tutti gli zeri in questa striscia, di non esserci riuscito e di essere passato ad altro (sic!). Questa è passata alla storia come la Congettura di Riemann. Subito dopo la Seconda Guerra Mondiale, Alan Turing ha usato uno dei primi calcolatori elettronici per cercare di confutarla, ma non ci è riuscito: ha calcolato la posizione esatta di qualche centinaio di zeri, e sono tutti sulla retta critica; oggi se ne conoscono oltre \(10^{13}\).
Il risultato dimostrato dall’intelligenza artificiale riguarda un risultato approssimato proprio su questa questione. Ma come approssimare l’Ipotesi di Riemann? O tutti gli zeri stanno sulla retta oppure ce n’è qualcuno al di fuori: come è possibile approssimare una dicotomia apparentemente cosí netta?
Proviamo a dare qualche definizione: dato un numero reale \(T\) (che faremo tendere ad infinito) contiamo quanti sono gli zeri della funzione zeta che hanno parte reale compresa fra 0 ed 1, e parte immaginaria compresa fra 0 e \(T\); chiamiamo questo numero \(N(T)\). Chiamiamo \(N_0(T)\) il numero di zeri che hanno parte reale esattamente uguale ad \(\frac12\) e parte immaginaria fra \(0\) e \(T\). Con questa notazione, possiamo formulare la congettura di Riemann dicendo che \(N_0(T) = N(T)\) per ogni \(T \ge 0\); naturalmente \(N_0(T) \le N(T)\) per ogni \(T \ge 0\). Riemann ha scoperto una formula che permette di calcolare \(N(T)\) con un grado di precisione arbitrario; la dimostrazione rigorosa è stata data da von Mangoldt qualche decennio dopo il lavoro di Riemann. Qui ci basta sapere che \(N(T) \to +\infty\) quando \(T \to + \infty\). Il grande matematico britannico G.H. Hardy è stato il primo a dimostrare, nel 1914, che anche \(N_0(T)\) tende ad infinito. Il norvegese Atle Selberg ha dimostrato nel 1942 che esiste un numero \(c \in (0, 1)\) tale che valga
\[ (\star)\ \ \ \ \frac{N_0(T) }{N(T)}\geq c – \varepsilon\]
Per T da un certo \(T_0(\varepsilon)\) in poi, ma senza determinare un valore di \(c\) ammissibile; un risultato di pura esistenza, potremmo dire.
Possiamo interpretare \(c\) come una “percentuale” e affermare, un po’ impropriamente ma efficacemente, che almeno il \((100 \times c)\)% degli zeri sta sulla retta critica. Piú concretamente, nel 1974 Norman Levinson ha dimostrato che \(c = \frac13\) è ammissibile, come dire che almeno il 33.3% degli zeri sta sulla retta critica; questo risultato è stato migliorato da Brian Conrey nel 1989, che ha portato il valore di \(c\) a \(\frac25\), cioè al \(40\)%. I miglioramenti degli ultimi decenni sono stati minuscoli, e fino a qualche giorno fa il record era circa il 42%. Il risultato appena annunciato, che si può scaricare da qui [6 ] Claude (2026). https://www-cdn.anthropic.com/564f962e60643842f5fcb4a17c9dbc8f608f1c37.pdf, porta il valore ammissibile oltre \(\frac23\), cioè circa il 67%. Naturalmente è troppo presto per dire se il risultato sia corretto o meno, anche se i controlli effettuati con Lean sembrano mostrarne la correttezza.
Rivisitazione di un celebre meme
Commento su X del matematico Alex Kontorovich
Si impone in ogni caso una riflessione: l’Intelligenza Artificiale ha introdotto idee nuove o ha rielaborato cose già note? In fondo i miglioramenti appena descritti hanno le loro radici nel lavoro di Hardy, introducendo strategie sempre piú efficienti nella scelta di alcune funzioni, ma non limitandosi a questo: ad ogni passaggio sono state introdotte idee nuove. Nell’articolo appena reso pubblico, si dice che il punto di partenza è stato un lavoro del 1973 di Hugh Montgomery, recentemente esteso da un gran numero di ricercatori, tra cui Daniel Goldston; sono stati utilizzati anche risultati di Enrico Bombieri. Ad una prima, veloce, lettura, non mi è chiaro se siano state necessarie nuove idee; l’intelligenza artificiale ha solo ottimizzato alcune stime o ci fa fare un salto qualitativo in avanti? C’è una bella differenza: per il momento sarei prudente e non parlerei di risultato rivoluzionario.
