Tra i fisici-matematici premiati con la Medaglia Dirac dell’ICTP 2022 troviamo David Ruelle, il cui nome è legato alle ricerche sul caos matematico e gli attrattori strani. Nicola Ciccoli ce ne parla diffusamente.

Non capita spesso di commentare un premio di fisica in un sito di divulgazione matematica. Dopo tutto, si sa, ad essere premiata dai fisici è più spesso la fisica sperimentale, quella fatta di particelle elusive o grandi questioni cosmologiche, onde gravitazionali e bosone di Higgs. La medaglia Dirac dell’ICTP fa un po’ eccezione, da questo punto di vista, e non mancano, di tanto in tanto, tra i premiati vincitori dei quali sarebbe difficile dire se abbiano contribuito più alla fisica teorica o alla matematica: è stato così per Witten al primo premio nel 1985, per Yakov Sinaj nel ’92, arrivato in seguito fino al premio Abel, e per Miguel Angel Virasoro un paio di anni fa. Oggi ad essere premiati sono tre fisici-matematici il cui lavoro è ben noto a tanti matematici: Joel L. Lebowitz, Elliott H. Lieb e David H. Ruelle. Il secondo è appena stato premiato anche all’ICM con il premio Gauss, riservato alle applicazioni della matematica. È del terzo nome, però, che vi vorrei parlare; forse perché più legato all’Italia degli altri – e correntemente socio straniero dell’Accademia dei Lincei e ha vinto l’italianissimo premio Peano per la divulgazione scientifica, tanto per dire – o forse perché il suo libro rosso, il quinto volume della collana della Enciclopedia di Matematica e delle sue applicazioni, pubblicato da Addison-Wesley nel 1978, è uno dei libri su cui ho speso più ore ai tempi degli studi matti e disperatissimi.

Il caos matematico

Per chi lo conosce, il nome di Ruelle è legato sopra a ogni altra cosa ad un nome tanto evocativo quanto ormai consumato: il caos matematico. La strada per arrivare dal determinismo al caos non poteva che essere un po’ turbolenta: richiede di spiegare che cosa è una dinamica iperbolica. Immaginiamo di avere a disposizione una macchina fotografica e di voler seguire il moto di alcune particelle colorate all’interno di un fluido, scattando ogni secondo una foto. Il movimento, istante per istante, delle particelle colorate costituirà quello che in matematica si chiama un sistema dinamico a tempo discreto. Potete modellizzarle come una applicazione F che trasporta ogni punto p dell’insieme che stiamo osservando (che per comodità chiameremo varietà) in un altro punto F(p). Se le forze che agiscono sul sistema sono costanti al secondo scatto fotografico il punto p sarà trasportato in F(F(p)). In questo caso diciamo che la dinamica è descritta da una mappa iterata. Se, ad esempio, le particelle di cui vogliamo descrivere il moto sono particelle cariche negativamente e con poca energia cinetica, attirate da una carica centrale posta in un centro C ad ogni istante le particelle negative si avvicineranno a C (e diremo che la nostra applicazione F è contrattiva); l’insieme C si dirà pertanto essere un attrattore in questa dinamica. Potrebbe invece capitare che anche la carica in C sia positiva e le particelle vengano dunque respinte e si allontanino sempre più da C. Può anche capitare che le particelle all’istante iniziale abbiano una energia cinetica sufficiente a disporsi lungo orbite periodiche esattamente come i pianeti attorno al Sole. Tutti questi esempi sono tipici di dinamiche regolari che non possiedono nessuna caratteristica di tipo caotico. Può capitare, però, che le forze che determinano la dinamica del sistema siano attrattive lungo alcune direzioni e repulsive lungo altre direzioni. E’ questo il tipo di dinamica che prende il nome di iperbolica. Il nome si spiega facilmente se immaginiamo che una particella di un piano venga attratta con intensità costante verso l’origine nella direzione dell’asse delle ordinate e respinta con uguale intensità costante nella direzione dell’asse delle ascisse la sua tipica traiettoria si disporrà lungo un ramo di iperbole. Se però le intensità non sono costanti ma variano da punto a punto del piano, seppur con continuità, e cambiano in ogni punto le direzioni lungo cui le forze attraggono o respingono allora le caratteristiche della dinamica diventano difficili da descrivere, erratiche, complesse. Sono questi i flussi di Anosov, così chiamati in onore del matematico sovietico che per primo li studio, assieme all’americano Smale, e che sembrano avere tutte le caratteristiche che associamo al moto di un fluido turbolento. Sono l’eccezione? A lungo si è pensato che in natura il linguaggio matematico cogliesse l’imprevista caratteristica di privilegiare la regolarità. E’ stato invece possibile dimostrare che i moti regolari, in un senso che può essere reso rigoroso, sono l’eccezione e che per quasi ogni applicazione F la dinamica corrispondente è iperbolica. L’intuizione di Ruelle è stata quella di applicare alla dinamica iperbolica le tecniche usate nello studio della meccanica statistica. In fondo anche per una dinamica tanto complicato lo stato del sistema, se osservato per tempi lunghi, deve avvicinarsi ad una situazione di equilibrio. Se partiamo da una distribuzione di particelle colorate e aspettiamo un tempo sufficiente, in una dinamica iperbolica le particelle non si avvicineranno tutte a un centro, come succedeva per i moti contrattivi, né tutte a un’orbita periodica attorno al centro, come fanno gli asteroidi nel loro moto irregolare, ma si possono avvicinare tutte a un insieme molto irregolare: un attrattore strano.

