Un’idea classica nella teoria delle superfici, formulata nel 1867 dal matematico francese Pierre Ossian Bonnet,  afferma che, se la metrica e la curvatura media di una superficie compatta sono note in ogni punto, la geometria della superficie può essere determinata in modo univoco. Questa idea è stata ampiamente accettata per oltre 150 anni, sebbene nel tempo siano emersi sospetti circa la possibile esistenza di eccezioni. Per chi se lo stesse chiedendo: la metrica descrive le distanze sulla superficie, mentre la curvatura media indica quanto la superficie si incurva verso l’esterno o verso l’interno nello spazio. Non dovrebbe stupire il concetto secondo cui informazioni locali siano in grado di fornire indicazioni sulla forma globale di una superficie; è quello che, banalmente, si può fare per la Terra, la cui sfericità si può desumere tramite misure locali, come per esempio distanze e angoli sulla sua superficie.

Le possibili eccezioni a questa regola sono chiamate “Coppie di Bonnet”, ossia superfici con stesse proprietà locali ma forma globale diversa e, finora, ne erano state individuate solo di tipo “non compatto”, come superfici che si estendono all’infinito in una direzione, per esempio un piano, o che terminano in corrispondenza di bordi definiti.

Ora, invece, un team di tre matematici della Technische Universität Berlin, della Technical University of Munich (TUM) e della North Carolina State University negli Stati Uniti, ha ribaltato l’idea di Bonnet, costruendo due diverse superfici a forma di ciambella con la stessa metrica e la stessa curvatura media. Un controesempio sfuggito ai ricercatori per decenni. “Siamo stati in grado di costruire due superfici compatte a forma di ciambella, i ‘tori’, con la stessa metrica e curvatura media, anche se le loro strutture globali sono diverse”, spiega Alexander I. Bobenko della TU di Berlino.

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Essendo finora note eccezioni al principio  di Bonnet solo nel caso di superfici non compatte, si riteneva che per superfici compatte, come le sfere, la metrica e la curvatura media fossero sufficienti a determinarle univocamente. Tuttavia, nel caso di superfici toroidali (ossia a forma di ciambella), che sono anch’essi compatti, studi teorici avevano dimostrato che una data metrica e una data curvatura media possono corrispondere a un massimo di due superfici distinte. E per decenni, i matematici e le matematiche hanno cercato invano un esempio concreto. Ora però c’è stata una svolta.

“Dopo molti anni di ricerca, siamo riusciti per la prima volta a trovare un caso concreto che dimostra che, anche per superfici chiuse a forma di ciambella, i dati di misurazione locali non determinano necessariamente un’unica forma globale”, afferma Tim Hoffmann, professore di topologia computazionale applicata presso la TUM. “La geometria differenziale discreta ha giocato un ruolo cruciale nella nostra ricerca”. Si tratta di un tipo di approccio in cui si lavora con versioni “pixelate” delle superfici e, utilizzando anche una versione modificata delle formule di classiche di Darboux, i matematici sono riusciti a creare questa coppia di tori, che hanno una forma molto contorta (addirittura si intersecano) ma dimostrano che il fenomeno può verificarsi: esistono due ciambelle che localmente sono identiche ma in realtà sono diverse. Qualche giorno fa, l’articolo ha vinto il premio 2026 Frontiers of Science Award all’International Congress of Basic Science (ICBS).