No offense intended towards Deedy, who I’m sure means well, but this is *exactly* the kind of thing we were talking about earlier today on “science” done by Twitter, as opposed to journal refereeing / expert consensus (which takes place privately, in corridors and email).… https://t.co/gnWe5pnjgT
Una situazione simile, sempre restando all’interno della teoria della funzione zeta, si è verificata di recente con l’articolo di Guth & Maynard [7 ]L. Guth & J. Maynard. (2026). “New Large Value Estimates for Dirichlet Polynomials.” Ann. Math. 203 (2): 623–75. https://doi.org/https://doi.org/10.4007/annals.2026.203.2.6, pubblicato su “Annals of Mathematics” e descritto in [8 ]A. Zaccagnini (2024). “Un Piccolo Passo Per Un Uomo ….” Sito Web MaddMaths!https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/piccolo-passo-zac/., nel quale sono state migliorate altre stime legate alla distribuzione degli zeri della funzione zeta (l’aspetto “orizzontale”); non si è trattato di una semplice ottimizzazione, ma sono state introdotte nuove tecniche. Ma forse l’esempio piú semplice è lo straordinario risultato di Yitang Zhang sui primi gemelli, e del suo successivo miglioramento di James Maynard, che ho discusso qui[9 ]A. Zaccagnini (2013). “Il Cerchio Si Stringe Intorno Ai Primi ‘Gemelli’.” Sito Web MaddMaths!https://maddmaths.simai.eu/divulgazione/il-cerchio-si-stringe-intorno-ai-primi-gemelli/.. Ulteriori miglioramenti potrebbero essere guidati dall’Intelligenza artificiale? Assolutamente sí, perché (almeno in parte) si possono ricondurre all’esame di moltissime configurazioni di numeri interi tra cui scegliere quelle “giuste” per i primi gemelli e in questo il calcolo automatico è imbattibile, come mostra il controesempio alla congettura dello jacobiano citato all’inizio. Personalmente, mi sembra che il risultato di Guth & Maynard sia potenzialmente piú interessante e profondo di quello appena annunciato. Per qualche dettaglio matematico in più cliccate sul pulsante qui sotto.
Approfondimento per chi vuole saperne di piú. Clicca per leggere
Negli articoli già citati ho raccontato la connessione tra numeri primi e Congettura di Riemann; per non ripetermi troppo ricordo solo l’essenziale. Tradizionalmente si indica con \(\pi(N)\) il numero di numeri primi che non superano \(N\); alla fine del XVIII secolo Gauss ha congetturato che \(\pi(N) \sim \mathrm{li}(N)\), dove \[\mathrm{li}(N)
=
\int_2^N \frac{\mathrm{d} t}{\log(t)}.\] Dal punto di vista della relazione asintotica, sarebbe piú semplice usare la funzione \(N / \log(N)\), congetturata in effetti da Legendre contemporaneamente a Gauss, ma nelle applicazioni è necessario avere buone stime per \(\pi(N) – \mathrm{li}(N)\) che, come Gauss aveva intuito, sono migliori delle stime per \(\pi(N) – N / \log(N)\). Questo è stato rigorosamente dimostrato alla fine del XIX secolo, in modo quantitativo; si tratta del Teorema dei Numeri Primi. La Congettura di Riemann equivale a dire che \(\pi(N) = \mathrm{li}(N) + \mathcal{O} \bigl( N^{1 / 2} \log(N) \bigr)\); questa è la situazione ottimale, a parte eventualmente l’esponente della funzione logaritmo.
I risultati discussi all’inizio dell’articolo non si riflettono direttamente sui numeri primi o sul problema di ottenere buone stime per \(\pi(N) – \mathrm{li}(N)\): cerchiamo di capire perché. Nel nostro caso, dire che il 100% degli zeri si trova sulla retta critica può non voler dire che tutti sono là, perché si tratta pur sempre di una relazione asintotica (ricordiamo la locuzione “quasi tutti” che si usa in teoria della misura o in probabilità). Facciamo il caso semplice in cui c’è un singolo zero \(\frac34 + \mathrm{i}\gamma\), diciamo, per qualche \(\gamma > 0\), e che tutti gli altri siano sulla retta critica; in altre parole, \(N_0(T) = N(T) – 1\) per \(T \ge \gamma\). Se le cose stessero cosí, avremmo comunque che \(c = 1\) è ammissibile (ricordiamo la definizione di c nell’equazione \((\star)\) qui sopra). In questo caso, si dimostra che \(\pi(N) – \mathrm{li}(N) \ne o \bigl( N^{3 / 4} \bigr)\) (a parte una eventuale potenza di \(\log(N)\), per essere pignoli fino in fondo). Piú in generale, potrebbe accadere che \(N_0(T) / N(T) \to 1\) e contemporaneamente \(N(T) – N_0(T) \to +\infty\); in questo caso, se l’estremo superiore delle parti reali degli zeri valesse 1, allora \(\pi(N) – \mathrm{li}(N) \ne o \bigl( N^{1 – \varepsilon} \bigr)\) per ogni \(\varepsilon > 0\).
