Una nuova mini-serie, fatta di video e articoli, di Alessandro Zaccagnini, matematico, esperto di teoria dei numeri, autore della fortunata serie “Dialogo sui numeri primi“, questa volta per raccontarci tante diverse dimostrazioni di un unico Teorema: 

Teorema (Euclide). Esistono infiniti numeri primi.

Questa è la quarta puntata (le altre le trovi qui).

 

La seconda dimostrazione di Eulero

L’identità di Eulero e la funzione zeta di Riemann

Nella seconda puntata della serie abbiamo visto i punti essenziali della dimostrazione di questo teorema di Eulero.

Per \(n \ge 2\) si ha \[\prod_{p \le n} \Bigl( 1 – \frac1p \Bigr)^{-1}
\ge
1 + \frac12 + \frac13 + \dots + \frac1n
\ge
\log(n)\] dove il prodotto è fatto su tutti i numeri primi che non superano \(n\).

Piú o meno le stesse idee, e cioè il Teorema fondamentale dell’aritmetica e il prodotto di serie geometriche di ragione opportuna, una per ciascun numero primo, danno questa versione per la funzione che oggi chiamiamo zeta di Riemann.

Se \(x > 1\) allora \[\begin{aligned}
\zeta(x)
&=
1
+
\frac1{2^x}
+
\frac1{3^x}
+
\frac1{4^x}
+
\frac1{5^x}
+
\frac1{6^x}
+
\frac1{7^x}
+
\frac1{8^x}
+
\cdots \\
&=
\Bigl(1 – \frac1{2^x} \Bigr)^{-1}
\cdot
\Bigl(1 – \frac1{3^x} \Bigr)^{-1}
\cdot
\Bigl(1 – \frac1{5^x} \Bigr)^{-1}
\cdot
\Bigl(1 – \frac1{7^x} \Bigr)^{-1}
\cdots\end{aligned}\] dove il prodotto è fatto su tutti i numeri primi.

A stretto rigore, non sappiamo ancora che questo è un prodotto infinito. Anzi possiamo dire che lo scopo del gioco è proprio questo e ci arriveremo in modo indiretto.

Applicando il criterio integrale per le serie con la funzione \(f(n) = n^{-x}\), che è positiva, decrescente e infinitesima, per \(x > 1\) troviamo \[\frac1{x – 1}
=
\int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^x}
\le
\zeta(x)
\le
1 + \int_1^{+\infty} \frac{\mathrm{d}t}{t^x}
=
\frac x{x – 1}\] da cui deduciamo \[\lim_{x \to 1+} \zeta(x)
=
+\infty\] e quindi esistono infiniti numeri primi, perché se il prodotto di Eulero contenesse un numero finito di fattori questo limite sarebbe finito. Questo risultato non ci sorprende moltissimo, perché in un certo senso per \(x = 1\) la funzione zeta “corrisponde” alla serie armonica, che sappiamo divergere.

Il problema di Mengoli e la soluzione di Eulero

Nel 1644 il matematico bolognese Pietro Mengoli chiese di trovare il valore in \(x = 2\) della funzione zeta di Riemann, e cioè \[\zeta(2)
=
1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} + \frac1{25} + \frac1{36} + \dots\] In termini moderni, si cerca una “formula chiusa,” che permetta di calcolare questa quantità senza fare ricorso a serie o altre operazioni “infinite.” La prima soluzione è stata data da Eulero ed è molto famosa: \(\zeta(2) = \dfrac{\pi^2}6\). Questo significa che \(\zeta(2)\) è irrazionale e quindi devono esistere infiniti numeri primi, altrimenti il prodotto \[\zeta(2)
=
\Bigl(1 – \frac1{2^2} \Bigr)^{-1}
\cdot
\Bigl(1 – \frac1{3^2} \Bigr)^{-1}
\cdot
\Bigl(1 – \frac1{5^2} \Bigr)^{-1}
\cdot
\Bigl(1 – \frac1{7^2} \Bigr)^{-1}
\cdots\] sarebbe finito ed avrebbe un valore razionale. Dal XVIII secolo, grazie a Lambert, sappiamo che \(\pi\) è irrazionale; Lagrange ha dimostrato poco dopo che anche \(\pi^2\) è irrazionale e nel XIX secolo Lindemann ha chiuso la questione dimostrando che \(\pi\) è trascendente.

Una semplice soluzione del problema di Mengoli, diversa da quella data da Eulero, si trova sviluppando in serie di Fourier sull’intervallo \([-\pi, \pi]\) la funzione \(f(x) = x\):

L’area compresa fra l’asse delle ascisse, la retta \(x = \pi\) e la bisettrice, cioè \(f(x) = x\) vale \(\pi^2 / 2\). Le aree comprese fra l’asse delle ascisse, la retta \(x = \pi\) e le successive approssimazioni si avvicinano a questo valore, e possono essere calcolate esattamente con un integrale definito. Con qualche calcolo ne deduciamo che \[1 + \frac19 + \frac1{25} + \frac1{49} + \cdots
=
\frac{\pi^2}8\] e con un ulteriore passaggio, che richiede solo il calcolo della somma di una serie geometrica, risolviamo il problema di Mengoli.