Qual è il più grande divano che può essere spostato in un corridoio con una curva ad angolo retto? Questo potrebbe sembrare, ad un primo sguardo, un problema di facile soluzione, ma in realtà è tutt’altro che banale. 

Di Alice Sepe [pubblicato il 23 dicembre 2009]

Quando e dove per la prima volta sia stato posto questo problema non si sa, ma esso è stato sicuramente citato nel 1960 da John Hortan Conway. Oggi, dopo 50 anni, tale problema non è stato ancora risolto, nonostante molti ricercatori abbiamo affrontato il suo studio con avanzate tecniche matematiche.

Il problema è molto facile da descrivere: si vuole costruire il divano massimale, ovvero il più grande possibile, che riesca a passare in un corridoio di larghezza 1 con una curva ad angolo retto (figura 1). Per studiare tale problema basta considerare il caso bidimensionale. Infatti, determinata la base massimale del divano, otterremo il suo volume semplicemente moltiplicando l’area della forma ottenuta per l’altezza.

Osservando il corridoio, la prima forma possibile per il divano che viene in mente è sicuramente quella di un quadrato con lato di lunghezza 1 (figura 2). Con questa forma sicuramente il divano passa attraverso il corridoio ed ha area pari ad 1.

Un’altra possibilità è quella di un divano rettangolare. Affinché tale figura passi all’interno del corridoio e, soprattutto, riesca a completare la curva, i suoi lati posso avere al massimo lunghezza uguale a $$\sqrt{2}$$ e   $$\sqrt{2}/2$$  , quindi la sua area sarà sempre uguale a 1 (figura 2).

Non aumenta l’area del divano se esso ha forma triangolare. Infatti il tringolo più grande che riesce a passare nel corridoio è un triangolo rettangolo isoscele con cateti di lughezza  $$\sqrt{2}$$ (figura 3).

Le forme viste sono quelle che istintavamente, fatta eccezione per il triangolo, vengono in mente pensando ad un divano e contengolo tutte almeno un angolo retto. Per aumentare l’area del divano è invece necessario abbandonare questa forma-mentis.

Considerando infatti una forma trapezoidale si può costruire un divano con area    $$1/2+\sqrt{2}/2$$ , ovvero circa 1,21 (figura 3). Ma è proprio questa la forma massimale del divano? Osservando il divano trapezoidale che si muove all’interno del corridoio si può facilmente dedurre che la risposta è negativa. Infatti ci sono molte parti del corridoio che “restano vuote” al passaggio del divano.
Ma che forma potrebbe allora avere il divano? Il triangolo visto prima può suggerire una nuova possibilità (figura 4). Infatti, ruotando il triangolo si osserva che i suoi vertici descrivono una semicirconferenza. Allora, considerando un divano di questa forma, ovvero una semicirconferenza con raggio di lunghezza 1, esso avrà area uguale a $$\pi/2$$ che è circa 1,57.

Abbandonando quindi le forme squadrate si ottiene un divano molto più grande. Ma si può ingrandire ulteriormente l’area del divano scelto.
Dividendo la semicirconferenza in due settori circolari, si osserva che il divano passa attraverso il coridoio anche se tra i due settori si inserisce una figura ottenuta togliendo ad un rettangolo una semicirconferenza di raggio $$r=2/\pi$$  (figura 5).  Questa forma è stata proposta da J. M. Hammersley, che ha dimostrato che la sua area è pari a 2,2074.

In realtà questa non è ancora la forma massimale. J. Gerver ha costruito un divano più grande, la cui forma è stata ottenuta componendo in modo opportuno dei pezzi di 18 curve diverse. Gerver ha provato che tale divano passa attraverso il corridoio ed ha area uguale a 2,2195, ma non che esso sia effettivamente il divano massimale.

Il problema del divano quindi è ancora aperto, se volete saperne di più potete guardare la pagina di Wolfram Mathworld. Inoltre, alcune sue varianti risultano ancora più complesse ed interessanti. Che succede se il corridoio ha una larghezza diversa prima e dopo la curva? Che forma deve avere il divano per passare in un corridoio la cui curva non è più ad angolo retto? Provateci anche voi, bastano una penna, un po’ di carta e un paio di forbici…

 di Alice Sepe