Una nuova mini-serie, fatta di video e articoli, di Alessandro Zaccagnini, matematico, esperto di teoria dei numeri, autore della fortunata serie “Dialogo sui numeri primi“, questa volta per raccontarci tante diverse dimostrazioni di un unico Teorema: 

Teorema (Euclide). Esistono infiniti numeri primi.

Questa è la sesta puntata (le altre le trovi qui).

La dimostrazione di Schur

Teorema (Schur). Sia $f \in \mathbb{Z}[x]$ un polinomio non costante. L’insieme $$\mathcal{P}_f = \{ p \colon \text{ esiste $n \in \mathbb{N}$ tale che $f(n) \ne 0$ e $p \mid f(n)$} \}$$ è infinito.

È interessante sottolineare immediatamente un’applicazione di questo risultato al polinomio $f(n) = n^2 + 1$: in questo caso $$\mathcal{P}_f = \{ 2, 5, 13, 17, 29, 37, 41, \dots \}$$ è infinito e quindi esistono infiniti numeri primi $p \equiv 1 \bmod 4$. Infatti, se $p \equiv 3 \bmod 4$ allora $p \notin \mathcal{P}_f$, come si può verificare facilmente quando $p = 3$ o $p = 7$. Ricordiamo che, come conseguenza della dimostrazione originale di Euclide, già sappiamo che esistono infiniti numeri primi $p \equiv 3 \bmod 4$. In generale, il problema dell’esistenza di infiniti numeri primi nelle progressioni aritmetiche è stato affrontato e completamente risolto da Dirichlet nella prima metà dell’Ottocento.

Per prima cosa, ora vediamo una dimostrazione diretta del Teorema di Schur, che sfrutta in modo essenziale il fatto che $f$ è un polinomio a coefficienti interi e in un certo senso generalizza la dimostrazione classica di Euclide, che corrisponde al polinomio $f(n) = n$.

Dimostrazione. Sia $f(x) = a_r x^r + \dots + a_0$ con $a_r \ne 0$. Possiamo supporre $a_0 \ne 0$, altrimenti $\mathcal{P}_f$ è l’insieme di tutti i numeri primi. Per assurdo, sia $\mathcal{P}_f = \{ p_1$, …, $p_k \}$, e sia $c \in \mathbb{Z}$ tale che $\vert f(c a_0 p_1 \cdots p_k) \vert > \vert a_0 \vert$. Ma $(1 / a_0) f(c a_0 p_1 \cdots p_k) \equiv 1 \bmod p_1 \cdots p_k$, e quindi esiste un primo $p \notin \mathcal{P}_f$ tale che $p \mid (1 / a_0) f(c a_0 p_1 \cdots p_k)$.

Una dimostrazione alternativa

Affronteremo per semplictà il caso in cui $f(n) = n$, ma la dimostrazione che vedremo può essere adattata ad un polinomio qualsiasi e, in effetti, anche a funzioni piú generali. Ragionando in astratto, ad un insieme finito $\mathcal{P}$ di numeri primi associamo il semigruppo moltiplicativo $\mathcal{S}$ generato dall’insieme $\mathcal{P}$, cioè l’insieme dei numeri interi positivi che si possono formare usando esclusivamente numeri primi tratti da $\mathcal{P}$. La dimostrazione che vediamo qui consiste nel fare vedere che questo semigruppo è poco “denso” nell’insieme dei numeri naturali e non riesce a coprire tutti i valori assunti da un polinomio. Vediamo come funziona in concreto.

Quali interi fino a $1000$ si possono formare usando esclusivamente il numero primo $2$? $$1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512.$$ Quali interi fino a $1000$ si possono formare usando esclusivamente il numero primo $3$? $$1, 3, 9, 27, 81, 243, 729$$ Quali interi fino a $1000$ si possono formare usando esclusivamente i numeri primi $2$ o $3$? $$\begin{gathered} 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 27, 32, 36, 48, 54, 64, 72, \\ 81, 96, 108, 128, 144, 162, 192, 216, 243, 256, 288, 324, \\ 384, 432, 486, 512, 576, 648, 729, 768, 864, 972.\end{gathered}$$ In totale $40$ interi, cioè circa la metà di $10 \cdot 7$.

Gli interi “generati” da un insieme di numeri primi

L’insieme degli interi $m \le N$ che si possono generare a partire dai numeri primi dell’insieme $\mathcal{P}= \{ p_1$, …, $p_k \}$ è in biiezione con $$\{ (\alpha_1, \dots, \alpha_k) \in \mathbb{N}^k \colon \alpha_1 \log p_1 + \cdots + \alpha_k \log p_k \le \log N \},$$ perché $m \le N$ si “genera” a partire da $\mathcal{P}$ se e solo se esistono $\alpha_1$, …, $\alpha_k \in \mathbb{N}$ tali che $m = p_1^{\alpha_1} \cdots p_k^{\alpha_k}$ e quindi $$\log m = \alpha_1 \log p_1 + \cdots + \alpha_k \log p_k.$$ Il numero di questi $m \le N$ è circa il “volume” del tetraedro $$T = \{ (x_1, \dots, x_k) \in \mathbb{R}^k \colon x_i \ge 0, \, x_1 \log p_1 + \cdots + x_k \log p_k \le \log N \}$$ e quindi è $\sim c(\mathcal{P}) (\log N)^k$, dove $c(\mathcal{P}) > 0$ è un’opportuna costante: in effetti si può dimostrare che $c(\mathcal{P}) = 1 / \bigl( k! \log p_1 \cdots \log p_k \bigr)$. Dunque $\vert T \vert < N$ per $N$ sufficientemente grande, e in definitiva l’insieme degli interi positivi generato da $\mathcal{P}$ “manca” molti interi grandi e quindi non può coprire l’immagine del polinomio $f$, che è l’intero insieme dei numeri naturali positivi. La biiezione citata sopra dipende dal Teorema Fondamentale dell’Aritmetica, che rende la moltiplicazione un’operazione “rigida.”

Contiamo punti a coordinate intere dentro una figura geometrica

La figura illustra il caso $k = 2$, $\mathcal{P}= \{2$, $3\}$ della dimostrazione. Chiamiamo $V(N)$ l’insieme degli interi positivi che non superano $N$ che hanno come fattori primi solo gli elementi di $\mathcal{P}$. La cardinalità di $V(N)$ è uguale al numero di punti a coordinate intere nel triangolo delimitato dagli assi cartesiani e dalla retta di equazione $x \log 2 + y \log 3 = \log N$, compresi i punti sul bordo. Assegniamo ad ogni punto $(a_1, a_2) \in \mathbb{N}^2$ che soddisfa questa diseguaglianza il quadrato di vertici opposti $(a_1, a_2)$, $(a_1 + 1, a_2 + 1)$. Per esempio, al punto $(5, 2)$, che corrisponde a $2^5 \cdot 3^2 = 288$, associamo il quadrato con i bordi ingrossati. Il numero di questi punti è uguale all’area indicata in azzurro, cioè all’area del triangolo delimitato dai semiassi positivi e dalla retta diagonale con un errore dell’ordine del perimetro del triangolo stesso, e quindi l’area vale $(\log N)^2 / (2 \log 2 \log 3) + O(\log N)$.

I problemi di punti a coordinate intere in un dominio sono classici: tra i piú famosi ci sono quelli studiati per primi da Gauss e da Dirichlet, ma sono molto numerosi e importanti.