Intervista a Marco Abbadini, ricercatore all’Université catholique de Louvain e vincitore dei premi AILA «Paolo Gentilini» e «Ada Lettieri» per le sue ricerche tra logica, algebra e topologia.

Ciao Marco! Quest’anno hai vinto ben due dei premi che l’AILA bandisce: il Premio Gentilini e il Premio Lettieri, complimenti! Mentre il Premio Gentilini riconosce il tuo percorso di ricerca nel suo insieme, il Premio Lettieri premia uno specifico articolo che abbiamo già parzialmente raccontato su MaddMaths!. Ci racconti di cosa ti occupi, e magari ci spieghi in parole accessibili cosa studi?

Grazie! È stato un grande onore ricevere questi premi. È anche molto bello che l’AILA li bandisca, perché rappresentano un importante sostegno per i giovani ricercatori in logica.

Nel mio lavoro, mi occupo di logica utilizzando strumenti di algebra e geometria. Infatti, le formule logiche formano una struttura algebrica, in modo analogo a come i polinomi formano un anello. Per esempio, le formule della logica proposizionale classica formano un’algebra di Boole, e logiche diverse danno luogo a strutture algebriche diverse. Ciò consente di usare strumenti di algebra, e fornisce un primo livello di semplificazione. Un’ulteriore semplificazione è data dal collegamento che l’algebra ha con la topologia, che è lo studio degli spazi. Per fare un parallelismo, al polinomio \(x^2 + y^2 – 1\), che è di per sé un’espressione simbolica manipolabile algebricamente, possiamo associare la figura formata dai suoi zeri, cioè dalle soluzioni dell’equazione \(x^2+y^2−1=0\): il cerchio. Nell’ambito della logica, il collegamento tra algebra e topologia emerge come una corrispondenza tra algebre di formule e spazi di modelli. Nella mia ricerca, sviluppo e utilizzo collegamenti tra strutture algebriche e strutture topologiche per diverse logiche. Il vantaggio è che attraverso questo ponte posso utilizzare intuizioni spaziali per risolvere problemi algebrici: domande sulle formule e sulle dimostrazioni diventano domande sulle proprietà di certi spazi.

Grazie mille per questa panoramica. Abbiamo visto quanto la logica sia ampia. Cosa ti ha portato a scegliere proprio questo ambito e come è nata la tua passione per questa materia?

Fin da piccolo mi sono piaciuti gli indovinelli, e col passare degli anni quelli che mi piacevano avevano un sapore sempre più logico. Quando studiavo all’università, la logica mi ha incuriosito perché sembrava richiedere idee diverse dal resto della matematica: ad esempio, come si può mostrare che l’ipotesi del continuo non è né dimostrabile né confutabile? Un’altra cosa che mi ha colpito è stata scoprire che quello che credevo di sapere sugli insiemi non era vero: pensavo che qualsiasi collezione di cose formasse un insieme, ma Russell ha mostrato che questo approccio porta a una contraddizione: il famoso paradosso di Russell. Questo ha creato dei punti interrogativi in me.
Più recentemente, la logica mi ha interessato anche per ragioni “estetiche”. Mi piacciono le dimostrazioni che trattano tutti i casi in modo uniforme, senza ricorrere a distinzioni artificiali. Ho notato che molte delle dimostrazioni che trovo più eleganti sono proprio quelle che funzionano nella logica intuizionista, anche detta logica costruttiva. Per esempio, se si dimostra che due insiemi definiti in modo molto diverso sono in biezione, mi chiedo: è solo una coincidenza oppure esiste davvero una corrispondenza naturale tra i due? Una dimostrazione intuizionista implica che quella biezione non solo esiste, ma è in qualche senso naturale, perché uno può renderla esplicita.

La logica algebrica lavora molto su strutture che “catturano” proprietà di sistemi formali. C’è un momento nel tuo lavoro in cui la struttura algebrica ti ha sorpreso, cioè in cui il formalismo ti ha restituito qualcosa di inaspettato rispetto al problema da cui eri partito?