Per approfondire la Congettura di Riemann si può leggere [10 ]A. Zaccagnini (2014). “Breve Storia Dei Numeri Primi.” Ithaca: Viaggio Nella Scienza III: 67–83. http://siba-ese.unisalento.it/index.php/ithaca/article/view/13813. oppure il mio articolo in uscita a dicembre [11 ]A. Zaccagnini (2026). “La Congettura Di Riemann.” Matematica, Cultura e Società, 11 (3. Dicembre 2026),
Postilla aggiunta il 4 settembre 2026
La situazione è in rapida evoluzione e si rende necessario un piccolo aggiornamento. Nell’articolo discusso qui sopra si cita il lavoro di Baluyot, Goldston, Suriajaya e Turnage-Butterbaugh [12 ]S. A. C. Baluyot, D. A. Goldston, A. I. Suriajaya, C. L. Turnage-Butterbaugh. 2026. “Pair Correlation of Zeros of the Riemann Zeta Function I: Proportions of Simple Zeros and Critical Zeros.” https://arxiv.org/abs/2501.14545. come base del miglioramento ottenuto. Presentando la loro nuova versione del \(1^\circ\) settembre, questi autori sottolineano il fatto che il loro articolo è stato sottoposto per la pubblicazione a giugno ed è in attesa di revisione da parte dei referee. In effetti ottengono lo stesso risultato dell’Intelligenza Artificiale, ma con un’ipotesi tecnica in piú; quindi il loro lavoro è precedente ma piú debole dal punto di vista formale. Questo fatto conferma la mia affermazione che le idee usate dalla IA sono per la maggior parte già note.
Ma non è finita qui. La mattina del 3 settembre è comparso su arxiv un nuovo risultato di Youness Lamzouri (Lamzouri 2026), in cui ottiene esattamente lo stesso risultato della IA, partendo sempre dall’articolo di Baluyot ed altri, ma con una dimostrazione “concettualmente piú semplice,” per usare le parole esatte dell’autore. Infatti Lamzouri riesce a rimpiazzare la parte piú intricata della dimostrazione di Claude usando tecniche derivate dalla teoria degli spazi di Hilbert, il che gli permette di applicare direttamente i risultati di Montgomery e quelli di Baluyot ed altri che ho già ricordato, nella versione in cui non c’è bisogno dell’ipotesi tecnica aggiuntiva. Questa nuova dimostrazione è molto piú breve, e sembra piú elegante, di quella data dall’IA.
E c’è ancora altro da dire: la mia piccola “profezia” si è avverata molto piú velocemente di quanto potessi pensare. Il giorno dopo, Ken Ono ha annunciato un piccolo miglioramento nella stima di Maynard sui primi gemelli (già migliorata da PolyMath) dovuto a Julia Stadlmann, che è stato immediatamente amplificato dall’uso della IA. Piú in dettaglio, Maynard ha dimostrato che esistono infinite coppie di numeri primi consecutivi la cui differenza non supera 600, e il progetto PolyMath (un gruppo di matematici umani guidato da Terence Tao) ha abbassato il limite a 246. Julia Stadlmann è riuscita ad ottenere 240, e subito dopo un gruppo di umani tra cui appunto Ken Ono ha portato questo valore a 212; lo stesso Ono riporta che una diversa IA sarebbe in grado di ottenere 186. La congettura dei primi gemelli corrisponde ad abbassare ulteriormente questo valore a 2.
Si pone a questo punto il problema filosofico: l’IA sta introducendo idee nuove? La IA sta stimolando i matematici a dare il meglio di sé? Come sarà la ricerca matematica del futuro?
S. A. C. Baluyot, D. A. Goldston, A. I. Suriajaya, C. L. Turnage-Butterbaugh. 2026. “Pair Correlation of Zeros of the Riemann Zeta Function I: Proportions of Simple Zeros and Critical Zeros.” https://arxiv.org/abs/2501.14545.
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