Una nuova mini-serie, fatta di video e articoli, di Alessandro Zaccagnini, matematico, esperto di teoria dei numeri, autore della fortunata serie “Dialogo sui numeri primi“, questa volta per raccontarci tante diverse dimostrazioni di un unico Teorema: 

Teorema (Euclide). Esistono infiniti numeri primi.

Questa è la sesta puntata (le altre le trovi qui).

La dimostrazione di Schur

Teorema (Schur). Sia \(f \in \mathbb{Z}[x]\) un polinomio non costante. L’insieme \[\mathcal{P}_f
=
\{ p \colon
\text{ esiste $n \in \mathbb{N}$ tale che $f(n) \ne 0$ e $p \mid f(n)$} \}\] è infinito.

È interessante sottolineare immediatamente un’applicazione di questo risultato al polinomio \(f(n) = n^2 + 1\): in questo caso \[\mathcal{P}_f = \{ 2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, \dots \}\] è infinito e quindi esistono infiniti numeri primi \(p \equiv 1 \bmod 4\). Infatti, se \(p \equiv 3 \bmod 4\) allora \(p \notin \mathcal{P}_f\), come si può verificare facilmente quando \(p = 3\) o \(p = 7\). Ricordiamo che, come conseguenza della dimostrazione originale di Euclide, già sappiamo che esistono infiniti numeri primi \(p \equiv 3
\bmod 4\). In generale, il problema dell’esistenza di infiniti numeri primi nelle progressioni aritmetiche è stato affrontato e completamente risolto da Dirichlet nella prima metà dell’Ottocento.

Per prima cosa, ora vediamo una dimostrazione diretta del Teorema di Schur, che sfrutta in modo essenziale il fatto che \(f\) è un polinomio a coefficienti interi e in un certo senso generalizza la dimostrazione classica di Euclide, che corrisponde al polinomio \(f(n) = n\).

Dimostrazione. Sia \(f(x) = a_r x^r + \dots + a_0\) con \(a_r \ne 0\). Possiamo supporre \(a_0 \ne 0\), altrimenti \(\mathcal{P}_f\) è l’insieme di tutti i numeri primi. Per assurdo, sia \(\mathcal{P}_f = \{ p_1\), …, \(p_k \}\), e sia \(c \in \mathbb{Z}\) tale che \(\vert f(c a_0 p_1 \cdots p_k) \vert > \vert a_0 \vert\). Ma \((1 / a_0) f(c a_0 p_1 \cdots p_k) \equiv 1 \bmod p_1 \cdots p_k\), e quindi esiste un primo \(p \notin \mathcal{P}_f\) tale che \(p \mid (1 / a_0) f(c a_0 p_1 \cdots p_k)\).

Una dimostrazione alternativa

Affronteremo per semplictà il caso in cui \(f(n) = n\), ma la dimostrazione che vedremo può essere adattata ad un polinomio qualsiasi e, in effetti, anche a funzioni piú generali. Ragionando in astratto, ad un insieme finito \(\mathcal{P}\) di numeri primi associamo il semigruppo moltiplicativo \(\mathcal{S}\) generato dall’insieme \(\mathcal{P}\), cioè l’insieme dei numeri interi positivi che si possono formare usando esclusivamente numeri primi tratti da \(\mathcal{P}\). La dimostrazione che vediamo qui consiste nel fare vedere che questo semigruppo è poco “denso” nell’insieme dei numeri naturali e non riesce a coprire tutti i valori assunti da un polinomio. Vediamo come funziona in concreto.

Quali interi fino a \(1000\) si possono formare usando esclusivamente il numero primo \(2\)? \[1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512.\] Quali interi fino a \(1000\) si possono formare usando esclusivamente il numero primo \(3\)? \[1, 3, 9, 27, 81, 243, 729\] Quali interi fino a \(1000\) si possono formare usando esclusivamente i numeri primi \(2\) o \(3\)? \[\begin{gathered}
1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 48, 54, 64, 72, \\
81, 96, 108, 128, 144, 162, 192, 216, 243, 256, 288, 324, \\
384, 432, 486, 512, 576, 648, 729, 768, 864, 972.\end{gathered}\] In totale \(40\) interi, cioè circa la metà di \(10 \cdot 7\).

Gli interi “generati” da un insieme di numeri primi

L’insieme degli interi \(m \le N\) che si possono generare a partire dai numeri primi dell’insieme \(\mathcal{P}= \{ p_1\), …, \(p_k \}\) è in biiezione con \[\{ (\alpha_1, \dots, \alpha_k) \in \mathbb{N}^k \colon
\alpha_1 \log p_1 + \cdots + \alpha_k \log p_k \le \log N \},\] perché \(m \le N\) si “genera” a partire da \(\mathcal{P}\) se e solo se esistono \(\alpha_1\), …, \(\alpha_k \in \mathbb{N}\) tali che \(m = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}\) e quindi \[\log m = \alpha_1 \log p_1 + \cdots + \alpha_k \log p_k.\] Il numero di questi \(m \le N\) è circa il “volume” del tetraedro \[T
=
\{ (x_1, \dots, x_k) \in \mathbb{R}^k \colon x_i \ge 0, \,
x_1 \log p_1 + \cdots + x_k \log p_k \le \log N \}\] e quindi è \(\sim c(\mathcal{P}) (\log N)^k\), dove \(c(\mathcal{P}) > 0\) è un’opportuna costante: in effetti si può dimostrare che \(c(\mathcal{P}) = 1 / \bigl( k! \log p_1 \cdots \log p_k \bigr)\). Dunque \(\vert T \vert < N\) per \(N\) sufficientemente grande, e in definitiva l’insieme degli interi positivi generato da \(\mathcal{P}\) “manca” molti interi grandi e quindi non può coprire l’immagine del polinomio \(f\), che è l’intero insieme dei numeri naturali positivi. La biiezione citata sopra dipende dal Teorema Fondamentale dell’Aritmetica, che rende la moltiplicazione un’operazione “rigida.”

Contiamo punti a coordinate intere dentro una figura geometrica

La figura illustra il caso \(k = 2\), \(\mathcal{P}= \{2\), \(3\}\) della dimostrazione. Chiamiamo \(V(N)\) l’insieme degli interi positivi che non superano \(N\) che hanno come fattori primi solo gli elementi di \(\mathcal{P}\). La cardinalità di \(V(N)\) è uguale al numero di punti a coordinate intere nel triangolo delimitato dagli assi cartesiani e dalla retta di equazione \(x \log 2 + y \log 3 = \log N\), compresi i punti sul bordo. Assegniamo ad ogni punto \((a_1, a_2) \in \mathbb{N}^2\) che soddisfa questa diseguaglianza il quadrato di vertici opposti \((a_1, a_2)\), \((a_1 + 1, a_2 + 1)\). Per esempio, al punto \((5, 2)\), che corrisponde a \(2^5 \cdot 3^2 = 288\), associamo il quadrato con i bordi ingrossati. Il numero di questi punti è uguale all’area indicata in azzurro, cioè all’area del triangolo delimitato dai semiassi positivi e dalla retta diagonale con un errore dell’ordine del perimetro del triangolo stesso, e quindi l’area vale \((\log N)^2 / (2 \log 2 \log 3) + O(\log N)\).

I problemi di punti a coordinate intere in un dominio sono classici: tra i piú famosi ci sono quelli studiati per primi da Gauss e da Dirichlet, ma sono molto numerosi e importanti.