Un esempio semplice riguarda la seguente domanda, che ho considerato in vista di una lezione: se ho una teoria che parla di certi oggetti, e poi le affianco un’altra teoria che parla di oggetti completamente indipendenti, posso ottenere nuove informazioni sui primi oggetti?

A prima vista verrebbe da dire di no. Se le due teorie parlano di mondi separati, perché mai la seconda dovrebbe dirmi qualcosa di nuovo sulla prima?

In realtà la risposta è: no, salvo un unico caso limite. Me ne sono accorto traducendo prima il problema in algebra e poi, grazie al collegamento tra algebra e topologia, in una semplice domanda sugli spazi. La domanda diventa: dati due insiemi \(X\) e \(Y\), la proiezione \(X\times Y \to X\) è suriettiva? (A essere precisi, dovremmo assumere che \(X\) e \(Y\) siano spazi di Stone, ma questo non è importante per la risposta.) La risposta è che la proiezione \(X \times Y \to X\) è sempre suriettiva, con un’eccezione: il caso in cui \(Y\) è vuoto e \(X\) è non vuoto.

Tradotto in algebra e poi in logica: l’unico caso in cui l’aggiunta di una teoria completamente scollegata cambia ciò che si può dedurre nel linguaggio originario è quando la nuova teoria è inconsistente, cioè contiene una contraddizione (cioè lo spazio dei modelli è vuoto), mentre la teoria di partenza è consistente (cioè lo spazio dei modelli è non vuoto). In questo caso, anche se la nuova teoria parla di oggetti del tutto scollegati dai primi, ha un effetto sulla teoria originale. Non perché aggiunga davvero informazione interessante, ma perché una teoria contraddittoria, nella logica classica, fa collassare il sistema: da una contraddizione si può dedurre qualunque cosa.

Quello che mi affascina è che il formalismo non si limita a riscrivere il problema, ma a volte lo mette nella forma in cui la risposta diventa più facilmente visibile.

Concludiamo con una riflessione più ampia. È noto che è sempre più difficile per un giovane ricercatore stabilizzarsi in maniera permanente in Italia, e il tuo percorso ne è un esempio concreto. Come ha impattato questa mobilità continua sulla tua carriera e sulla tua vita? Quale consiglio ti sentiresti di dare a chi decide di intraprendere la carriera accademica?

In effetti, mi sono spostato più volte. Dopo il dottorato a Milano, sono stato a Salerno e in Inghilterra; ora, a 33 anni, sono in Belgio. Ho un contratto di tre anni e non so ancora dove mi troverò in futuro. Questa continua mobilità ha avuto effetti di diverso tipo. Sul piano scientifico e culturale, spostarmi è stato arricchente perché mi ha permesso di conoscere ambienti e persone molto diversi. Sul piano personale, però, ogni trasferimento comporta separazioni e la difficoltà di progettare a lungo termine: pensare che a breve te ne andrai non incoraggia a mettere radici profonde. Inoltre, l’incertezza sul futuro è una fonte continua di stress, e alimenta in me una pressione costante ad essere più produttivo, compromettendo più volte l’equilibrio tra vita privata e lavoro.

La difficoltà a stabilizzarsi è un grande problema per i giovani ricercatori, e purtroppo l’iter accademico non è sempre conciliabile con le esigenze della vita privata: ho conosciuto giovani ricercatori di grande talento che hanno dovuto abbandonare l’accademia per raggiungere la stabilità di cui avevano bisogno.

A chi decide di intraprendere la carriera accademica direi di prepararsi a qualche sacrificio, ma anche di affrontarla con entusiasmo, perché riserva grandi gioie e soddisfazioni: scoprire la bellezza della matematica e la libertà della ricerca, incontrare nuove persone brillanti, collaborare, scrivere un articolo, creare qualcosa di proprio, come un artista con la sua opera. Consiglio di lavorare assieme ad altri colleghi: in gruppo è più divertente e il risultato è migliore. Inoltre, è importante partecipare a conferenze, conoscere altri ricercatori e presentare i propri risultati, anche se parziali. Infine, incoraggio a non avere paura di cambiare città e Paese per coltivare la propria passione: per me ne è valsa la pena.

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