Non solo. A tutte le particelle che si avvicinano all’attrattore strano (tutti i punti del cosiddetto bacino di attrazione) succederà di seguire percorsi estremamente diversi. Se prendiamo un insieme di particelle tutte vicine tra loro e le seguiamo nel loro moto, dopo un tempo lungo si distribuiranno in maniera uniforme attorno all’attrattore. Questa dipendenza sensibile dai dati iniziali viene a volte spiegata un po’ frettolosamente dicendo che in questi sistemi piccole condizioni iniziali diverse possono provocare effetti molto diversi. Questo non è tipico solo dei moti caotici, ma dei moti instabili: se siamo sul cucuzzolo appuntito di una montagna una raffica di vento ci può far cadere in direzioni molto diverse tra loro. Il fatto è che nei sistemi caotici ciò succede a ogni particella e in ogni istante, un po’ come se l’intero bacino di attrazione fosse composto da frastagliate vette di montagne soggette a erratiche raffiche di vento, di modo che un gruppo di alpinisti che parta assieme non possa che finire per essere disperso.

Una dinamica, in ultima analisi, per la quale sembrano possibili solo previsioni “qualitative” mentre per quelle quantitative è necessario limitarsi a tempi molto brevi, durante il quale gli effetti caotici non finiscono per sovrastare quelli regolari. E’ il modello dell’atmosfera di Lorenz, non a caso riportato all’attenzione della comunità scientifica anche da Ruelle, felicemente popolarizzato dal battito delle ali di una farfalla.

