Con al più cinque persone, è possibile mettersi in contatto con qualunque altra persona al mondo. È l’ipotesi dei sei gradi di separazione. Una possibile spiegazione? I legami deboli. Ce ne parla Marco Menale.

“Ma quant’è piccolo il mondo!”. Chissà quante volte abbiamo sentito e continuiamo a sentire questa frase. E in contesti anche molto diversi. Forse pensate subito a due amici che abitano nello stesso palazzo, e si ritrovano sulla stessa spiaggia per le vacanze estive. E con la società iperconnessa da internet e dai social, questo fenomeno si amplifica. La tua collega di lavoro condivide la foto di una cena, e ci trovi lì al tavolo tua cugina. Questo fenomeno è descritto dall’ipotesi (nota come) dei sei gradi di separazione. Ma una sua possibile spiegazione arriva dai legami deboli.

Partiamo dai “se gradi di separazione”. Secondo questa ipotesi, nel mondo, ogni persona può mettersi in contatto con qualsiasi altra tramite al più altre cinque persone. Questo nome è successivo ad alcuni esperimenti dello psicologo statunitense Stanley Milgram, condotti per capire quante persone sono necessarie a due individui per entrare tra loro in contatto.

In uno di questi esperimenti, Milgram seleziona 100 persone dello stato del Nebraska. A ciascuna persona \(A\) fornisce delle cartoline e le indicazioni di un’altra persona \(X\) di Boston, nel Massachussets, da raggiungere. Se \(A\) in Nebraska e \(X\) a Boston si conosco, \(A\) manda direttamente la cartolina a \(X\). Altrimenti, \(A\) manda la cartolina a un’altra persona \(B\) che a suo avviso può conoscere \(X\). Inoltre, \(A\) manda a \(B\) anche le altre cartoline, così che se \(B\) non conosce \(X\), chiederà a un’altra persona \(C\). L’esperimento continua fino a quando la cartolina non arriva proprio a \(X\). Il risultato appare sorprendente. In media, il numero di persone tra \(A\) e \(X\) è compreso tra \(5\) e \(7\).

Il risultato resta confermato anche se passiamo dal mondo reale a quello virtuale. Anzi, per Facebook il grado di separazione si riduce a \(4,57\) (qui per i dettagli). Alla fine nemmeno sorprende tanto, anche solo considerando i tanti amici che abbiamo su facebook, ben superiori al numero di amici con cui effettivamente interagiamo nella vita di tutti i giorni. Dunque, il mondo può essere anche più piccolo di 6.

La matematica astrae e generalizza. Un piccolo mondo (small world, in inglese) è un grafo in cui la maggior parte dei nodi non sono vicini tra loro, mentre è probabile che lo siano quelli vicini a un dato nodo. In particolare, la distanza media \(d\) tra i nodi è proporzionale al logaritmo dell’intero numero \(N\) di nodi, quindi la distanza cresce con \(N\), ma più lentamente. Inoltre, si richiede un alto coefficiente di clustering, un parametro che misura quanto i nodi del grafo tendono a essere connessi tra loro. Questo è un modello formalmente definito che giustifica i sei gradi di separazione.

Non fraintendiamo. Il termine piccolo mondo non si riferisce a \(N\), ossia pochi nodi nel grafo. Ma indica che è breve il percorso per passare da un nodo all’altro. Ad esempio, Facebook è un grafo di questo tipo. \(N\) è enorme, ma il percorso da un utente all’altro è breve. Mentre non lo è il grafo con tutte le persone vissute nella storia dell’umanità. Per passare dal nodo “Pitagora” a quello “Elon Musk” serve un percorso molto lungo.

La comunità matematica continua a interessarsi del problema. C’è un modello in grado di generare grafi con la proprietà di piccolo mondo. È il modello di Watts-Strogatz, ideato dal matematico e divulgatore americano Steven Henry Strogatz e il sociologo americano Duncan James Watts. Da questa collaborazione matematica, Watts continua a interessarsi al problema, cercando una possibile spiegazione.

Nell’articolo “An Experimental Study of Search in Global Social Networks”, su Science, Watts propone un esperimento in chiave moderna sulla scia di quello di Milgram. Chiede a \(60.000\) persone di raggiungere via mail una persona in una lista di \(18\), di \(13\) paesi diversi. I risultati continuano a confermare l’ipotesi dei sei gradi di separazione. Tuttavia, emerge anche un altro dato. Una persona \(A\) raggiunge più velocemente una persona \(X\) se passa per persone con cui ha una minore frequentazione. O, per dirla alla Watts, con cui ha legami deboli. Da un punto di vista matematico, per legame debole si intende il collegamento di un nodo del grafo con un nodo più lontano, ossia che non faccia parte della sua cerchia di vicini, tutti interconnessi tra loro. Nell’esperimento di Watts, la connessione tra \(A\) e \(X\) avviene con successo se si passa soprattutto per legami deboli.

Un ulteriore esempio può chiarire la questione. Immaginiamo di essere grandi appassionati di calcio, così come gli amici del gruppo che frequentiamo abitualmente. Se voglio sapere chi ha vinto l’ultimo campionato di baseball, mi conviene chiedere a qualche persone a me più lontana (un legame debole del mio grafo “persone che conosco”), dato che i miei amici (ossia i nodi a me vicini) difficilmente lo sapranno. In definitiva, la matematica suggerisce di non guardare con diffidenza ai legami deboli. Anzi, possono essere proprio quelli a risolverci qualche problema e farci dire “ma quant’è piccolo il mondo!”.