La congettura Collatz: il lupo vestito da agnello

On June 29, 2011

La soluzione della Congettura Collatz corre nella Rete. Ma è, ennesimamente, sbagliata...

 

Qualche settimana fa, dall'Università di Amburgo è arrivato l'ultimo tentativo di attacco alla "Congettura di Collatz". Gerhard Opfer ha infatti cercato di dimostrare l'esattezza di questa congettura, che è famosa quanto semplice nella sua formulazione. La congettura Collatz è anche detta problema del 3n+1: prendete un numero naturale qualsiasi. Se è pari, dividetelo per 2, se invece è dispari, moltiplicatelo per 3 e aggiungete 1. Nei due casi otterrete un nuovo numero su cui potrete ripetere ancora la stessa operazione e così via. La cosa sorprendente che notò a un certo punto il matematico Collatz, e poi molti altri dopo di lui, è che, mentre a priori potreste continuare così fino all'infinito, in pratica se provate con un qualsiasi numero, dopo un numero finito di passi arrivate al numero 1 da cui passate al 4=3x1+1, poi al 2 e di nuovo a 1. Insomma, finite per rimanere in questo piccolo ciclo 1-4-2-1, e questo indipendentemente dal numero scelto.

Prendiamo per esempio il numero 5. Abbiamo che 3x5+1=16, 16/2=8, 8/2=4, 4/2=2, 2/2=1 e siamo arrivati a 1 in 5 passi. La traiettoria partendo da 7 è già meno semplice:   7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1 Il problema consiste nel dimostrare che questo è vero per tutti i numeri. Finora, questo problema non è stato risolto e anche la tecnica avanzata da Opfer conteneva un errore (per chi vuole seguire la discussione, rimandiamo a questo link ). Poiché il modo in cui il problema è enunciato è tutto sommato davvero lineare, sono tantissime le tentate soluzioni che sono state proposte da quando la congettura è nata, nel 1937. Ma il problema sembra, sempre di più, un lupo travestito da agnello.
Alcune osservazioni/insidie. Vi sono numeri, magari piccoli, che possono generare una successione (simile a quella di sopra) che può essere molto lunga: ad esempio il numero 27, che vi obbligherebbe a compiere 111 passi, arrivando fino al numero 9232, prima di arrivare a 1. collatz

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