La soluzione della Congettura Collatz corre nella Rete. Ma è, ennesimamente, sbagliata…
Qualche settimana fa, dall’Università di Amburgo è arrivato l’ultimo tentativo di attacco alla “Congettura di Collatz”. Gerhard Opfer ha infatti cercato di dimostrare l’esattezza di questa congettura, che è famosa quanto semplice nella sua formulazione. La congettura Collatz è anche detta problema del 3n+1: prendete un numero naturale qualsiasi. Se è pari, dividetelo per 2, se invece è dispari, moltiplicatelo per 3 e aggiungete 1. Nei due casi otterrete un nuovo numero su cui potrete ripetere ancora la stessa operazione e così via. La cosa sorprendente che notò a un certo punto il matematico Collatz, e poi molti altri dopo di lui, è che, mentre a priori potreste continuare così fino all’infinito, in pratica se provate con un qualsiasi numero, dopo un numero finito di passi arrivate al numero 1 da cui passate al 4=3×1+1, poi al 2 e di nuovo a 1. Insomma, finite per rimanere in questo piccolo ciclo 1-4-2-1, e questo indipendentemente dal numero scelto.
Prendiamo per esempio il numero 5. Abbiamo che 3×5+1=16, 16/2=8, 8/2=4, 4/2=2, 2/2=1 e siamo arrivati a 1 in 5 passi. La traiettoria partendo da 7 è già meno semplice: 7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1 Il problema consiste nel dimostrare che questo è vero per tutti i numeri. Finora, questo problema non è stato risolto e anche la tecnica avanzata da Opfer conteneva un errore (per chi vuole seguire la discussione, rimandiamo a questo link ). Poiché il modo in cui il problema è enunciato è tutto sommato davvero lineare, sono tantissime le tentate soluzioni che sono state proposte da quando la congettura è nata, nel 1937. Ma il problema sembra, sempre di più, un lupo travestito da agnello.
Alcune osservazioni/insidie. Vi sono numeri, magari piccoli, che possono generare una successione (simile a quella di sopra) che può essere molto lunga: ad esempio il numero 27, che vi obbligherebbe a compiere 111 passi, arrivando fino al numero 9232, prima di arrivare a 1. 
La formula 3n+1 genera numeri pari. Ogni numero pari è il prodotto di una potenza di 2 per un numero dispari o una potenza di 2.Dividendo per 2 un numero pari del primo tipo si ottiene un numero dispari diverso da 1, mentre eseguendo la stessa operazione su un numero pari del secondo tipo si ottiene 1 e si attiva il ciclo 4-2-1.
Chiedersi se l’algoritmo di Collatz porta comunque ad 1 equivale perciò a chiedersi se la formula 3n+1 può generare delle potenze di 2.
Per il quadrato di 2 questo è senz’altro vero, ma per il cubo la formula dovrebbe essere 3n+5. Consideriamo però che 2 e 3 sono rispettivamente il primo esponente delle potenze pari ed il primo esponente delle potenze dispari di 2. Per ottenere la prossima potenza di 2 (pari o dispari) occorre moltiplicare per 4 e questo è vero per ogni valore dell’esponente.
3nm+1 = 4*(3nl+1)
3nm+5 = 4*(3nl+5)
da cui
3nm+1 = 12nl+4
3nm+5 = 12nl+20
e
nm = 4nl+1
nm = 4nl+5.
Ma
4nl = nl+3nl
Quindi
nm = nl+(3nl+1)
nm = nl+(3nl+5)
cioè ogni nm è uguale alla somma del precedente nl con la relativa potenza di 2. O, in altre parole, ogni nm è uguale alla somma delle precedenti potenze (pari o dispari) con 1.
Ne deriva che l’algoritmo di Collatz non potrà mai generare potenze dispari di 2,ma prima o poi genererà una delle infiniten potenze pari di 2. q.e.d.
Approvo solo a scopo didattico. Ovviamente questa non è una dimostrazione della congettua di Collatz, ci sono parecchi errori a partire dalla seconda riga. Non è vero che se divido per due un numero pari del primo tipo ottengo un numero dispari. 20=2^2 x 5. Ma 20/2=10. Ma tutto questo solo per dire che non è così che funziona la matematica. Se uno pensa, a torto o a ragione, di aver ottenuto un risultato matematico originale (e una dimostrazione della congettura di Collatz lo sarebbe e come), allora non lo scrive in un commento su internet. Deve invece cercare di scrivere chiaramente la dimostrazione, con uno stile chiaro e conciso, vedi per esempio https://entropiesschool.sciencesconf.org/data/How_to_Write_Mathematics.pdf, in cui tutti i passaggi siano chiaramente giustificati, possibilmente in inglese, e spedire il manoscritto, magari dopo averlo fatto rileggere a qualche amico matematico esperto, ad una delle tante riviste di matematica in circolazione che provvederà a far fare un referaggio.
Ringrazio per la correzione. Avrei dovuto scrivere “applicando l’algoritmo di Collatz”. Ma non vedo gli altri errori e non mi è chiaro il suo commento.Che significa
“Approvo solo a scopo didattico”. ? E Maddmaths non è un sito di Matematica Divulgazione Didattica su cui si possono esprimere le proprie idee pur non essendo del settore?
Io sono un ingegnere elettronico, analista di sistemi,in pensione.
Dire di aver dimostrato un teorema non è un commento. È una cosa seria che merita di essere collocata nella giusta sede. La congettura di Collatz è un problema difficile a cui hanno lavorato molte persone. Anche ammettendo che la dimostrazione fosse giusta, così non lo saprà nessuno. Buona giornata. r
In che senso 3n+1 è pari? Se n = 2 non esce 7? Forse non ho capito bene io.
Nell’algoritmo di Collatz la formula 3n + 1 si applica solo se n è dispari