La misura di Sinaj, Ruelle e Bowen

A costruire la teoria matematica solida di questi sistemi dinamici caotici sono tre persone dalla provenienza più varia possibile. Yakov Sinaj è un giovane allievo di Kolmogorov, viene da quella Università di Mosca che sotto la spinta di Rokhlin e Arnol’d è alla guida dello studio topologico dei sistemi dinamici, ha definito un concetto significativo di entropia per un omeomorfismo ed ha dimostrato per primo in maniera rigorosa l’esistenza di un biliardo ergodico. E’ in odore di eresia in Unione Sovietica, per via del suo appoggio a Esenin-Volpin e le sue domande di partecipazioni ai congressi internazionali vengono sistematicamente respinte. Robert Bowen, detto Rufus, è invece un giovanissimo americano dalla barba e capelli rossi, cresciuto nella tranquilla cittadina di Fairfield, vicino a San Francisco, dove tutto, compreso suo padre, è a servizio di una delle più importanti basi dell’aeronautica militare. Il suo talento matematico è sbocciato a Berkeley, sotto la guida di Smale. A 20 anni si laurea, a 21 anni ha già pubblicato cinque articoli, a 23 anni completa il dottorato e viene immediatamente assunto dalla sua Università, a 27 è tra gli speaker principali del congresso internazionale di matematica. Il suo lavoro sui sistemi di Anosov attrae l’interesse internazionale. Infine David Ruelle, coetaneo di Sinai, belga, laureato in Fisica dopo aver iniziato l’Università come aspirante ingegnere è già passato in pochi anni da risultati molto importanti nel settore della meccanica statistica ad un lavoro con Takens che ha rivoluzionato il modo di guardare la transizione dal flusso laminare a quello turbolento. Sono i loro lavori a portare al concetto di misura SRB, una misura di probabilità sul bacino di attrazione che spiega, in un certo senso, con quale probabilità le particelle si avvicinino a porzioni specifiche dell’attrattore strano. E sì: le iniziali sono proprio quelle: Sinai, Ruelle, Bowen.

Il destino dei tre non può essere più diverso. Bowen, il più giovane, muore quasi subito, a soli 31 anni, per una emorragia cerebrale. Sinaj resta in Unione Sovietica fino alla caduta del muro, può finalmente parlare al ICM di Kyoto del 1990 e accettare una posizione a Princeton nel 1993. È lo scienziato che ha portato la matematica dentro la meccanica statistica e la meccanica statistica dentro la matematica. Vince ogni possibile riconoscimento internazionale. David Ruelle, continua a lavorare a cavallo tra fisica e matematica, con la turbolenza a fare da guida. Collabora con il futuro Nobel Giorgio Parisi e scrive di filosofia. Discute con competenza del nuovo ruolo dei computer nelle dimostrazioni matematiche e vince premi per la divulgazione scientifica, porta le transizioni di fase nell’analisi funzionale, sviluppa quello che lui stesso chiama un formalismo termodinamico per i sistemi dinamici topologici. Il riconoscimento del premio Dirac è l’ultimo di una prestigiosissima lista.

Se molto si è parlato, forse, di quanto la meccanica quantistica e la teoria dei campi abbiano influenzato lo studio della geometria, in maniera costante, negli ultimi quarant’anni, forse non altrettanto si è discusso di quanto le idee tratte dalla meccanica statistica abbiano permeato lo sviluppo dell’approccio matematico alla dinamica, fornendo gli strumenti per capire una varietà di situazioni che sembravano totalmente incomprensibili. La teoria del caos deterministico è forse uno degli esempi più belli di compenetrazione di rigore matematico e intuizione fisica, di semplicità e complessità. Gli strumenti richiesti allo studio dei sistemi dinamici complessi hanno finito per valicare ogni possibile steccato disciplinare, mescolando algebra e concetti fisici, geometria delle varietà e analisi numerica, e finendo pure per essere uno dei primi campi in cui sono state accettate dimostrazioni che facevano uso dell’intervento del computer (penso all’esistenza del punto fisso di Feigenbaum). Ruelle è stato uno di quei fisici che non ha mai smesso di parlare con i matematici e con il linguaggio dei matematici. cercando sempre di coniugare intuizione e rigore. Se oggi lo studio dei sistemi dinamici caotici è un ambito di ricerca così interessante lo dobbiamo certamente anche a lui.

Nicola Ciccoli

Immagine di copertina: copertina del libro David Ruelle. Chance and chaos. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1991. xii+195 pp. ISBN: 0-691-08574-9. Ritaglio.